随着军工业的不断发展,武器装备所承受的冲击环境越发恶劣。干摩擦隔振器具有强非线性特性,能够有效的消耗外界冲击带来的巨大能量[1,2],以其优异的隔振抗冲击性能在航空航天,舰船等军工领域得到了广泛的应用。近些年,国内外学者对具有干摩擦的非线性隔振器抗冲击特性做了大量研究,曾诚等[3]为了研究非线性橡胶隔振器的跌落冲击响应,结合跌落式冲击试验采用参数拟合的方法建立非线性系统响应参数模型,但是未求解系统的冲击响应;余慧杰等[4]采用双线性迟滞振子模型,研究了干摩擦阻尼的时域响应,但是只考虑了非线性阻尼的隔振问题;Liang等[5]用能量等效与参数识别相结合的方法评估了非线性干摩擦系统的冲击效果,但无法求得其响应过程;唱忠良等[6]推导了非线性系统冲击加速度响应最大值的近似计算公式,但是该方法只适用冲击载荷较小的情况。

综合以上文献发现,目前还没有针对大冲击下强非线性系统求响应过程的理论计算。本文以非线性干摩擦系统动力学模型为基础,结合金属摩擦片的强几何非线性力学特性,考虑了轴向力的作用,利用分段杜哈梅积分的方法推导了干摩擦隔振器在较大冲击载荷下的加速度响应计算公式,并与冲击试验结果进行对比分析,验证了求解方法的正确性并分析其误差原因。

1、干摩擦系统的模型建立

干摩擦隔振器主要利用库伦阻尼和弹簧变形消耗能量,图1为简化后干摩擦隔振器的理论模型,其中k为线性弹簧刚度,FS(y)为摩擦阻尼,它的值为法向压力与摩擦因数的乘积。

图1干摩擦隔振器的理论模型

系统受到的激励表达式为

u(t)={upsin(πtt1),0,0≤t≤t1t1≤t         (1)u(t)={upsin(πtt1),0≤t≤t10,t1≤t         (1)

式中:up为位移脉冲激励的幅值;t1为冲击作用时间,即脉宽。系统运动微分方程为

my⋅⋅+ky+FS(y)⋅sgn(y⋅)=−mu⋅⋅         (2)my⋅⋅+ky+FS(y)⋅sgn(y⋅)=-mu⋅⋅         (2)

式中:sgn(y⋅)sgn(y⋅)为符号函数,当m质量块相对于基础向下运动时,符号函数取正,反之取负。由于摩擦力的大小和方向随y的变化而变化,因此,式(2)是强非线性方程,难以直接求出方程的解析解,只能求出其数值解。

1.1 理论模型修正

为了兼顾缓冲和隔振的效果,使得隔振时摩擦力较小,而缓冲时具有较大的摩擦力以较大的冲击吸收能量,本文研究的干摩擦隔振器在结构上做出改进,将摩擦片结构设计成中间外扩两端收缩的形式,具体结构如图2所示。

图2干摩擦隔振器结构简图及受力情况

由图2可以看出干摩擦隔振器主要由中心柱,金属弹簧,摩擦片三个部分组成。摩擦片的形状呈弧形,两端收紧,中间部分向外凸起,形成一个较大的内径,具有几何非线性特性。其底部完全固定,顶部径向方向受限制,中心柱受到冲击激励时会向摩擦片上下两端做往复运动,与周围26个形状相同的摩擦片接触。

干摩擦隔振器的结构受力见图2,图2中:Fky为线性弹簧的支撑力;FN(y)为中心柱对摩擦片的正压力,其大小只与中心柱位置有关;FS(y)为摩擦片对中心柱的接触摩擦,可用FS(y)=FN(y)·μ表示。当中心柱运动至摩擦片的斜面区间时,正压力FN(y)产生轴向分力作为轴向支承力FL(y)。因此,中心柱受到轴向方向的力主要由弹簧弹力Fky、摩擦力FS(y)以及轴向支承力FL(y)组成。则修正后的系统微分方程为

my⋅⋅+ky−FL(y)+FS(y)⋅sgn(y⋅)=−mu⋅⋅         (3)my⋅⋅+ky-FL(y)+FS(y)⋅sgn(y⋅)=-mu⋅⋅         (3)

将式(3)进一步变形可得

my⋅⋅+ky=−mu⋅⋅+F(y,y⋅)         (4)my⋅⋅+ky=-mu⋅⋅+F(y,y⋅)         (4)

其中F(y,y⋅)F(y,y⋅)为轴向合力,此时式(4)形式更为复杂,且仍为非线性方程。

1.2 轴向合力的求解

当中心柱运动到摩擦片两端时,摩擦片会产生较大形变,具有强几何非线性,为了求解中心柱所受的轴向合力F(y,y⋅)F(y,y⋅)与中心柱位移y之间的关系曲线,本文采用有限元法进行求解。

由于26个摩擦片结构均相同,为提高计算速度,本次建模中先计算中心柱对单个摩擦片的轴向合力,用ABQUAS建立有限元分析模型如图3所示,中心柱与摩擦片的接触采用标准面与面接触算法(Surface-to-surface(Standard)),在定义接触属性时,选择有限滑移,摩擦因数为0.15。将中心柱近似简化为刚性体,添加轴向移动副;摩擦片材料为碳钢,故设置为steel,弹性模量E=210000MPa,泊松比λ=0.3,底部6个自由度完全约束,顶部添加轴向移动副和径向转动副。

图3有限元分析模型

图4为有限元分析得到的中心柱所受摩擦力FS与位移y的曲线,可以看出,摩擦力FS(y)具有强非线性特性;图5为中心柱所受轴向合力F与位移y的关系图,由图可以看出,在一个位移周期内的轴向合力呈非线性迟滞回线。这是因为轴向合力F(y,y⋅)F(y,y⋅)的大小为轴向支承力与摩擦力的矢量和,假设向上的力方向为正,当中心柱向下运动时,轴向合力F(y,y⋅)=FL(y)+FS(y)F(y,y⋅)=FL(y)+FS(y),力-位移曲线为虚线;中心柱向上运动时,轴向合力F(y,y⋅)=FL(y)−FS(y)F(y,y⋅)=FL(y)-FS(y),力-位移曲线为实线,封闭图像的面积即摩擦力消耗的能量。

图4摩擦力曲线

图5中的两条曲线有着相同的特点:曲线中间都比较平坦,两端比较陡峭,原因是中心柱处于摩擦片中间位置时,相互作用的正压力较小,产生的摩擦力也较小,并且此时摩擦片只受摩擦力的作用;当中心柱运动到摩擦片两端时,正压力急剧增大,摩擦片会产生较大的形变,则轴向支承力和摩擦力大小也随之急剧增大,其中对应着坐标轴可以看出:相比较摩擦片顶部(x轴负方向)而言,当中心柱运动到摩擦片底部(x轴正方向)时,受到的轴向合力增长速度更快,主要原因是摩擦片底部是完全固定的,而顶部只受到径向约束,在受到摩擦力时顶部会有轻微的上下运动。

图5轴向合力曲线

2、分段杜哈梅积分求响应

2.1 线性理论计算

杜哈梅积分算法可求得在脉冲激励下线性系统的振动响应[7]。

y(t)=1mωn∫t0u(τ)sinωn(t−τ)dτ         (5)y(t)=1mωn∫0tu(τ)sinωn(t-τ)dτ         (5)

式中,ωn=km−−√ωn=km为系统圆频率,式(5)表示单自由度无阻尼系统受到任意激励u(t)作用时的系统响应,此式即为杜哈梅积分。式(4)描述了系统响应与激振力的关系,为半正弦脉冲与常力的叠加。

由于冲击的激励时间t1远小于隔振系统的周期2πωn2πωn,在整个激励过程中心柱位移很小,可假设在整个外部激励过程F(y,y⋅)F(y,y⋅)为定值。

当0≤t≤t1时,将式(1)代入杜哈梅积分式中可分别求得位移响应

yu(t)=1mωn∫t0upsin(πτt1)sinωn(t−τ)dτ         (6)yF(t)=1mωn∫t0F(y,y⋅)sinωn(t−τ)dτ         (7)yu(t)=1mωn∫0tupsin(πτt1)sinωn(t-τ)dτ         (6)yF(t)=1mωn∫0tF(y,y⋅)sinωn(t-τ)dτ         (7)

分别对式(6)和式(7)进行积分运算并叠加,可得系统受到的位移响应为

y1(t)=F(y,y⋅)k(1−cosωnt)+upω2−ω2n(sinωt−ωωnsinωnt)         (8)y1(t)=F(y,y⋅)k(1-cosωnt)+upω2-ωn2(sinωt-ωωnsinωnt)         (8)

其中,ω=πt1ω=πt1。当t1≤t时,系统进入残余振动阶段,为无阻尼自由振动模型,其响应解为

y2(t)=y(t1)cosωn(t−t1)+y(t⋅1)ωnsinωn(t−t1)+F(y,y⋅)k(1−cosωnt)         (9)y2(t)=y(t1)cosωn(t-t1)+y(t⋅1)ωnsinωn(t-t1)+F(y,y⋅)k(1-cosωnt)         (9)

此时的轴向合力已无法当作定值计算。

2.2 轴向合力分段及响应计算

当系统进入残余阶段,轴向力为非线性的迟滞回线,则将(-20～20)mm位移段分成n个小区间,每40n40nmm的轴向合力区间为定值,此时修正后的隔振器的理论模型如图6所示,从平衡位置到位移y1的摩擦力为FS1(y),轴向合力为F1(y,y⋅)F1(y,y⋅);运动到下一个区间位移y2的摩擦力为FS2(y),轴向合力为F2(y,y⋅)F2(y,y⋅);直到至最后一段位移yi时,对应的摩擦力为FSi(y)(i=40n)FSi(y)(i=40n),轴向合力为Fi(y,y⋅)Fi(y,y⋅),每段各自成线性系统。

图6变摩擦力隔振系统模型

令y2(t2)=y3(t3)=⋯yi(ti)=40ny2(t2)=y3(t3)=⋯yi(ti)=40nmm,将y(ti−1),y⋅(ti−1)y(ti-1),y⋅(ti-1)作为残余阶段的初始位移和初始速度,联立式(9)可求得时间ti以及此时间点的速度与加速度分别为

y⋅2(ti)=−ωny(ti−1)sinωn(ti−ti−1)+y⋅(ti−1)cosωn(ti−ti−1)+Fi−1(y,y⋅)kωnsinωnti         (10)y⋅⋅2(ti)=−ω2ny(ti−1)cosωn(ti−ti−1)+y(ti−1)ωnsinωn(ti−ti−1)+Fi−1(y,y⋅)kω2ncosωnti         (11)y⋅2(ti)=-ωny(ti-1)sinωn(ti-ti-1)+y⋅(ti-1)cosωn(ti-ti-1)+Fi-1(y,y⋅)kωnsinωnti         (10)y⋅⋅2(ti)=-ωn2y(ti-1)cosωn(ti-ti-1)+y(ti-1)ωnsinωn(ti-ti-1)+Fi-1(y,y⋅)kωn2cosωnti         (11)

以此规律迭代求得中心柱上下运动一个周期位移的加速度响应,求解的具体流程如图7所示。

3、隔振器抗冲击特性试验

3.1 摆锤试验

试验原理:将干摩擦隔振器固定在摆锤试验台上,机柜作为载荷放置隔振器上,摆锤落在冲击台面模拟大冲击激励,分别在夹具顶部,机柜底部靠近隔振器处放置加速度传感器进行数据采集。试验设备如图8所示。

图7响应计算流程图

图8试验装置

摆锤试验的落锤高度为700mm,砧板行程为38mm。将在夹具顶部测得的加速度值作为系统受到的冲击激励,图9为冲击加速度激励和响应曲线,对系统进行三次摆锤试验,所得冲击激励峰值分别为460g,481g,497g,脉冲持续时间为0.6ms;在干摩擦隔振器的作用下,最大加速度响应为41.9g,43.5g,45.3g,降幅均可达到90%以上,经过大约100ms,系统的响应即得到有效控制。由于篇幅限制,本文只给出一组试验数据,由图9可知,在干摩擦隔振系统受冲击载荷而自由振动时,通过中心柱与干摩擦片的摩擦耗散大量的能量,导致系统动能迅速减小,并且随着时间的推移,加速度响应幅值不断减小。

3.2 计算与试验结果

表1为系统相关理论计算参数,将图5中有限元法轴向合力曲线分段,通过式(10)、(11)用分段杜哈梅积分算法对干摩擦隔振系统冲击加速度响应最大值进行理论计算,图10是求得的三次激励下的系统冲击加速度响应结果,可以看出:加速度整体上呈衰减趋势,随着冲击激励逐渐增大,抵达峰值的时间更快,加速度响应峰值也会逐渐增大。

图9冲击加速度激励和响应曲线

图10加速度响应曲线

表2为冲击加速度响应最大值的试验值和理论值,由表中的数据可知,冲击激励较小时,系统加速度相应最大值较小,试验与理论的误差值也较小,随着激励的增大,误差值逐渐增大;试验值与理论值的衰减率都在90%以上,对比三种不同激励下的衰减率发现:当激励值改变时,衰减率变化浮动很小。可见,用分段杜哈梅积分算法对非线性干摩擦隔振系统的加速度响应理论计算结果是可行的,可以很好的表现出干摩擦隔振器的抗冲击特性。

3.3 误差分析

对比表2中冲击加速度响应峰值的理论值和试验值发现,两者的响应值虽然比较接近,但三种不同激励下的理论值都低于试验值,原因可能有:

(1)在有限元计算时,对隔振器的结构进行了一定的简化,虽然可以提高运算速度,但是对计算结果会造成误差;并且计算得出的轴向合力曲线会因步长设定偏大导致与真实值误差增大。

(2)在求解非线性干摩擦的冲击响应时,将原本强非线性的轴向合力作分段近似线性处理,必然会导致一定的非线性能量损失,从而引起误差。在一个周期内,隔振系统消耗的能量等于图5所示两条曲线围成的面积。分别用分段线性法计算面积和用高阶多项式拟合曲线积分计算面积,可以得到前者比后者大3.4%,这说明虽然用分段线性方法计算,精度较高,但也会出现计算误差,这也是导致响应的理论值低于试验值的原因之一。

(3)在理论计算时,将机柜视为刚体;而实际上测试中,夹具和机柜都不是刚性的,在摆锤试验时会有相互作用,使得测量的加速度响应峰值和真实情况有所差别。

4、结论

本文利用分段杜哈梅积分求解干摩擦隔振系统的时域上的响应情况,并对强非线性系统耗能缓冲性能进行分析。在非线性干摩擦系统动力学模型的基础上,结合金属摩擦片的强几何非线性力学特性,考虑了轴向力的作用,推导出干摩擦隔振器在较大冲击载荷下的加速度响应计算公式,并分析产生误差的原因。研究结果表明,分段杜哈梅积分能够较好地反映金属干摩擦隔振器在较大冲击下的运动规律,并且这种方法具有一定的通用性,可为强非线性系统在不同载荷下的冲击响应求解寻找一种新的方法。

参考文献：

[1]王栋.冲击减振器对振动能量耗散性能分析[J].机械工程学报,2014,50(17):87-92.

[2]王东衡,石秀东.金属簧片阻尼隔振器性能分析[J].振动与冲击,2011,30(5):263-266.

[3]曾诚,华宏星.非线性橡胶隔振器的冲击响应特性研究[J].噪声与振动控制,2012,32(4):20-24.

[4]余慧杰,张乐京.双线性滞迟干摩擦模型的无谐振振动特性分析[J].振动与冲击,2016,35(12):92-95.

[6]唱忠良,邹广平,刘泽,等.金属丝网橡胶隔振系统冲击响应[J].哈尔滨工程大学学报,2017,38(1):80-85.

[7]高淑英,沈火明.线性振动教程[M].北京:中国铁道出版社,2003.

余慧杰,王文倩,常维.非线性干摩擦系统冲击响应的求解方法[J].振动与冲击,2020,39(21):111-115.