永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor, PMSM)因其结构简单、功率因素高、调速范围广等优点，被广泛应用于新能源汽车、航天航空、工业生产等领域[1]。传统矢量控制速度环采用PI控制存在抗负载扰动能力差、参数摄动敏感、抗噪声能力不足等问题。同时为了满足日益增长的控制性能需求，越来越多的控制算法被应用于电机控制，如模型预测控制[2]、滑模控制[3]、神经网络控制[4]、自抗扰控制[5]等。自抗扰控制具有抗扰与模型无关和现代控制理论状态观测的优点，因此成为研究热点。

ZHANG等[6]提出卡尔曼滤波器观测负载转矩扰动对非线性自抗扰控制进行前馈补偿，以提高ESO观测精度并减少观测负担。万慧等[7]提出线性自抗扰控制与非线性自抗扰控制切换策略，在跟踪精度、抗扰能力具有一定优势，发挥了线性自抗扰控制与非线性自抗扰控制的优点，但切换规则复杂且意义不明确。张臻等[8]设计变结构滑膜趋近律代替传统非线性误差控制律，提高系统的反应速度，减少了控制器可调参数个数，但不可避免的导致控制器输出高频振荡，影响系统性能。李娟等[9]设计扩张状态观测器，分析了扩张状态观测器的幅频特性、相位特性和干扰能力，改善了扩张状态观测器的相位滞后问题，但扩张状态观测器直接引入速度反馈，增大了速度反馈本身噪声影响。YANG等[10]提出级联线性扩张状态观测器，提高了观测器对扰动的估计性能，改善了扩张状态观测器的带宽限制，但非线性机制具有更好的控制性能和鲁棒性。KRZYSZTOF等[11]分析了级联ESO相较于传统ESO具有不仅具有更好的鲁棒性，还对系统噪声具有抑制作用，而王宇航等[12]分析非线性函数fal函数同样对噪声具有抑制作用。

鉴于上述分析，本文提出一种级联非线性扩张状态观测器，NESO1观测系统扰动，NESO2将NESO1观测扰动作为已知部分观测剩余扰动，减小传统非线性扩张状态观测器对扰动的观测误差，以此提高系统对各类扰动的鲁棒性。此外构建newfal函数，使观测器、控制器的输出更为平滑、饱和，提升非线性机制性能。最后，通过Simulink仿真平台和1 kW实际实验平台验证算法的有效性。

1、永磁同步电机数学模型

根据磁场定向原理，在d-q同步旋转坐标系下的表贴式PMSM动态模型为：

式中：ud、uq为定子电压分量，id、iq为定子电流分量，R为定子电阻，Ls为定子电感，ψf为永磁体磁链，ωe为机械角速度。

表贴式PMSM运动方程为：

式中：Te为电磁力矩，B为阻尼系数，TL为负载转矩，J为转动惯量。

考虑电机参数变化以及建模不确定性，PMSM模型可表示为：

式中：Δuq、Δud、ΔTe为电机内部参数摄动产生的不确定性扰动。

2、自抗扰速度环控制器

2.1 传统非线性自抗扰控制器

非线性自抗扰控制由跟踪分器(tracking differentiator, TD)、非线性扩张状态观测器(nonlinear expansion state observer, NESO)和非线性状态误差反馈控制律(nonlinear state error feedback, NLSEF)组成。以电机机械运动方程设计一阶非线性自抗扰控制器为：

非线性函数fal表达式为：

式中：α为fal函数速度跟踪因子，δ为滤波因子。

一阶TD为：

式中：ω*m为转速的设定值，r为TD跟踪速度因子，ωz为转速的过渡值。

二阶非线性扩张状态观测器的状态空间表达式为：

式中：z1为转速的跟踪值，z2为扰动的观测值。

非线性状态误差反馈控制率设计为：

式中：Kp为调节因子。

2.2 改进的转速环自抗扰控制策略

对于非线性扩张状态观测器可以简化成变增益线性扩张状态观测器[13],其误差传递函数为：

当系统面临斜率为k的斜坡扰动时，将NESO的极点配置到带宽ωo处，ESO的扰动估计值为：

由上式可知，传统ADRC面临斜坡扰动时，ESO对系统总扰动追踪值z2存在稳定误差-2k/ωo,随着斜坡扰动的斜率增大，为了减小误差势必增大带宽，而增大带宽同时会扩大ESO噪声影响，而为了平衡抗扰和抗噪性能，带宽的大小受到限制。

为此，设计一种级联NESO的非线性转速自抗扰控制策略。将两个NESO即NESO1和NESO2组成级联观测结构，NESO1先观测系统扰动，将观测的扰动追踪值z2作为NESO2的已知部分，NESO2仅需要观测出总扰动中的“剩余扰动”。将z2和s2作为级联非线性扩张状态观测器观测出的总扰动补偿到输出端，从而到达消除扰动的目的。

级联非线性扩张状态观测器设计为：

式中：z1、v1分别为ESO1、ESO2对ωm的跟踪值，z2、v2分别ESO1、ESO2对扰动的观测值。

非线性状态误差控制律设计为：

同理将NESO的极点配置到带宽ωo,其误差传递函数为：

当系统面临斜率为k的斜坡扰动时，系统扰动估计时域为：

由上式可知，当系统受斜坡扰动时，级联NESO可无误差观测该类型的扰动。基于级联NESO的自抗扰控制器相比传统自抗扰控制器，提高了对扰动的估计精度，增强了系统对不同扰动的鲁棒性。基于级联NESO的非线性自抗扰控制器结构框图如图1所示。

图1 级联非线性扩张状态观测器的自抗扰控制结构框图

非线性函数是参与传统ADRC各个部分的重要组成之一，影响着整个控制器的性能。其中fal函数是决定NESO的重要非线性函数，fal函数具有连续性和不光滑性，由式(16)和式(17)可知，在fal函数线性与非线性的分段点

取值太小，fal函数的高频颤振现象将变得严重，降低系统的鲁棒性。

为解决上述问题，在fal函数的基础上设计一个连续光滑的非线性函数newfal函数，从而提高非线性扩张状态观测器的性能。

时，newfal函数设计成多项式拟合的形式，由于sin、arctan比指数函数在原点附近的光滑性更好，设计表达式为：

newfal(e, α,δ)=λ1sine+λ2e+λ3arctane (19)

设计newfal函数在定义域内连续且分段点可导，令(20)成立。

求解可得：

则newfal函数表达式为：

为验证文中设计的newfal函数的性能，设计MATLAB仿真实验与传统fal函数对比，取α=0.25、δ=0.25。函数的特性曲线如图2所示，函数的误差增益曲线如图3所示。

图2 函数的特性曲线

图3 函数的误差增益曲线

从图2可以看出newfal函数在

时，函数连续且光滑可导，图3为对应函数误差增益，可以看出传统fal函数在线性区间增益保持不变，而newfal函数增益更大且没有突增，保证了增益控制效果，整体更符合“小误差大增益”的概念。

3、仿真实验以及分析

在MATLAB/Simulink中建立控制系统仿真模型，分别对PI控制器、ADRC控制器、CADRC控制器以及newfal-CADRC进行多种仿真实验，验证设计控制策略的有效性。电机参数设置如表1所示。

表1 电机参数

3.1 速度跟踪实验

为验证控制策略对转速跟踪的性能，设计额定转速跟踪实验：在电机空载的情况下，设定PI、ADRC、CADRC、newfal-CADRC转速为1000 r/min, 系统速度响应误差曲线如图4所示。

图4 4种控制算法速度响应误差曲线

由图4可知，PI控制存在较大超调量，而ADRC、CADRC、newfal-CADRC均可实现无超调跟踪。在0.3～0.6 s的稳态误差中PI控制误差波动范围为-0.87～0.85 r/min, 传统ADRC误差波动范围为-0.34～0.18 r/min, CADRC误差波动范围为-0.17～0.18 r/min, 而newfal-CADRC的误差波动在-0.16～0.11 r/min之间，稳态误差最小。

3.2 参数摄动实验

为验证控制策略对参数摄动的抵抗能力，设计参数摄动实验，由于MATLAB/Simulink中集成的PMSM模型无法实现参数的动态修改，因此根据需求将低层库模型进行修改，其具体流程为：

①选中PMSM模型，右击选择“Mask/Look Under Mask”进入封装内部，找到电机参数模块所在的所有位置，右击选择“Library Link/Go To Library Block”,然后点击编辑栏处的“Locked Library”进行解锁。

②将原电机参数模块变为信号端模块，并引出。

③保存，并更新修改的库模型到仿真中。

设计具体实验如下：电机空载启动，电机转速设置为1000 r/min, 然后在0.4 s时分别改变电机的电阻、电感、磁链参数，观察电机的转速和q轴电流的前后变化，其仿真实验结果如图5～图7所示。

图5 电机电阻摄动局部响应曲线

图6 电机电感摄动局部响应曲线

图7 电机磁链摄动局部响应曲线

由图5可知，电机内部电阻参数在0.4 s时从2.785 Ω突变至5.75 Ω,电机转速曲线波动趋势没有明显的变化，控制系统保持稳定运行。

由图6可知，电机内部电感参数在0.4 s时刻从8.5 e-3mH突变至1.7 e-2mH,电机转速曲线波动趋势发生变化，转速的波动峰值增大，变化频率减小。其中PI控制变化最大，误差幅值增大至-2～2 r/min, 而newfal-CADRC变化最小，误差仍保持在-0.11～0.11 r/min之间。

由图7可知，电机内部磁链参数在0.4 s时刻从0.175 Wb突变至0.25 Wb, 电机转速曲线发生明显突变，系统稳定后转速波动频率降低，波动幅逐渐减小。其中PI突变0.5 r/min, ADRC突变0.115 r/min, CADRC和newfal-CADRC均突变0.85 r/min和0.8 r/min。

从上述实验可以得出ADRC、CADRC、newfal-CADRC在电机参数摄动情况下均由较好的抵抗能力，而PI较差；CADRC、newfal-CADRC对参数摄动的影响都有较好鲁棒性。

3.3 负载转矩突变仿真实验

为验证控制策略在负载突变时的适应性，设计仿真试验：电机带载启动，初始负载为5 N·m, 设定稳态转速为1000 r/min。当电机达到稳态转速后，0.2 s时加至10 N·m的负载转矩，转速达到稳定之后，0.4 s时将10 N·m的负载卸去，得到系统的负载突变的速度响应曲线为如图8所示。

图8 4种控制算法负载扰动响应曲线

由图8可知，负载突变时，PI控制速度变化值最大，可达8%,ADRC速度变化值到达5.95%,CADRC变化值达到4.6%,newfal-CADRC变化值最大达到2.4%。在负载扰动产生之后，PI控制最长时间0.08 s调节恢复，ADRC需要0.058 s调节恢复CADRC为0.04 s,newfal-CADRC的调节时间小最小，为0.022 s。newfal-CADRC在电机负载突变5 N·m条件下，相较于CADRC最大变化值减小47%,相较于ADRC最大值变化减小59%,同等条件下，相较于ADRC和CADRC恢复时间分别缩短66%和50%。

3.4 斜坡负载扰动实验

为验证理论推导中CADRC对斜坡扰动的抵抗能力，设计斜坡负载扰动模拟斜坡扰动，仿真实验如下：电机空载启动，设定转速为1000 r/min。在0.2 s时施加3 N·m的负载，在0.5 s时减少至0,使负载以-1的斜率变化。得到的速度响应曲线如图9所示。

图9 4种控制算法斜坡负载扰动响应曲线

由图9可知，当系统施加斜坡负载扰动时，PI控制和ADRC均有明显的偏差值，无法收敛至期望值附近。其中PI误差范围为1～4 r/min, ADRC误差在0.96～1.2 r/min, 而CADRC、newfal-CADR均可逐渐收敛至0.15 r/min误差以内，而newfal-CADRC更快达到期望值。newfal-CADRC和CADRC误差逐衰减，CADRC以及newfal-CADR相较于ADRC误差减小率均大于64%。

该实验有效证明了级联NESO的结构对斜坡扰动具有更好的鲁棒性以及newfal函数对非线性扩张状态观测器能力的有效提高。

3.5 噪声影响实验

设定转速1000 r/min, 加入采样时间为0.000 01 s, power为0.001的高斯白噪声，测试输出iq。

图1 0 4种控制算法噪声影响下的iq输出曲线

表2 噪声影响下各个控制算法抖动范围

由图10和表2可知4种算法中newfal-CADRC抵抗能力最强，分别相较于CADRC、ADRC提升31%、96%,而PI的抗噪声能力最差。

4、实物实验

为验证控制策略的有效性，图11为1 kW表贴式永磁同步电机平台进行验证。电机空转一段时间后转速设置为300 r/min, 待电机平稳运行后，转速升至700 r/min。图12分别为PI、CADRC、newfal-CADRC的转速和q轴电流曲线，同时开启毛刺捕获，显示噪声影响。

图11 电机控制系统实验平台

图1 2 4种控制策略转速与iq电流曲线

从图12可知，PI响应速度较快，但有较大超调，ADRC、CADRC、newfal-CADRC转速均无超调，但ADRC响应速度较慢，CADRC和newfal-CADRC均有较好的响应速度；PI算法、ADRC、CADRC的q轴电流波动幅度和尖峰大小都明显大于newfal-CADRC算法；而从示波器捕获的噪声毛刺可以反映CADRC、newfal-CADRC对于硬件系统自身噪声具有更好的抵抗能力。

5、结论

文中提出了一种级联非线性扩张状态观测器的的自抗扰控制策略，级联NESO对系统扰动共同观测补偿。对于斜坡扰动能有效观测和补偿，保证无误差收敛。此外在级联NESO的结构下设计了改进的newfal函数，避免了震颤问题并调高了观测器观测性能。newfal-CADRC相较于传统ADRC速度稳态误差、负载突变变化值及恢复时间分别减少约36%、59%、66%。在1 kW的实际系统平台上进行验证，实验证明了仿真的有效性，充分证明了改进的控制策略对负载扰动、斜坡负载扰动具有较好的鲁棒性，对参数摄动、噪声影响具有较好的抵抗能力。

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基金资助:湖北省教育厅科研技术研究项目(Q20221805);湖北省揭榜制科技项目(2021BECO02);

文章来源:简炜,胡文涛,彭国生,等.改进扩张状态观测器的PMSM自抗扰控制策略[J].组合机床与自动化加工技术,2024,(11):142-146+151.