摘要:概率论中的骰子模型在许多领域有着重要的应用,本文研究投掷多次骰子时,点数之和的概率计算问题.应用生成函数法得上述问题简洁的概率计算公式,并考虑它的推广情形,最后给出几个计算的例子.
骰子模型有着广泛的应用.[1,2,3,4]苏有菊和魏首柳应用列举法、生成函数方法、母函数法、组合数法给出了投掷次数为2次或3次,点数之和为7或9时概率的具体计算例子.[5,6]本文将对生成函数法展开深入探讨,给出一个结构优美的计算公式,进一步给出任意面体的推广“骰子”,在n次投掷后的点数之和为m的概率计算公式.
1、主要结论
假设一个传染源在一个周期内传染的个体数可能是1个、2个直到6个,且假设等可能的,即每个概率均为.n个这样的传染源在一个传染周期内,有m个个体被传染上的概率是多少?这个问题可以被抽象为一个骰子被投掷n次,点数之和为m的概率.这是一种在传染病传播研究中一种非常有用的短期模型———骰子模型.应用生成函数和幂级数展开,给出n次投掷骰子过程中点数之和概率计算的一个简洁定理,并考虑它的推广情形.
定理1设有一个均匀的骰子,对其投掷n次,得到点数之和为m的概率为
其中m-n-6a≥0,a满足不等式的最大非负整数.
1. 证明首先,构造一个多项式的n次方,m次方项的系数即为在n次投掷过程中,点数之和为m的组合数.
对最后一项应用幂级数展开得
在n次的投掷实验中,出现的次数为m,分成以下情况讨论:
2. 第一项取xn,第二项取Cn1(-x6)1,第三项取
3. 第一项取xn,第二项取Cn2(-x6)2,第三项取
综合1,2,3,4所得到的结论,可以看出次数为m的组合数为
其中,m-n-6a≥0.a满足不等式的最大非负整数.
按古典概型的计算公式,其概率为该组合数除以样本点总数.点数m为的概率为:
定理2设有一个k个面的均匀的骰子,对其投掷n次,得到点数之和为m的概率为,其中m-n-ka≥0,a满足不等式的最大非负整数.
证明类似定理1,此处不再赘述.
2、数值例子
例1设3次投掷骰子,点数和为9的概率.[5]
解m=9,n=3,9-3-6a≥0,a的取值为1,
例2设3次投掷骰子,点数和为8的概率.[6]
解m=8,n=3,8-3-6a≥0,a的取值为0,
例3设3次投掷骰子,点数和为7的概率.[5]
解m=7,n=3,7-3-6a≥0,a的取值为0,
上述结论与文献[5,6,7]中完全一致.
参考文献:
[1]李光正.从随机试验到随机过程的概念演化[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,2014(4):7-9.
[2]刘常彪,李臻臻.关于泊松分布高阶矩的一些研究[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,2014(2):5-6.
[5]苏有菊.论概率论与数理统计中“骰子”问题的概率[J].普洱学院学报,2017,33(6):21-23.
[6]魏首柳.概率论与数理统计中“骰子”问题的概率探讨[J].南阳师范学院学报,2011,10(3):18-20.
[7]屈婉玲,耿苏云,张昂立.离散数学[M].北京:清华大学出版社,2008.56-72.
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基金:国家自然科学基金项目(11201001);安徽省教育厅科研项目(2016A033).
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期刊名称:应用概率统计
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主管单位:中国科学技术协会
主办单位:中国数学会概率统计学会
出版地方:上海
专业分类:科学
国际刊号:1001-4268
国内刊号:31-1256/O1
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创刊时间:1985年
发行周期:双月刊
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