本文作为大学《数学建模》课的导言，着重要讲的是：为什么要学习《数学建模》这门课程？以及怎样才能学好这门课程？内容包括以下几个方面：

1）什么是数学建模？

2）数学建模对发展数学学科和推动数学应用的重要性．

3）数学建模对培养创新型人才的重要性．

4）对数学建模的教学与训练的一些建议．

5）用数学的眼光观察世界．

1、什么是数学建模

世间的万事万物都有数和形这两个侧面，数学就是撇开了事物其他方面的状态和属性，单纯研究现实世界中的空间形式与数量关系的科学．它有着丰富多彩的内涵，也有着极为广泛且重要的应用．

大家知道，数学是各门科学的重要基础，在自然科学、工程科学、人文科学及社会科学等方面均发挥着越来越重要的作用，在很多场合甚至起着举足轻重乃至决定性的影响．数学科学与计算机技术相结合，已形成了一种普遍的、可以实现的关键技术———数学技术，成为当代高新技术的重要组成部分，“高技术本质上是一种数学技术”的提法，已经得到越来越多人们的认同．不少重要科学领域的数学化趋势，也已呼之欲出或初见端倪．数学又是经济建设和技术进步的重要工具，对加快我国现代化建设和增强综合国力起着至关重要的作用．数学更是人类文明的重要组成部分和坚实支柱，数学教育对提高全民素质、对培养现代化建设所需要的各类人才有着举足轻重的意义．正因为这样，数学科学的重要性已得到广泛的认同，现在，在大学本科中，数学类的专业已经成了一个最热门的专业．

但是，数学要走向应用，真正显示出它在各个领域、各种层次应用中的关键性、决定性作用，显示出它的强大生命力，必须设法在实际问题与数学之间架设一个桥梁．这就是说，首先要将这个实际问题化为一个相应的数学问题，然后对这个数学问题进行分析和计算，最后将所求得的解答回归实际，看能不能有效地回答原先的实际问题；如果不能，还要从一开始进行必要的调整，直到达到基本满意的程度为止．这个全过程，特别是其中的第一步，就称为数学建模，即为所考察的实际问题建立数学模型．

这儿涉及到两个既有区别、又有联系的名词和概念．一个是“数学模型”，其英文为Mathematical Model，而另一个是“数学建模”，其英文为Mathematical Modeling．后者的Modeling是一个动名词，强调的是“构建”数学模型的过程与方法，而前者的Model是一个名词，表示的是构建后所得到的数学模型．

“数学模型”和“数学建模”这两个名词出现得比较晚，在我国兴起并被广泛使用，不过是近卅多年的事．1982年起我国开设“数学建模”课程，1992年起举办每年一次的全国大学生数学建模竞赛，2000年起以数学建模及应用为核心的“Study GroupwithIndustry”在我国定期举办，2002年起开展“将数学建模的思想与方法融入数学类主干课程”的教改实践，2006年起大力提倡“问题驱动的应用数学研究”，2012年《数学建模及其应用》杂志创办等等，均使以数学建模为核心的教学与研究活动进一步向纵深发展．所有这一切，构成了这些年来在国内历时最长、规模最大也最成功的数学教学改革实践，得到了社会各界和广大师生的广泛认可、热情欢迎与大力支持．

这样看来，数学模型的建立或者数学建模，似乎是一个新东西，其实是古已有之的．

图1Euclid与《几何原本》

纪元前三世纪欧几里得所写的《几何原本》，是一本公认的数学经典（图1）．这本书中那么多的几何定理，不都是而且恐怕绝大部分并不是他本人发明的．欧几里得的贡献是利用他提出的五个公设及五条公理，用严格演绎的方法，将古希腊时代积累下来的众多几何知识构建出一个完整的体系，一座宏伟的几何大厦．用现在的语言说，欧几里得为现实世界的空间形式构建了一个数学模型．这个模型十分有效，在各方面都有着成功的应用，在它的基础上发展了一整套的几何学，以及一整套以演绎推理为核心的数学研究方法，一直到今天都在发挥着巨大作用．从这个意义上说，欧几里得应该是历史上久负盛名、功勋卓著的数学建模大师，是数学建模的祖师爷，而他为现实世界所构建的数学模型———欧几里得几何学，则一直是数学科学中的瑰宝．

此外，开普勒根据第谷的大量天文观测数据所总结出来的行星运动三大规律，后经牛顿利用与距离平方成反比的万有引力公式，从牛顿力学的原理出发给出了严格的证明，同样是一个数学建模取得辉煌成功的例子．一些重要力学、物理学科的基本微分方程，诸如经典力学中的牛顿第二运动定律、电动力学中的Maxwell方程、流体力学中的Euler方程与Navier-Stokes方程，以及量子力学中的Schr9dinger方程等等（图2），也无不都是抓住了该学科本质的数学模型，成为有关学科的核心内容和基本理论框架．数学建模的重要性，由此已可见一斑．

图2近代著名科学家

既然数学建模历史已如此悠久，那么现在为什么还要大力提倡数学建模、大力推进有关数学建模的种种教育及实践活动呢？要说明这一点，就要进一步阐明数学建模的重要性，阐明提倡数学建模的重要现实意义和深远影响．

2、数学建模对发展数学学科和推动数学应用的重要性

从上面已经说过的内容可以看出：数学建模是联系数学与应用的重要桥梁，是数学走向应用的必经之路．同时，数学建模还在相关的学科与应用中占有关键性的地位和作用．不仅如此，数学建模现在已成为发展现代应用数学的重要突破口和核心内容．这是因为，今天的应用数学正处于迅速地从传统的应用数学进入现代应用数学的阶段．一个突出的标志是数学的应用范围空前扩展，从传统的力学、物理等领域拓展到化学、生物、经济、金融、信息、材料、环境、能源……等各个学科及种种高科技甚至人文社科领域．由于很多新领域的规律还在探索之中，有关的数学建模不仅并非轻而易举，而且具有实质性的困难，至今仍是我们面临的严峻挑战．因此，数学建模不仅进一步凸现了它的重要性，而且已成为现代应用数学的一个重要组成部分，并为应用数学乃至整个数学科学的发展提供了进一步的机遇和无限的生机．

这样，抓住了数学建模，就抓住了联系数学与应用的最重要的纽带，构建了沟通数学与应用的桥梁，为数学与应用的有效结合建立了可靠的保证和基础，并为今后进一步的发展，包括数学科学本身的发展，提供了无穷的契机并铺平了广阔的道路．

上面的这些认识其实还可以而且应该进一步深化．最近，南京的译林出版社将1998年菲尔兹奖得主、英国数学家高尔斯（T.Gowers）所著的科普著作《数学》作为牛津通识读本之一翻译出版（图3），并要我写了一个序．我利用这一机会仔细看了这本书，发现那本书中有一节专讲“何谓数学模型”，篇幅虽不大，但却对我有很大的启发．高尔斯认为：数学所研究的并非是真正的现实世界，而只是现实世界的数学模型，即所研究的那部分现实世界的一种虚构和简化的版本．

图3Gowers与《数学》

前面说过，数学是研究现实世界中的空间形式与数量关系的一门科学．这是恩格斯从哲学角度对数学所作的一个概括、中肯也易于为公众接受的说法．从所研究的现实世界的那部分抽象出相应的空间形式与数量关系，就形成了一个数学模型，构成了数学的研究对象．高尔斯认为数学研究的是现实世界的数学模型这一说法，和恩格斯的说法实际上是不谋而合的．但高尔斯明确点出了数学模型，使人对数学建模重要性的认识大大地上升了一个层次．值得指出的是，说这句话的人不是一个以数学建模为主业的人，而是一个著名的数学家，这就大大增加了这句话的分量，增加了它的客观公正性．

按高尔斯的说法，数学研究的是现实世界的数学模型，即其从空间形式和数量关系角度的抽象，而一旦从现实世界中抽象、简化出了相应的数学模型，就构成了数学研究的对象，就要严格遵循数学研究的规定及规律，在一定程度上脱离了现实世界，甚至似乎变成了独立的存在．但尽管如此，作为数学研究对象的数学模型本质上是来自现实世界的，并要接受现实世界无情而公正的检验，是深深植根于现实世界之中的．

仔细想一下，整数，实数，以及欧氏几何，线性空间，群论，微积分，集合论，乃至混沌，分形等等，有哪一个不是某一方面的数学模型呢？！因此，数学模型不是数学中的一个细小的领域和分支，更不是左道旁门，而是数学的整个研究对象．至于数学建模，即构造现实世界某部分的数学模型，就是为数学提供研究对象的基本步骤和原始出发点．按照这样的理解，整个数学的发展历史就是不断建立数学模型并对其研究逐步深化的历史．各种不同类型、不同层次的大大小小的数学模型及对其相应的研究，构成了洋洋大观的局面，这就是我们现在所面对的数学科学．

从这样的认识出发，数学模型就堂堂正正地进入了数学科学的大殿，成了数学科学研究的主体，而数学建模就成了联系数学与现实世界的重要桥梁，是从现实世界走向数学、并从数学走向应用的必经之路，在数学科学中占有关键性的地位和作用，其重要性是显而易见的．

从事数学建模，打一个通俗的比喻，好比在构建一座房屋，一旦这个房屋初具规模，就成了一个数学模型，以后的应用数学家及纯粹数学家们所做的工作，就是在这个基础上，对这个建筑进行内部整理与装修．这些应用数学甚至纯粹数学的内容，可以达到花团锦簇、美轮美奂的程度，但都是在数学建模基础上加以发挥和深化的．因此，从整个数学的研究来说，搞数学建模是给宏伟的数学大厦奠基、搭架，为整个后继的数学研究工作开辟道路，意义十分重大．大家一定要重视数学建模，努力提高对学习数学建模的重要性的认识．要成为一个好的数学家或数学工作者，绝不能闭目塞听，把自己束缚在一个狭小的天地里，而应该充分认识加强数学建模训练与实践的重要性，努力为自己的数学生涯打开广阔的机遇与前景．

3、数学建模对培养创新型人才的重要性

数学教育本质上是一种素质教育．要真正使学生走近数学、学好数学并热爱数学，数学的教学不能和其他科学以及整个外部世界隔离开来，关起门来只在数学内部的概念、方法和理论中兜圈子．这样做，不利于学生了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉，不利于启发学生自觉地运用数学工具来解决各种各样的现实问题，不利于提高学生的数学素养．长期以来，数学课程往往自成体系，处于自我封闭状态，一直没有找到一个有效的方式，将数学学习与丰富多彩、生动活泼的现实生活联系起来，以致学生在学了许多据说是非常重要、十分有用的数学知识以后，却不会应用或无法应用，有些甚至还觉得毫无用处．直到近年来强调了数学建模的重要性，开设了数学建模以及数学实验等课程，并举办了数学建模竞赛以后，这方面的情况才开始有了很大的变化，为数学与外部世界的联系在教学过程中打开了一个通道，提供了一种有效的方式，对提高学生的数学素质起到了积极的促进作用．这是数学教学改革的一个成功的尝试，也是对素质教育的一个重要的贡献．

不仅如此，任何科学，包括数学科学在内，在本质上都是革命的，是不断创新、发展的，是与时俱进的，可是传统的数学教学过程与这种创新、发展的实际进程却不免背道而驰．从一些基本的概念或定义出发，以简练的方式合乎逻辑地推演出所要求的结论，固然可以使学生在较短的时间内按部就班地学到尽可能多的内容，并体会到一种丝丝入扣、天衣无缝的美感．但是，过分强调这一点，就可能使学生误以为数学这样的完美无缺、无懈可击是与生俱来、天经地义的，反而使思想处于一种僵化状态，在生动活泼的现实世界面前手足无措、一筹莫展．其实，现在看来美不胜收的一些重要的数学思想，包括函数、微积分、Fourier分析、集合论等等，在一开始往往是混乱粗糙、难以理解甚至不可思议的，但由于蕴含着创造性的思想，却又最富有生命力和发展前途，经过许多乃至几代数学家的努力，有时甚至经过长期的激烈争论，才逐步去粗取精、去伪存真，使局势趋于明朗，最终出现了现在为大家公认、甚至写进教科书里的系统理论．要培养学生的创新精神，提高学生的数学修养及素质，固然要灌输给他们以知识，但更重要的是要使他们了解数学的创造过程．这不仅要有机地结合数学内容的讲授，介绍数学的思想方法和发展历史，更要创造一种环境，使学生能身临其境地介入数学的发现或创造过程；否则，培养创新精神，加强素质教育，不免成为一句空话．在数学教学过程中，要主动采取措施，鼓励并推动学生解决一些理论或实际的问题．这些问题没有现成的答案，没有固定的求解方法，没有指定的参考书，没有规定的数学工具，甚至也没有成型的数学问题；主要靠学生独立思考、反复钻研并相互切磋，去形成相应的数学问题，进而分析问题的特点，寻求解决问题的方法，得到有关的结论，并判断结论的对错与优劣．总之，要让学生亲口尝一尝“梨子”的滋味，亲身去体验一下数学的创造过程，取得在课堂里和书本上无法代替的宝贵经验和切身感受．毫无疑问，数学建模课程的教学以及数学建模竞赛的开展，可以在这方面为学生提供一个有益的平台，是值得引起充分重视的．

应该特别指出，通过数学建模将一个看来与数学无关的现实问题归结为一个合理的数学问题，并利用数学方法成功地予以解决，这是一个重要的能力与素质．这种能力和素质的培养与提高，对一个合格的数学工作者、特别是应用数学工作者来说，对不少将来要走向各行各业从事种种实际工作的大学毕业生来说，无疑是十分值得重视、应该着重加以培养的．但现在的大学生，由于在中学里受的多半是拼命刷题的训练，而大学中的其他数学课程也大都单纯着眼于知识的传播和理论上的完美，这是他们过去从未经历过的一种训练，他们在这方面的培养实际上极为欠缺，因而特别值得引起重视．这种培养和训练，因而绝不是可有可无的锦上添花，而是实实在在的雪中送炭．

这样，数学建模不仅是数学走向应用的必经之路，而且是启迪数学心灵的必胜之途．通过参加数学建模的学习与培训，亲自参加将数学应用于实际的尝试，亲自参加发现和创造的过程，必能启迪大家的数学心智，更好地应用数学、品味数学、理解数学和热爱数学．这样做，集知识、能力和素质的培养与考察三位一体，必将有力地促进创新型优秀人才的培养，得到大家的认真参与和欢迎，也是对素质教育的重要贡献．数学建模对人才培养的重要作用和深远影响无疑值得我们大家高度重视．正因为这样，从今年开始，数学建模的实践和活动也已首次列入全国高级中学的教学计划．

4、对数学建模教学与训练的一些建议

学习任何一门课程，都要明确这门课程的特点和定位，才能找到正确的学习方法，取得事半功倍的效果．对《数学建模》课程的学习，更要特别注意这一点．

数学建模这一门课程，与其他很多数学课程不同，它不是靠按部就班的讲授来传授系统的知识，而是采用案例式的教学方法，通过解剖几个“麻雀”来帮助学生领悟数学建模的精神和要领，以达到举一反三、触类旁通的认识和效果．数学建模的学习与训练，靠的主要不是知识的灌输，而是靠深入的感悟与体验．只有通过组织学生参加数学建模的实践和活动，使他们亲口尝一尝“梨子”的滋味，体验通过数学建模将数学应用于现实生活的全过程，才能有效地提高他们解决现实问题的能力，增强他们利用数学解决现实问题的意识和信念，学到数学建模的方法，从心底里重视数学建模、热爱数学建模，真正达到学习《数学建模》课程的目的．

为了领悟数学建模的精神与要领，所学习的案例要有适当的数量及覆盖度，这样才能从不同的侧面接触到与数学建模有关的丰富多彩的内容，体验到在不同情况下建立数学模型的风格各异的方法与手段，从而打开视野，避免认识上的局限性．但是，所学的案例并不是多多益善，每年还可以适当更换，因为它们说穿了不过是讲授数学建模的载体，本身未见得有特别大的重要性，更没有必要将有关的细节死记硬背、奉若神明．但弄清了这些代表性的案例，对其他一些建模的案例，虽然老师没有讲，也应该可以经过自己的努力比较容易地把握其内涵，从而对建模有一个比较深入的认识和理解．

此外，为了更好地领悟数学建模的精神与要领，对案例的学习更要注意一定的深度．如前所说，数学模型是现实世界的一个近似的反映，而近似是有不同要求与层次的，有好与坏、精细与粗糙等等的分别，更有人们所关注的种种不同的侧重面．这就决定了对现实世界中的同一件事，其相应的数学模型不可能是唯一的，不可以一锤定终身．相反，对于一种给定的情境，可以有多种方法将其建模，即有侧重面各不相同的、不同层次的多种数学模型；在实际的应用中，人们就可以根据需要选用适当的乃至最优的模型．不了解这一点，认为同一现象只能有一个数学模型，并将那种最简单的模型作为其唯一的范本，像小学生那样对号入座地应用，是不能理解数学模型的奥妙和精髓、也不能真正发挥数学模型的威力的．对数学建模的学习与训练，绝不能使认识停留在一个特定的位置上，抱残守缺，止步不前，而应该顺应数学建模生动、进取、不断深入的特点，不断加深自己的认识，提高自己的水平．只有这样，才能深切地领悟数学建模生气蓬勃的创新精神和推动力量，才能深切感受到数学建模的生命力，才能真正提升自己的境界，理解数学建模的精髓．

因此，数学建模的学习与训练，决不能仅仅满足于在面上了解一些数学建模的案例，这样学习得再多，也是不够的．我们应该知道，写在教科书上的那些相当经典的数学模型都是做了相当多的假设之下的最最基本而简化了的模型，其适用程度是有很大限制的．而这些模型的局限性，它应该向哪些方向深化和发展，才能更有效地反映相应的现实世界？其进一步的挑战与机遇在哪里？这些往往在教科书中都避而不提，最多也只是一笔带过，很容易使大家误以为这就是终极的真理，将一个个这些模型的知识像学习其他课程一样生吞活剥地接受下来，而很少可能亲身体会建模的曲折、艰辛、趣味和意境．如果将建模比喻成建房子，通过这样的训练，学生只会造各种各样的茅草屋，而不会造一些坚实的建筑，更不会建高楼大厦，甚至也没有任何高楼大厦的概念，这是很不理想的，和数学建模课的初衷也大相径庭．

通过学习一个有意义的模型，由简单到复杂，展现数学建模的逐步深入和发展的过程，才有可能真正学到数学建模的方法，真正领悟到数学建模的丰富内涵和无限的发展生机，感受到数学建模的威力和魅力，起到一通百通的效果．在这个基础上，对其他一些建模案例，也可以比较容易地把握其内涵，有一个恰如其分的认识和理解．

因此，数学建模的学习和训练，数学建模的认识与实践，着重点不在广度，而在深度；不在于面面俱到、学习愈来愈多的案例，而在于有选择地抓住适当的主题向深处进军，从不同的层面上充分展示数学建模的风采，进而引领数学建模的发展，占领数学建模的制高点，并为其他方面的数学建模提供参考和借鉴．这样做，数学建模的学习，就绝不仅是一种知识的传授，而且会对大家知识、能力及素质的培养真正带来巨大的促进，对数学教学改革的推动作用也会更大了．

在这个意义上说，教师拿着一本数学建模教材，从头到尾、按部就班地讲下去，哪怕讲得很认真，也不会是一种好的教学方法，因为他还是在拼命进行灌输，并没有把学生参与数学建模的积极性和主动性调动起来，并没有认真组织学生投入数学建模的实践活动，本质上违背了数学建模这门课程的宗旨．而现在有些学生认为上数学建模课学不到知识，认为建模课的内容没有一个体系等等的抱怨，在很大程度上也反映了没有明确开设数学建模课程的目的及对自身发展的重要作用，说到底，恐怕还是教师没有把握好这门课的宗旨，更没有向学生交代清楚，没有很好地尽到自己的责任．

综上所述，数学建模的特点是：要对一个现实问题建立其数学模型，是没有一个固定的模式可套的．从怎样的角度去建立模型？要用到什么基本原理或思路？要采用怎样的数学工具和方法？等等，这些事先都是不可能统一规定的；最终建模的结果也必然因人而异，是不可能像做数学习题那样有一个标准答案的．怎样判断所建数学模型的好坏与优劣？也没有一个绝对划一的标准．因此，对同一个现实问题的建模，随着观察问题的角度不同，随着考虑问题深入程度的不同，随着所用数学方法的不同，其答案会出现五花八门、琳琅满目的状态，不可能有一个至高无上的标准答案．对参加数学建模的人来说，没有“最好”，只有不断改进变得“更好”．正因为这样，数学建模永远会呈现一个生机蓬勃的状态，总是生动活泼、与时俱进的．在这个过程中，只要认真投入，学生学习的积极性、创造性将会得到极大的发扬与锻炼．他们的创新意识、能力和精神会得到很大的提升，这是任何一门其他课程所不能代替的．从这一点出发，这门课的教学一定要从教师在台上单纯讲的状态，转变到教师与学生互动、努力推动学生参与建模的实践和活动的状态，一定要和充满生机活力的数学建模的内涵合拍并融为一体．课堂上学生鸦雀无声的状况因而是极不正常的，而七嘴八舌、热烈争辩的局面则值得大力提倡与鼓励．这门课的考试，也不能单纯地考课堂上讲过的一些内容，而应该更多地采用开放性的方法，即公开一个过去没有讲过的现实案例，要学生在一定时间内各显神通地建立其数学模型，而考试成绩则按答案的创新性高低给分．

下面，再谈一下与这门课密切相关的大学生数学建模竞赛．

全国大学生数学建模竞赛，自1992年起每年举行一次，已经举办多次了，是一个规模巨大且十分有效的数学建模的实践与活动，在全国有很大的影响，对数学的教学改革也起了很大的推动作用．参赛的学生常用“一次参赛，终生受益”这句话，来表述他们的深切感受．前面已经说过，数学建模教学的核心是推动学生积极参加数学建模的活动与实践．学了数学建模课程，应该对参加数学建模竞赛活动有一种一试身手的激情和冲动，也应该相信自己有这样的能力．因此，数学建模的课程应努力推动学生参加全国大学生数学建模竞赛，并力争取得好的成绩．为此，在数学建模课的考试中，可以将是否参加全国大学生数学建模竞赛？是否在竞赛中得奖？在评分中加以适当地体现，大力地扶持并推动一下．这对学生应该是大有好处的，也希望能在这方面出现一个新的局面．

5、用数学的眼光观察世界

在即将结束本文的时候，想到了最近在全国制订高中数学课程标准时，东北师范大学史宁中教授对数学的作用所概括的三句话：用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．通过《数学建模》课程的学习，希望广大同学能更好地体会这三句话，并且努力地实践这三个方面的要求．今后的授课老师也将会通过丰富多彩的案例，从各个不同的侧面和角度，帮助大家深入地体会和理解这三句话．下面，我仅仅举几个简单的例子对此稍加说明，算是敲敲边鼓吧！

数学的名词及概念都是很精确的，但我们在日常生活中所碰到的种种数学名词未必都严格符合数学的定义．尽管公众一般大体上会知道是什么意思，平常对此也不一定要太讲究，但我们学数学的人总应该有自己的看法与判断，并希望在数学教育进一步普及与深入以后，公众在认识上能够进一步得到统一和提高．下面是几个粗浅的例子．

1）为了严禁在高铁列车上吸烟，可以看到铁路公安的如下提示：“车内吸烟违法，触发烟火报警，导致紧急停车，危及行车安全．对违法吸烟者根据《铁路安全管理案例》处500元以上2000元以下罚款；情节严重的予以拘留．”

这个告示大家自然是明白的．但从数学的角度来看，“以上”是“>”而不是“≥”，“以下”是“<”而不是“≤”．如果真正咬文嚼字，就不能罚500元，只能罚501元；也不能罚2000元，只能罚1999元，这就十分麻烦了．在数学上说，这涉及到开区间与闭区间的区别，实在是含糊不得的．这个告示的文字如果能改动一下，那就更好了．

这样的情况实际上多有所见．在升等升级或评奖的很多场合，总有一个评审委员会来投票决定结果．如果委员会有12人，而规定“得票超过其总人数的2/3者当选”，若1人得8票，是不是当选？由于所得仅8票，刚刚等于总人数的2/3，往往就会引起会上不必要的争执，说明不少人对a≥b还是a>b之差别实际上不是太计较．其实，在数学上这是很不相同的．如果要此人当选，应改为规定“得票大于、等于总人数的2/3者当选”，那就不会产生任何歧义和无谓的争吵了．大家将来如果有机会主持投票选举，一定要注意这一点．这样做，绝不是吹毛求疵，而是坚持数学的严谨性，避免造成工作上的麻烦，这就是数学带来的好处了．

2）在高速公路上，常有电子屏幕显示前面的路况，供驾驶人员参考．在好些城市的高速路上，为了提醒前方某一路口出现堵车，可以看到“XX路口车流量大，要注意”这样的字样．然而，这是不是一个标志堵车的确切而准确的提示呢？车流量应该是单位时间（每小时）内行驶过的车辆数，车流量大，说明通过这个路口的车辆数多，这怎么说是“堵车”呢？另一方面，如果这条道上一辆车都没有，其车流量为零，但却根本不堵车．因此，单独用车流量的大小来刻画堵车，并不是一个正确的方法．请大家想一下，应该用怎样的数学语言来描述堵车的状态，电子屏幕中应该相应地写上怎样的字样呢？

3）拐点，是微积分中的一个概念，说的是函数y=f(x）的一阶导数y=f′（x）的极值点．在日常生活中，我们也经常听到拐点这个词，它们的意思到底是什么呢？在股市中说的“拐点”，其实是股票价格的转折点．股票的价格有涨有落，股民关心股票价格的发展趋势，股票的价格由降到升（或相反）的点就称为拐点．但那儿所说的，只是股票价格函数本身的极值点，并不是微积分中所说的那个拐点，这是应当搞清楚的．但这种情况也不尽然．最近对特殊冠状病毒肺炎的防控，大家都关心疫情何时出现拐点．由于确诊感染病例的总数总是不会减少的，人们关心的是每天新增的确诊感染病例的数目，并期望其值愈来愈小．由于关心的不是总的确诊感染病例数，而是它在每天的增量，这时所说的拐点，和微积分中的拐点概念就是一致的．这说明，同一个名词，在生活中用于不同的场合，其意义可以是不同的．我们学数学的，要分得清其间的差别，才能有一个正确的认识．

说到特殊冠状病毒肺炎何时出现拐点？何时能够结束？第一线的医务人员正在英勇无畏地奋战，媒体及网上也有种种的预测，但不少是根据现有疫情的实际数据加以推断的，对疫情的走向似乎尚缺乏一个明确而长效的定量预测．其实，数学建模在这方面很有用武之地，数学也可以投入到防控疫情的战斗，而且发挥其独特的作用．

这儿的关键是要建立相应的传染病动力学模型，并据此进行预测以及检验种种防控措施之效果．粗略地说，可以将人群分为几类（仓室模型），例如，易感染者（正常人）是一类，感染者（患病者）是另一类．感染而治愈者，如果具有免疫力又可作为另一类，否则就合并到易感染者这一类中去．由于病毒的感染，同时考虑到疾病的治疗方式及所采取的防控措施，各类中的人数随时间t的演化规律就可以统一用一个常微分方程组来描绘，其中有关的系数将由已有数据用适当的方法确定，这就是相应传染病动力学的模型．有了它，就能算出相应的基本再生数R0这个关键的数值，即一个感染者平均能感染的人数．当R0>1时，疾病就爆发，且R0值愈大，疾病的爆发程度就愈严重；否则疾病就是可控的．这就可以对疾病的走向有一个较长期的预测，包括提出何时出现拐点，还可以定量地判断所采用的防控措施的优劣与效果．

《数学建模》课程接下来的内容，可能有一部分时间将重点环绕这个主题展开，我不在此多说．这儿只着重说明，利用仓室模型讨论相应的传染病动力学，根据疫情的特点及所采取的应对措施，可以有多种不同的形式，相应的模型也可能是千姿百态的．例如，病毒感染的潜伏期如何纳入模型？武汉（湖北）的情况及全国其他各地的情况明显不同，是否应该分为不同的仓室来考虑？武汉封城的措施如何纳入模型？春节客运高潮及返城工作高潮对病情的影响如何考虑？等等，均可以有不同的处理方式．总之，建模的方式及结果不可能、也不应当千篇一律，要发挥大家的积极性，努力做得更好，看谁能更接近实际的情况，真正为疫情的防控做出贡献．还是那句话：对数学建模而言，没有最好，只有更好，希望大家努力．

参考文献:

[1]李大潜.从数学建模到问题驱动的应用数学[J].数学建模及其应用,2014,3(3):1-9.

[2]李大潜.数学建模与素质教育[J].中国大学教学,2002(10):41-43.

[3]李大潜.在纪念全国大学生数学建模竞赛二十周年大会上的讲话[J].数学建模及其应用,2012,1(2):4-6.

[4]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].3版.北京:高等教育出版社,2008.

[5]谭永基,蔡志杰.数学模型[M].2版.上海:复旦大学出版社,2011.

[6]蒂莫西·高尔斯.数学[M]//牛津通识读本.刘熙译.南京:译林出版社,2014.

李大潜.数学建模是开启数学大门的金钥匙[J].数学建模及其应用,2020,9(01):1-8.