由于尾矿库具有高势能，一旦发生尾矿库溃坝，会对周边及下游区域造成不可预估的危害[1]。因此，对尾矿库进行溃坝风险评价十分重要。

安全风险包括事故发生的可能性和后果严重度。当前，尾矿库溃坝风险评价大多聚焦在尾矿库的稳定性研究，主要的评价方法有模糊综合评价法[2,3]、灰色关联法[4]、物元可拓法[5,6]、BP神经网络法[7,8]、预策模型[9]、云模型法[10,11,12]等。模糊综合评价法虽在一定程度上降低了问题的模糊性和随机性，但计算复杂且主观性较强；灰色关联法计算简单，但主观性过强，难以确定最优值；物元可拓理论同样存在指标主观性过强的问题；云模型法能充分处理随机性和模糊性等问题，但认为的评价指标服从正态分布与实际情况有较大的差异。此外，也有部分针对尾矿库溃坝后果严重度的研究。

本文从尾矿库溃坝后果严重度角度出发，提出可拓云模型，通过博弈论理论优化序关系分析(G1)法和反熵权(EWM)法计算的权重得到综合权重，降低了指标差异性并将权重量化，然后将博弈论 - 可拓云模型应用于工程实例，实现了尾矿库溃坝后果严重度风险分级。

1、尾矿库后果严重度评价指标

溃坝后果严重度评价指标的选取是进行后果危害评价的重要内容。目前对于尾矿库溃坝的后果没有统一的定义或分类，通过查阅有关文献、统计资料[13,14]和《防洪风险评价导则》(SL 602—2013)[15]等，总结出影响溃坝后果严重度的指标主要包括溃坝影响范围、生命损失和经济损失。其中溃坝影响范围的指标包括尾矿库坝高、尾矿坝库容和下游1 km内平均坡角；生命损失主要指尾矿坝溃坝后尾砂冲击、淹没等因素造成的下游1 km范围内的人员伤亡；经济损失主要指尾砂下泄淹没造成的下游1 km范围内主要建筑物、农业等直接经济损失。尾矿库溃坝后果评价指标体系如图1所示。

图1 尾矿库溃坝后果评价指标体系  

2、基于博弈论的综合赋权

2.1 序关系分析法确定主观权重

序关系分析(G1)法能够通过两两比较得到评价指标的重要度排序，相较于专家调查法等方法受到的专家主观影响更小，较于层次分析法计算过程更简洁，避免了过于冗杂的权重计算过程，具有伸展性强、无需一致性检验、计算速度快等优点且实用性较强[16,17]。G1法的计算过程如下。

(1) 确定序关系。

首先根据指标重要性程度对指标进行排序，根据专家意见得出指标的序关系为b1>b2>…>bn。

(2) 确定重要性标度。

通过相邻指标(bk-1与bk)的两两比较得到理性判断rk,记作：

rk=bk-1/bk (1)

式中，k=m,m-1,…,3,2,1。

其中，rk赋值标准采用比例标度[18]。

(3) 确定主观权重。

计算主观权重系数，公式如下：

式中，m为评价指标的数量。

2.2 改进熵权法确定客观权重

熵权法中，某个指标的无序程度越大，熵值越小，对评价指标体系的影响程度越大，则权重越大[19]。为避免熵权法在赋权过程中容易出现指标无序程度过大而导致的极端权重，影响评价结果准确性，本文采用反熵权法确定客观权重，可以有效解决不同尾矿库的相同指标工程值之间差异性过大的问题。定义一种反熵[20,21]:

h′=- m∑j=1 pj⋅ln(1-pj) (3)

式中，0≤pj≤1,且 m∑j=1 pj=1,pj为系统每种状态的概率。

反熵表征的是某个指标无序程度越大，反熵值就越大，则权重越大。反熵权法评价步骤如下。

(1) 构建评价指标矩阵。

设有s个评价对象，r个评价指标，指标数据为bef(e=1,2,…,r;f=1,2,…,s),构建指标矩阵B=|bef|r×s。指标均符合最小期望，通过下式对矩阵B进行标准化处理，得到标准化矩阵C。

cef=(bemax-bef)/(bemax-bemin) (4)

式中，矩阵中bef表示第f个评价对象的第f个评价指标值；cef是标准化矩阵C=|cef|r×s中第e行第f列的元素；bemax是矩阵B第f列最大元素，bemin是矩阵B第f列最小元素。1≤e≤r,1≤f≤s。

(2) 计算各评价指标反熵。

根据反熵定义，则各指标反熵为：h′e=- s∑f=1 xef⋅ln(1-xef) (5)

式中，xef=bef/ s∑f=1 bef。(3) 确定指标客观权重。

对各指标进行归一化处理，得到客观权重ωe={ω1,ω2,…,ωr},计算公式如下：

ωe=h′e/ r∑e=1 h′e (6)

2.3 博弈论确定综合权重

为了能使综合权重更优地反映评价指标之间的重要度差异，需要量化主观权重和客观权重在综合权重中各占的比例大小[22,23]。引入博弈论理论可有效避免人的主观偏好，能够客观地反映多种赋权方法对综合权重的贡献度。

假设用L种方法对指标赋权并得到L个指标权重向量vk={vk1,vk2,…,vkr},k=1,2,…,L;r为评价指标个数。本文L取2,r取5,则综合权重为：

v= r∑k=1 μk⋅vΤk,μk>0 (7)

式中，v为综合权重向量；μk为线性组合系数。

根据博弈论理论，寻找最满意的权重向量，即是对式(7)的线性组合系数μk进行优化，使得v与vk的离差极小化，从而获得合理的权重分配度。其对策模型为：

min∥ L∑k=1 μkvΤk-vk∥2,k=1,2,⋯,L (8)

式(8)可转化为：

通过Matlab计算得到μk,并进行归一化处理得到μ*k,并求出综合权重向量v*,计算公式如下：

3、可拓云模型理论

3.1 基本概念

可拓云模型理论能有效地解决尾矿库溃坝后果评价的模糊性和随机性。评价对象、特征、特征值是构成物元可拓理论[5]评价的基本元，评价对象记作N,其特征记为c,特征值记为d,简记为O=(N,c,d)。而云模型[10]分别用期望Ex、熵En、超熵He三个参数特征来对问题的模糊性和不确定性进行阐释。可拓云模型[24]是基于物元可拓理论，耦合云模型来弥补评价指标的模糊性和不确定性，用矩阵可表示为：

式中，O为评价等级集合矩阵；Ci(i=1,2,…,n)为评价指标；Exj, Enj, Hej为评价指标Ci各等级云的云参数。

3.2 可拓云模型计算步骤

(1) 确定等级区间云模型。

将所有后果严重度评价指标分为4个层级，设各指标的等级区间值分别为[Dmin,Dmax],则期望值Ex取中间值，又由于关联度的模糊性和不确定性，通过关系式求得En和He,即等级区间云模型。

式中，Dmax、Dmin为各等级区间上限、区间下限；p为模糊常数，通常取0.01[5,25]。

根据可拓云模型生成算法，结合后果严重度评价指标云模型数字参数模拟出指标正态云模型。

(2) 确定可拓云模型关联度。

将各项评价指标值x看作一个云滴，生成期望为En、标准差为He的正态分布随机数En′,计算出各指标值x与正态云模型之间的云关联度：

ki=exp(-(xi-D)22(En′i)2) (13)

式中，ki为指标值D与可拓云模型的云关联度；Ex为方差；En′为服从正态分布的随机数。

根据云关联度ki构成的判断矩阵Gmn为：

式中，Gmn为待评指标与等级区间可拓云模型之间的关联度；m为评价指标数量；n为判断等级。

(3) 确定综合评价等级。

结合各指标的综合权重值，计算综合评判向量B:

B= m∑i=1 ViG (15)

式中，Vi为各指标综合权重向量的集合。

然后计算评判的模糊等级特征值r:

r=bifi (16)

式中，bi为向量B的最大值；fi为最大分量对应的等级。

(4) 计算可信度。

由于关联度k具有模糊性和随机性，所以需要增加求解次数以降低随机因素的影响。等级特征期望Exr和等级特征熵Enr:

式中，q为求解次数，取1000;ri(x)为指标x的第i次求解的特征值。

考虑可信度θ,将可信度θ定义为：

θ=EnrExr(18)

θ值反映了评价结果的偏离程度，其大小与可信度成反比，θ值越小表明评价结果的可信度越高。

4、基于博弈论的溃坝后果评价模型

4.1 评价流程

根据提出的后果评价指标体系，结合博弈论理论求得综合权重，应用可拓云模型对尾矿库溃坝后果严重度进行评价，评价流程如下：

(1) 建立尾矿库溃坝后果严重度评价指标体系，求得综合权重；

(2) 根据对应的各风险等级求出各指标等级云的云参数(Ex,En,He)并代入云发生器，生成标准云图及溃坝后果可拓云模型；

(3) 将工程实测值代入可拓云模型，求出各等级对应关联度，并乘以各指标的对应综合权重，求得综合关联度，根据最大关联度原则判断尾矿库溃坝后果严重度等级。

4.2 尾矿库溃坝后果指标分级

结合现有研究[26,27],参考《生产安全事故报告和调查处理条例》(2007)和《防范化解尾矿库安全风险工作方案》(应急[2020]15号)的要求，将溃坝后果由低到高划分为4个等级，见表1。

表1 尾矿库溃坝后果风险分级

4.3 工程实例

4.3.1 后果云模型

本文选取湖北省4座尾矿库作为研究对象，以尾矿库溃坝的后果严重度作为待评物元。根据基础尾矿库工程资料库，对应评价指标的工程实测数据见表2。其中，根据尾矿库地理位置的卫星地图以及尾砂通常从最陡路径下泄的规律，选取下游1 km最大高差(Δh)与1 km的比值计算得到下游1 km坡角。下游1 km直接经济损失主要指尾矿库溃坝对1 km范围内下游造成的损失。主要包括建筑物、构筑物、水利工程、交通工程等受灾体以及土地资源如农田等，其价值根据成本价值或维护成本价值法来估算，计算公式为：

S= n∑i Ai,yi (19)

式中，S为直接经济损失；Ai为第i个受灾体的成本；yi为第i个受灾体的易损指数。

由于尾矿库溃坝事故往往伴随泥石流等地质灾害，可以参考地质灾害的受灾体易损指数，如从《受灾体易损性专家建议汇总表(局部)》选取适当的易损指数，见表3。

表2 各尾矿库指标实测值

表3 易损性专家建议汇总表(局部)

建立尾矿库溃坝后果严重度评价模型，根据尾矿库溃坝后果严重度指标进行分级，计算各评价指标正态云模型特征值(期望、熵、超熵),见表4。根据云数字特征值可得到云滴图，本文以尾矿库坝高为例，如图2所示。

表4 各评价指标云模型特征值

图2 尾矿库坝高指标云滴图   

4.3.2 评价指标权重的确定

根据序关系分析法确定主观权重，由MATLAB计算得出各指标的主观权重向量V1;根据反熵权法计算指标客观权重向量V2;然后运用MATLAB计算得到最优分配系数a=0.44,b=0.56。从而得到综合权重V,各指标权重见表5。

4.3.3 指标关联度计算

根据云模型的特征值(期望、熵、超熵),运用MATLAB实现式(9)的计算，分别得到4座尾矿库的不同后果严重度等级的云关联度，见表6。

表5 各评价指标权重

表6 各尾矿库评价指标云关联度

4.3.4 评价等级确定

根据式(15)至式(18)可得综合关联度和可信度，并确定评价等级，结果见表7。由表7可以看出，除了尾矿库3,其余尾矿库的后果严重度等级均在Ⅲ级以上，计算的可信度均小于0.01,表明结果可信度较高。

结果表明，下游人口数量对尾矿库溃坝后果严重度有着直接影响，尾矿库的固有指标如坝高、库容等也直接影响溃坝后果的严重程度。因此不仅要对头等库进行治理，疏散下游居民，控制尾矿库等别也尤为重要。

表7 各尾矿库溃坝后果评价等级

5、结论

(1) 本文提取了影响溃坝风险后果严重度的因素，建立了溃坝后果严重度评价指标体系，并依托博弈论理论，计算了评价指标的最优权重，为准确实现尾矿库溃坝后果严重度评价提供了理论支撑。

(2) 针对风险的后果严重度，结合可拓云理论，建立了尾矿库溃坝后果严重度的可拓云模型，能更为直观地给出各影响因素等级的确定度，便于企业更有针对性的降低各影响因素带来的风险。

(3) 该评价模型需要增加评价对象的样本容量以验证模型的准确性，且影响溃坝后果严重度的影响因素很多，本文建立的评价指标体系还有待进一步完善。同时，将溃坝可能性评价与溃坝后果严重度评价相结合，能更系统地评价尾矿库溃坝风险。

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基金资助:湖北省重点研发计划项目(2020BCA082);

文章来源:王其虎,熊淦麟,叶义成等.基于博弈论-可拓云模型的尾矿库溃坝后果评价[J].矿业研究与开发,2023,43(11):137-142.