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初等概率论中示性函数的应用探究

  2021-01-20    482  上传者:管理员

摘要:示性函数在实分析等课程中很基本且应用广泛,但在初等概率论教材里应用不多.本文举例说明示性函数可以帮助学生理解初等概率论中一些基本概念、结论并精简其中一些计算.

  • 关键词:
  • 事件
  • 期望
  • 概率
  • 概率论
  • 示性函数
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1、引言


设A为集合Ω的子集,则A的示性函数1A定义为

1A(ω)={1,0,ω∈A,ω∈A¯¯¯.

在实分析、测度论、高等概率论等课程中,示性函数处处可见,是构造简单函数,逼近一般可测函数的基石.虽然学生在学习高等数学初期就会了解的著名的Dirichlet函数就是有理数集的示性函数,但遗憾的是,在教学中,特别是在初等概率论教学中,示性函数的作用没有得到应有的充分重视.有的教材对示性函数仅作简单应用[5],有的教材则对示性函数避而不谈[2].有些作者已经注意到示性函数在初等概率论中的一些应用[1,4,7,8].本文通过多个方面的例子对示性函数在初等概率教学中的应用作进一步说明,着重于它在帮助学生理解某些重要概念,帮助教师精简加深部分教学内容方面的作用.


2、例子


2.1事件之间的关系与运算

示性函数的一些基本性质如下.

定理1设事件A,B为集合Ω的子集,则

(i)1∅=0,1Ω=1;

(ii)A=B当且仅当1A=1B;

(iii)A⊂B当且仅当1A≤1B,也等价于1A1B=1A;

(iv)A,B互斥当且仅当1A1B=0;

(v)A,B互为对立事件当且仅当1A+1B=1;

(vi)1A∩B=1A1B=min{1A,1B};

(vii)1A∪B=1A+1B-1A1B=max{1A,1B};

(viii)1A-B=1A(1-1B).特别,如果B⊂A,则1A-B=1A-1B.

易见,借助于示性函数,事件(集合)之间的布尔代数运算被转换为示性函数之间的算术运算.实际教学中,事件的关系与运算往往由集合的关系与运算引入.作为补充,可以应用示性函数来加深学生对事件的关系与运算的理解.下面列举的例子可启发学生领会示性函数之妙.

例1设A,B为集合Ω的子集.

(i)可以用示性函数证明对偶原理,例如A∩B¯¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯∪B¯¯¯.事实上,

1A∩B¯¯¯¯¯¯¯¯=1−1A∩B=1−1A1B=1−(1−1A¯¯¯)(1−1B¯¯¯)=1A¯¯¯+1B¯¯¯−1A¯¯¯1B¯¯¯=1A¯¯¯∪B¯¯¯.

(ii)A,B的对称差定义为AΔB∶=(A∪B)-(A∩B),则1AΔB=(1A-1B)2.事实上,

1AΔB=1A∪B-1A∩B=(1A+1B-1A1B)-1A1B=(1A-1B)2.

利用示性函数可以研究事件之间更多的关系与运算.例如,利用对称差的示性函数表示证明AΔB=(A-B)∪(B-A),并证明对称差满足结合律、交换律等.更多习题,读者可以参考相关文献[6].

2.2随机变量的表示及其期望

设F是样本空间Ω上的σ代数,(Ω,F)上随机变量X定义为Ω上的函数,且对任意x∈ℝ,X-1((-∞,x])={ω∈Ω∶X(ω)≤x}∈F.随机变量是概率论中的基本概念,实际上也是教学中的难点.一些初等概率论教材为降低难度,对可测性条件不作介绍[5].建议教师向学生简单介绍Ω上的σ代数以及随机变量的确切定义,这样概率论中其他重要概念,如事件,作为F上以事件为自变量的函数的概率,以及分布函数等概念才能恰当自然地定义.

为介绍随机变量而不加重学生负担,最简单而重要的例子是示性函数.易得如下结论.

定理2设(Ω,F,P)为一概率空间,A⊂Ω.则示性函数1A为随机变量当且仅当A∈F,即A是事件.此时,E(1A)=P(A).

还可以用示性函数的线性组合来表示离散型随机变量.设X为随机变量,取值范围为x1,x2,…,则X=∑i=1∞xi1{X=xi},其期望为

EX=∑i=1∞xiP(X=xi)=∑i=1∞xi(E1{X=xi}).

引入示性函数表示随机变量,有利于随机变量的表示,也有利于期望的计算.例如,多重伯努利试验中总的成功次数可表示为各个试验中成功次数之和,因而可以写为示性函数之和.这样的表示有利于总成功次数的期望与方差的计算,还有利于更好地理解为何伯努利大数定律、棣莫弗-拉普拉斯定理分别为切比雪夫大数定律、林德伯格-莱维中心极限定理的特殊情形.又如,在教学中,离散型随机变量期望的线性性往往放在介绍多维随机变量、联合分布等概念之后.实际上,可以利用示性函数来证明这个性质,避免联合分布等概念以提前介绍离散型随机变量的期望及其线性性这两个重要概念.

下例来自[5].用示性函数改写其中的证明,更易理解.

例2设r人在共n层的某楼的底层进入电梯,每一乘客在任一层下电梯的概率相同.如果某层没有乘客下电梯,电梯不停.求乘客都下完电梯时电梯停车的次数X的数学期望.

解用Ai表示电梯在第i层停车这一事件.则X=∑i=1n1Ai.易得EXi=1−(1−1n)r.所以

EX=∑i=1nEXi=n(1−(1−1n)r).

下例是经典结论.本质上,其证明思想与常见的对事件的概率进行运算的证明方法相同.它展示了示性函数是如何辅助计算的.

例3设X为取值为非负整数的随机变量,则EX=∑i=1∞P(X≥i).

证EX=E∑j=1∞j1{X=j}=E∑j=1∞(∑i=1j1)1{X=j}=E∑j=1∞∑i=1j1{X=j}

=E∑i=1∞∑j=i∞1{X=j}=E∑i=1∞(∑j=i∞1{X=j})=E∑i=1∞1{X≥i}   =∑i=1∞E1{X≥i}=∑i=1∞P(X≥i).

2.3事件的概率的计算

等式E(1A)=P(A)揭示了期望与概率的密切联系(事实上,可以通过约定期望应满足的公理将概率论公理化[6]),而示性函数在其中起桥梁作用.由此,概率的性质、计算可利用示性函数的期望来计算.

下例中用示性函数证明三个事件的并的概率的加法公式.该方法可以推广到有限个甚至可数个事件的并的概率的计算公式.

例4设A,B,C为任意事件,求P(A∪B∪C).

解根据示性函数的性质,有

1A∪B∪C=1−1A∪B∪C¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=1−1A¯¯¯∩B¯¯¯∩C¯¯¯=1−1A¯¯¯1B¯¯¯1C¯¯¯   =1−(1−1A)(1−1B)(1−1C)=1A+1B+1C−1A1B−1B1C−1A1C+1A1B1C   =1A+1B+1C−1A∩B−1B∩C−1A∩C+1A∩B∩C.

从而有

下面的问题来自来自教材[5]中习题1的第22题.

例5设A,B,C为任意事件,求证P(A∩B)+P(A∩C)-P(B∩C)≤P(A).

证P(A∩B)+P(A∩C)-P(B∩C)

=E(1A1B+1A1C−1B1C)=E(1A1B+1A1C−[1A+1A¯¯¯]1B1C)

=E(1A[1B+1C−1B1C]−1A¯¯¯1B1C)≤E(1A1B∪C)≤E1A=P(A).

对上述两例中的问题,一般做法是对事件进行较为繁琐的分割.使用示性函数计算较为简洁,另有新意.

2.4分布函数的表示与计算

离散型随机变量的分布函数可以用示性函数表示、计算.

例6独立投掷两枚均匀骰子所得点数分别为X,Y.求最大点数M=max{X,Y}的分布列.

解显然,X,Y独立同分布,它们的分布函数同为

F(z)=(161[1,2)+261[2,3)+361[3,4)+461[4,5)+561[5,6)+1[6,+∞))(z).

所以,M的分布函数为

FM(z)=P(X≤z,Y≤z)=F(z)2   =(1361[1,2)+4361[2,3)+9361[3,4)+16361[4,5)+25361[5,6)+1[6,+∞))(z).

从FM(z)可得M的分布列为

P(M=i)=2i−136, i=1,2,⋯,6.

该问题是初等概率论中的经典例题,易通过枚举法用古典概率计算(参[2,例2.1.3]).之所以用另外的方法计算,是因为极值分布有一般抽象计算公式[5].该公式是概率论教学中一个较难的知识点.用示性函数应用一般公式进行计算,不很复杂,且计算结果可与用古典概率得到的结果相印证.这样可以使学生更直观地理解极值分布的一般计算方法.

2.5表示分布密度

许多分布密度函数是分段函数,可以很自然地用示性函数表示.形式上的表示可给计算和理解带来很多好处.如可利用示性函数来研究独立随机变量之和的概率密度函数的计算[4].我们举两个别有趣味的例子.

例7设Ω为平面上的一个可测区域,μ(Ω)>0,其中μ为平面上的面积度量.服从Ω上的均匀分布的随机变量的概率密度函数可以表示为1Ω/μ(Ω).对平面上任何可测区域A,其几何概率为

P(A)=∫A1μ(Ω)1Ωdxdy=1μ(Ω)∫R21Ω1Adxdy=μ(A∩Ω)μ(Ω).

均匀分布、几何概率是初等概率论中的重要内容.上述计算可以使学生更清楚地看到几何概率的本质是均匀分布.

例8设总体X服从区间[0,θ]上的均匀分布,其中θ>0为参数.设x1,x2,…,xn>0为样本.求θ的最大似然估计值.

解设x(n)=max{x1,x2,x3,…,xn}.随机变量X的概率密度函数为

f(x;θ)=1θ1[0,θ](x).

因此,参数θ的最大似然函数L为

L(θ)=∏i=1n1θ1[0,θ](xi)=1θn∏i=1n1[xi,+∞)(θ)   =1θn1∩ni=1[xi,+∞)(θ)=1θn1[x(n),+∞)(θ)={0,1θn,θ

可见L在θ=x(n)处取到最大值.所以,θ的最大似然估计值为x(n).

上例中的问题是最大似然估计理论教学中的基本问题,貌似简单,却是难点.一般教材在处理该问题的论述中常使用语言描述而使学生较为困惑.利用示性函数,将思维过程转换为形式推理,可使学生更容易理解.

2.6混合矩计算公式,Hoeffding公式及其他本小节内容都源于如下例子.

例9设X,Y为非负随机变量,则有如下混合矩计算公式

E(XY)=∫∞0∫∞0P(X>x,Y>y)dxdy.(1)

解E(XY)=E∫X0∫Y01dxdy=E∫∞0∫∞01{X>x}1{Y>y}dxdy

=∫∞0∫∞0E1{X>x,Y>y}dxdy=∫∞0∫∞0P(X>x,Y>y)dxdy.

为简洁起见,在上面的计算中,对一般的随机变量进行统一处理.在初等概率论中,可以分别对离散型、连续型随机变量进行证明.

在(1)中取Y=1可得用尾概率计算随机变量期望的公式

EX=∫∞0P(X>x)dx.(2)

综合利用(1)和(2)可得计算协方差的Hoeffding公式

Cov(X,Y)=∫∞0∫∞0[P(X>x,Y>y)−P(X>x)P(Y>y)]dxdy.(3)

等式(1),(2),(3)是较为熟知的结论[7].下面强调它们的教学价值.

如果非负随机变量X,Y有随机序,即对任意x∈ℝ,FX(x)≥FY(x),则从(2)可直接得EX≤EY.许多解析不等式可以从这个观测得到[3].学生可以从中领略概率方法在分析中的应用.从(3)可以清楚地见到独立性与不相关之间的联系与区别:两个(非负)随机变量独立蕴含它们不相关,反之不然.根据熟知的程序,从(2)出发,还可以得到马尔科夫不等式和切比雪夫不等式.

由此可见,从利用示性函数证明混合矩计算公式开始,初等概率论中许多重要内容和概念,可如宝珠一样一线串连.


3、结论


通过上述各方面的例子可见,示性函数可用于初等概率论中各个主要方面.它可用于研究事件的关系与运算,表示随机变量及其分布,计算复杂事件的概率、随机变量的期望和分布函数,证明与期望相关的重要不等式等.示性函数可用于帮助学生理解随机变量、均匀分布等重要概念,还自然地出现在如与伯努利分布相关的数字特征的计算,大数定律与中心极限定理等重要内容中.因此,在初等概率论的教学及教材编著中,示性函数值得系统引入并加以重视.


参考文献:

[1]程晓生.示性函数在概率论中的简单应用[J].江苏科技信息,2014,20(20):91-92.

[2]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2015.

[3]欧阳顺湘.实变函数论中的概率方法[J].高等数学研究,2020,23(1):64-66.

[4]司存瑞,梁永吉.用示性函数计算随机变量函数的概率分布[J].陕西教育学院学报,1994,10(1):74-80.

[5]王勇.概率论与数理统计[M].3版.北京:高等教育出版社,2004.

[7]张银龙,刘国庆,王勇.妙用示性函数巧解概率问题[J].大学数学,2010,26(6):199-202.

[8]赵俊,宗序平.示性函数在概率论中的应用[J].洛阳师范学院学报,2009,28(5):23-24.


欧阳顺湘.示性函数在初等概率论中的应用[J].大学数学,2021,37(01):77-81.

基金:国家自然科学基金(11726403,11701265)

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