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概率论中的分步计算研究分析

2020-08-06 184 上传者：管理员

摘要：主要介绍在工科概率论课程教学中几种常见分步计算,借此激发学生的学习兴趣,提高教学质量.

关键词：
分布函数
分布律
密度函数
边缘分布
随机变量函数的分布
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1、引言

在工科概率论课程的教学中,学生在学习概率分布理论时觉得难度比较大,对很多问题不易理解和掌握,从而失去学习的信心,为后续的学习和研究留下隐患.

其实,概率论课程中,概率分布理论本身的概念和原理并不难理解,其难点往往在于概率论课程中所涉及的高等数学知识.具体地说,当学生理解了概率分布理论的概念和原理后,许多计算过程都转化为高等数学问题.例如,如果已知二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y),如何求(X,Y)的分布函数F(x,y)如何求边缘密度函数fX(x),fY(y)以及如何求二维随机变量函数g(X,Y)的分布?这些问题都转化为高等数学中的积分问题.但是这些积分的计算又和高等数学课程教学中的常见积分计算方法不完全一样,最大的差别在于上述积分计算经常需要分步讨论,而这正是学生在学习过程中的薄弱环节.

本文对工科概率论课程的相关内容进行了细致的梳理,归纳出若干常见分步讨论的问题,并给出具体解决方法和步骤.其目的在于在教学过程中引导学生如何将复杂问题简单化条理化,进而培养学生如何运用综合知识解决问题的能力.

2、常见分步计算方法

为描述方便,文中一维随机变量X的分布函数为F(x)=P{X≤x},-∞<x<+∞;二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},-∞<x<+∞,-∞<y<+∞.

2.1 已知一维离散型随机变量X的分布律,求X的分布函数F(x)

2.2 已知二维离散型随机变量(X,Y)的分布律,求(X,Y)的分布函数F(x,y)

设(X,Y)的分布律为

P{X=xi,Y=yj}=pij(x1<x2<…<xm;y1<y2<…<yn),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n,

2.3 已知一维连续型随机变量X的密度函数f(x)为分段函数,求X的分布函数F(x)

2.4 已知二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数f(x,y)为分块函数,求(X,Y)的分布函数F(x,y)

2.5 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)为分块函数,分别求(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数FX(x)和FY(y)

2.6 已知二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数f(x,y)为分块函数,分别求(X,Y)关于X和Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y)

2.7 已知一维连续型随机变量X的密度函数f(x)为非单调函数,求X的函数Y=g(X)的概率分布

2.8 已知二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数f(x,y)为分块函数,求(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的概率分布

3、结论

以上讨论了工科概率论课程教学中若干分步讨论问题的解决方法与步骤,从中折射出在教学过程中的以下几个问题.第一,要注重基本概念.如随机变量的分布函数、离散型随机变量的分布律、连续型随机变量的密度函数、边缘密度函数、随机变量函数的分布等概念.第二,要注重交叉学科之间的联系.众所周知,概率论是一门综合性较强的课程,除了自身的概念、理论和方法以外,还涉及到高等数学、线性代数以及生活常识中的众多领域等,因此要学好概率论课程就要关注交叉学科之间的联系.如本文中多处都出现了分段(块)函数的变上限积分以及含参变量积分的计算,从中不难发现并没有运用到很特别的技巧.只是将高等数学的积分学理论和概率论的基本原理有机地结合起来,就能够很好地解决概率论课程中的积分计算问题,一旦掌握了这些方法,就化解概率论课程学习中积分计算的难点.第三,要注重培养学生分析问题和解决问题的能力.如本文中变上限积分计算和分布函数法就是综合能力的体现,它不仅是要求学生能够计算相应的积分,更重要的是要求学生掌握如何结合概率论的理论分析问题的方法,从而知道为什么这样计算,整个过程就是一个培养学生分析问题和解决问题能力的过程.

本文通过工科概率论课程教学中若干分步讨论问题的解决方法与步骤,帮助学生化解学习中的难点,使学生在轻松愉快的环境下获取知识和提高能力.

参考文献：

[1]合肥工业大学数学教研室.概率论与数理统计[M].合肥:合肥工业大学出版社,2009:110-130.

[2]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计[M]北京:高等教育出版社,2010.4.90-110.

宁荣健,钱泽平.概率论中的分步计算探讨[J].大学数学,2020,36(04):87-96.

基金:2018年安徽省教学研究项目:《概率论与数理统计》课程混合式教学模式改革实践(2018jyxm1003).