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随机模拟两类极限定理的探索

2019-12-27 418 上传者：管理员

摘要：大数定律和中心极限定理作为概率论与数理统计课程教学中的重点和难点之一，文章基于R语言对概率论中的大数定律和中心极限定理进行随机模拟，运用图形将模拟结果直观展示出来，可以使学生能够较好地理解和掌握大数定律和中心极限定理的本质，同时能够训练学生的编程能力，增强其动手能力。

关键词：
R语言
中心极限定理
大数定律
随机模拟
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大数定律和中心极限定理^[1]是概率论与数理统计中非常重要的定理之一，在概率论的基础理论与统计学的统计推断中起着一个承前启后的作用，同时也是概率论与数理统计课程教学中的一个重点和难点。大数定律表明，随机变量的算术平均值依概率收敛于其数学期望。中心极限定理表明，不论一个随机变量是离散型的还是连续型的，也不论该随机变量服从何种分布，当这种相互独立的随机变量个数增加时，其和的分布近似地服从正态分布。因此，只要随机变量的个数足够多，便可以不用考虑和式中的随机变量具体服从什么分布，而可以利用正态分布的良好性质做近似计算，这是因为正态分布有着许多完美的结论，因此这两类极限定理在诸多领域都有着重要和广泛的应用。但值得注意的是，该类定理中的相互独立条件不能忽略^[2]，如果不满足相互独立条件，则结论不成立。

然而，由于这两类极限定理本身比较抽象，学生在学习的过程中表示比较茫然，不清楚定理要表达的意思。另一方面，该类定理结果的多样性也使得学生容易产生厌恶情绪，从而导致其难以较好地理解定理本质，更谈不上应用其解决实际问题。鉴于此，本文利用R语言01对概率论与数理统计中最为常见的切比雪夫大数定律和独立同分布的中心极限定理(林德贝格——勒维定理)进行随机模拟，并通过图形将模拟结果直观地展示出来，从而让学生对定理所反映的内容有更为直观和深入的理解。

1、相关定理

由于切比雪夫大数定律要求随机变量序列相互独立且具有相同的期望和方差，独立同分布中心极限定理要求随机变量序列相互独立且具有共同的分布，并且具有相同的期望和方差。为了方便模拟，对这两个定理条件进行融合得到如下定理：定理1

即当n充分大时，大数定律告诉我们随机变量的算术平均值依概率收敛于其数学期望，中心极限定理告诉我们随机变量的算术平均值近似服从正态分布。

2、语言随机模拟及实现

R语言是GNU版本的s语言实现，是一款优秀的免费统计软件，它不仅提供了丰富的数据分析技术，功能十分强大，而且与其他多数统计软件相比，R的更新速度快、使用更灵活，在实际工作和科学研究的很多领域被越来越多的人们使用，现已成为数据分析软件的主流。我们首先验证大数定律：设为来自某总体的随机样本即随机变量，模拟求样本均值即随机变量的算术平均，假设总体分别服从均值为5的泊松分布、均值为10的指数分布[10，50]区间上的均匀分布，从三个总体中分别抽取样本容量为n的样本，让n从1增加到10000，分别计算这10000个不同的样本均值，然后按照先后顺序绘制线图，生成结果见图1所示。图1样本均值的渐近过程

图1形象地描绘了随着n的增大，无论是泊松分布、均匀分布，还是指数分布，其样本均值都在逐渐接近总体均值，且当n越来越大，则样本均值与总体均值的差距可以达到无限小，从而验证了大数定律的存在性。

我们再来验证中心极限定理：继续选取上述三种不同类型的分布：泊松分布、均匀分布和指数分布分别进行验证。在模拟过程中，首先给出总体分布直方图，然后从总体当中分别抽取样本容量为2、5、10、50、100、500和1000的各5000个样本，分别绘制其频率分布直方图，添加核密度估计曲线(图中红色曲线)，并与相应正态分布密度曲线作比较(蓝色曲线)，从图2一图4可以看出，无论总体服从何种分布，随着n的增大，样本均值的分布均逐渐趋于正态分布(图中红色曲线与蓝色曲线逐渐重合)，而且分布越来越集中，这从坐标轴的取值变化情况也可以明显看到，其原因正是由于n的增大，使得样本均值的方差逐渐趋于零，这也从另外一个方面验证了大数定律的存在。图2来自泊松总体x~P(5)的样本均值分布情况图；4来自指数总体X-E(0．1)的样本均值分布情况

3、结语

大数定律和中心极限定理作为概率论与数理统计课程教学中的重点和难点之一，在教学过程中选择使用R语言随机模拟样本均值的取值和概率分布情况，可以使学生能够较好地理解和掌握大数定律和中心极限定理的本质，同时能够训练学生的编程能力，增强其动手能力。值得注意的是，统计模拟的结果并不是一成不变的，由于抽取的随机数不同，从而每次抽取的样本并不相同，所以模拟的结果具有随机性。但是无论怎样，当n充分大时，随机变量的算术平均值依概率收敛于其数学期望并近似服从正态分布的本质始终不会改变。

参考文献：

[1]魏宗舒等.概率论与数理统计教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

[2]张帼奋.抽样分布的若干反例[J].数学学习与研究,2019(08):9+11.

[3]侯雅文,王斌会.统计实验及R语言模拟[M].广州:暨南大学出版社,2015.

郭林祥.两类极限定理的随机模拟[J].信息通信,2019,(9):272-273.

基金项目:本文受甘肃省高等学校科研项目(批准号:2018A-070)资助｡