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多元抽象复合函数求导中树形图及其拓展的应用
摘要：多元复合函数的导数是高等数学中的重点内容，抽象复合函数的二阶导数则是其中的难点。本研究使用树形图及其拓展应用，探究多元复合函数简化且有效的求导方法。结果表明，引入拓展的树形图，可以使求多元抽象复合函数的导数变得容易理解和计算，进而极大地提高了学生的学习效率。
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一元复合函数求导法则又称链式法则，不仅是因为其关系图y-u-x像一条链子，也不仅是因为求导法则很困难，更重要的是因为想到链式法则就想到了绷断的锁链。通过该法则，可以挣脱求导问题的束缚，对很多类型的函数进行求导。将链式关系图推广到树形图，在理解多元复合函数求导法则的基础上找到计算其二阶偏导数的简便方法。
1、普通树形图的使用方法及实例分析
1.1 多元函数与多元函数复合的情形
定理1:若函数u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在点(x,y)处具有对x及y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(x,y)，ψ(x,y)]在点(x,y)处的两个偏导数都存在，且有:
借助于复合函数的函数结构图———树形图对复合函数求偏导数的过程进行分析。
因变量z是中间变量u,v的二元函数从z出发分出两条线，u,v都是自变量x,y的二元函数，所以再各自分出两条线，画树形图，如图1所示。
(图1)
从树形图可以看出，从z到x有两条路径:z-ux和z-v-x，对每条路径使用链式法则，有，两者相加，即得公式(1)的第1式。可将多元复合函数的求导法则简单地称为“链乘相加”。
例1:设z=f(x2y,x-y),f的一阶偏导数连续，求
解:第一步:求一阶偏导数
引入中间变量:u=x2y,v=x-y，则z=f(u,v)，树形图如图1所示，从z到x有两条路径:z-u-x和zv-x，根据定理1，有:
其中f1'(u,v)中的下标1表示对第1个变量u求偏导数，即，同理有f2'(u,v),f″11(u,v),f″21(u,v),f″22(u,v)等。
第二步:求二阶偏导数
表示一阶偏导数对y的偏导数，需将中的x看作常量，有:
求时，应注意到f1'(u,v)及f2'(u,v)的u,v是中间变量，画树形图如图2所示。
(图2)
从f1'到x有两条路径:f1'-u-x和f1'-v-x;从f2'到x有两条路径:f2'-u-x和f2'-v-x，根据定理1，有:
于是:
1.2 其他情形
复合函数的类型很多，不再一一列举，选择一种自变量本身又是中间变量的情况作为代表。
例如u=φ(x,y)在点(x,y)处具有对x及y的偏导数，z=f(u,x,y)具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(x,y),x,y]在点(x,y)处的两个偏导数都存在。此时因变量z是中间变量u,x,y的二元函数，从z出发分出三条线，u是自变量x,y的二元函数，所以再分出两条线，画树形图如图3所示。
(图3)
从图3可以看出，从z到x有两条路径:z-u-x和z-x，根据“链乘相加”，可得复合函数z=f[φ(x,y),x,y]对x的偏导数:
类似可得对y的偏导数:
请注意，是不同的，是复合函数z=f[φ(x,y),x,y]对x的偏导数，把y看作常数;是复合函数z=f(u,x,y)对x的偏导数，把y及u看作常数。在实际使用时，学生们总容易混淆，分不清两者的区别。下面改进树形图，在理解多元复合函数求导法则的基础上直接得到偏导数。
2、树形图拓展及实例分析
对定理1中涉及的函数，因z是u,v的二元函数，将z对u及v的偏导数写在从z出发分出的两条线上;u,v都是自变量x,y的二元函数，将各自对x及y的偏导数写在各自分出的两条线上，即树形图变为图4。再根据“链乘相加”，即得公式(1)。
(图4)
根据拓展的树形图对例1进行分析。
例1:设z=f(x2y,x-y),f的一阶偏导数连续，求
解:引入中间变量:
将上述偏导数写在树形图上，如图5所示。
则等于z-u-x和z-v-x这两条路径上对应的导数乘积之和，即。将中的x看作常量，有:
类似画出有关f1'和f2'的树形图，如图6所示。
(图6)
易知等于f'1-u-x和f'1-v-x这两条路径上对应的导数乘积之和，即等于f'2-u-x和f'2-v-x这两条路径上对应的导数乘积之和，即，于是:
根据拓展的树形图还可很容易处理自变量本身又是中间变量，甚至更复杂的情况。
例2:设，其中函数f具有二阶连续偏导数，求
解:引入中间变量:，则z=xf(u,y)，画出树形图，如图7所示。
(图7)
则等于z-x和z-f-u-x上这两条路径对应的导数乘积之和，即:
将中的x看作常量，有:
再画出有关f1'的树形图，如图8所示。
(图8)
引入拓展树形图，使求多元抽象复合函数导数变得容易理解和计算，极大地提高了学生的学习效率。
参考文献：
[1]陈隽,李德新.多元复合函数求导链式法则证明的注记[J].高等数学研究,2018,(02):39-40.
[2]王红军,杨有龙.微分叠加原理在多元复合函数求导中的应用[J].大学数学,2015,(06):80-82.
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张伟.树形图及其拓展在多元抽象复合函数求导中的应用[J].黑龙江科学,2020(22):24-26.
基金:江苏省高校“青蓝工程”优秀青年骨干教师项目资助.
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期刊名称：高等数学研究
期刊人气：584
主管单位：陕西省科学技术协会
主办单位：西北工业大学,陕西省数学会
出版地方：山西
专业分类：科学
国际刊号：1008-1399
国内刊号：61-1315/O1
邮发代号：52-192
创刊时间：1954年
发行周期：双月刊
期刊开本：16开
见刊时间：7-9个月
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