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空气耦合超声换能器时域声场的计算模型研究

2020-07-04 289 上传者：管理员

摘要：通过超声波在空气中的二次方衰减特性，推导出空气中时域格林函数的解析表达式。基于该函数和瑞利积分建立了空气耦合超声换能器时域声场的快速计算模型，并对圆形换能器声场进行仿真。结果表明，相对于无衰减介质，空气中时域信号的高频成分被极大地削弱，信号幅值随传播距离的增加而明显降低，轴向近场长度明显减小。该研究为空气耦合超声换能器声场的模拟提供了快速的计算方法，研究结果对于空气耦合超声换能器的设计和校准具有参考价值。

关键词：
二次方衰减
声场仿真
工程数学
时域格林函数
空气耦合超声
解析表达式
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空气耦合超声换能器是空气耦合超声检测系统的核心部件，在换能器设计的过程中，一般需要优化换能器的几何形状（如线形、圆形、方形等）和尺寸，以对近场、远场、声束扩散角等声场特征参数进行精确调控。上述参数直接决定了换能器的工作性能，例如，近场距离代表了换能器的自然焦距，其与声束扩散角共同决定了换能器声场的能量分布，进而影响换能器在材料缺陷检测中的灵敏度、横向和纵向分辨力。声场的准确计算是超声换能器设计和优化中的关键环节，学者们在此方面开展了大量工作，采用瑞利积分法、角谱法、有限差分法、边界元法和有限元法对换能器的声场进行了优化计算，极大地推动了超声换能器的发展。上述工作主要集中在水耦合换能器方面，且一般认为超声波在水中的衰减可以忽略[水中的超声波衰减为α（f)=19.02×10-4f2dB·cm-1,f为频率，单位为MHz]。然而，在常温常压下（25℃，101kPa），超声波在空气中的衰减为α（f)=15.9×10-1f2dB·cm-1[1]，约为水中的1000倍，因而空气耦合声场的计算中必须将衰减因素考虑在内。

针对空气耦合换能器声场计算中声波衰减的问题，GACHAGAN等[2]采用低通滤波方法进行了衰减表征，并基于瑞利积分和简化低通滤波器建立了空气耦合换能器声场的计算模型；BASHFORD[3]、孔涛等[4]基于声场的解析公式对圆形换能器声场进行了仿真，考虑到声波在空气中的衰减效应，对换能器声场进行了频域修正；将修正后的声场与试验进行对比，较为吻合。LI等[5]采用复波数表征了声波在介质中的衰减及其对应的频散，结合逆傅里叶变换计算时域格林函数，建立了一般衰减性介质[α（f）=α0fη，其中α0和η为非负数，1≤η≤2]中超声换能器声场的瑞利积分计算模型。采用该模型对圆形空气耦合超声换能器声场进行了模拟，获得的时域波形，声压的轴向、径向分布与试验结果非常吻合。笔者基于上述工作进一步开展研究，针对空气介质推导出时域格林函数的解析表达式，避免了逆傅里叶变换过程，基于该函数和瑞利积分建立了空气耦合超声换能器声场的时域空间脉冲响应计算模型，为空气耦合换能器声场的模拟提供了快速的计算方法。

1、空气耦合声场计算模型

空气耦合超声换能器辐射声场示意如图1所示，任意形状的换能器位于无限延伸的刚性平板中间。假设换能器表面S垂直振动，其法向速度为vn(M0）。由惠更斯原理可知：S上的每一点都可以视为向外辐射球面波的振源，则空间任意一点M(x,y,z）的速度势HΦ（M,f）响应为所有点振源辐射的球面波的叠加，可以采用瑞利积分表达为

公式1

公式2

式中：G为半无限空间中的格林函数；R为观测点M到点振源M0之间的距离；k=2πf/c,c为声速。

在工程实际中，声波在大多数材料中传播时存在衰减。对于绝大部分材料而言，幂指数η为02。

一般情况下，衰减可能在两方面引起声场的畸变：(1)衰减会导致声波能量的耗散，进而引起波动幅度的降低；(2)声波在自由空间（无边界或假设为无边界）中传播时，衰减会引起频散（波速随频率变化），且此时频散只能由衰减引起，也即衰减是频散的充分必要条件[6]。大量的理论和试验研究证明：衰减与相应的频散cα（f）由Kramers-Kronig关系决定[6,7,8,9]，也即

图1空气耦合超声换能器的辐射声场示意

公式3

式中：f0为一个设定的频率，要求其远大于所研究的频率范围，也即使得c(f0)=c(f→∞）。

为了将衰减和频散两个因素同时考虑在波传播的过程中，这里引入复波数：K=kα（f)-jα（f），其中kα（f)=2πf/cα（f）。将复波数K代入式（2）中，替换k可以得到衰减性介质中的格林函数在频域的表达式如式（4）所示。

公式4

当声波在空气中传播时会产生二次方衰减，也即η=2，α（f）=α0f2。由式（3）可知，此时声速cα（f)=c(f→∞）=c0为常数，也即空气中的二次方衰减不会引起频散，c0为空气中的声速。因此，空气中的频域格林函数可以写为

公式5

式（5）具有高斯函数的形式，因此对其进行逆傅里叶变换可以得到空气中时域格林函数的解析表达式如式（6）所示。

公式6

将式（5）代入式（1），可以得到在空气中的速度势响应为

公式7

相应的时域空间脉冲响应为

公式8

式（6）和式（8）为空气耦合状态下超声换能器声场的时域空间脉冲响应计算模型。假设换能器在外部激励s(t）下沿法向均匀振动，也即vn(M0）为常数，则由线性系统理论可知，换能器向空气中任意一点辐射的速度势为

公式9

相应的声压为

公式10

2、空气耦合声场仿真

选定最为常见的圆形空气耦合换能器进行声场仿真研究，设定换能器半径为10mm，中心频率f0为200kHz，空气中声速c0为340m·s-1，声波的衰减为α（f)=15.9×10-1f2dB·cm-1，超声波在空气中的衰减曲线如图2所示。在换能器研究中，通常采用Chebychew函数模拟其声-电响应，因此这里假定激励函数为Chebychew函数。

公式11

式中：f0为中心频率；tr和tf分别为上升时间和下降时间，这里设定tr=tf=0.6/f0。

图2超声波在空气中的衰减曲线

换能器激励函数的时域波形及其频谱如图3所示。

2.1轴向声压分布

根据式（6)(10），对换能器声场进行仿真，提取时域波形的峰值幅度和中心频率成分的幅值，沿换能器中心轴线的声压分布如图4所示。由图4可知：(1)对于时域波形峰值，在无衰减的情况下，其幅值在近场范围内先减小后增大，在远场范围内单调递减；当考虑空气中的衰减时，其幅值随着传播距离的增加逐渐减小；(2)对于中心频率成分，在无衰减的情况下，其幅值在近场范围内反复波动，多次到达零点和最大值点，在远场范围内单调递减；当考虑空气中的衰减时，其幅值在近场范围内反复波动，多次到达零点和极大值点，且极大值随着传播距离的增加而减小，幅值在远场范围内单调递减；(3)与无衰减的情况对比，空气中近场长度明显减小。

图3换能器激励函数的时域波形及其频谱

图4换能器轴向声压分布

2.2时域波形

换能器轴线上远场内一点z=56.25mm处的时域波形及其频谱如图5,6所示。由图5,6可知：空气中的衰减使得时域波形更加简单；无衰减情况下的峰值频率为200kHz，而当声波在空气中传播时，高频成分被极大地削弱，峰值频率发生了偏移，偏移量约为80kHz。

图5无衰减时，z=56.25mm处的时域波形及频谱

图6空气中传播时，z=56.25mm处的时域波形及频谱

3、结语

(1）介质中的衰减在引起超声波幅值降低的同时会引起频散，但是对于空气来说，由于其满足二次方衰减，由Kramers-Kronig关系可知，其声速保持不变。

(2）考虑空气中的二次方衰减，推导出空气中时域格林函数的解析表达式，基于该函数和瑞利积分建立了空气耦合换能器时域声场的快速计算模型。

(3）对空气耦合换能器的轴向声场进行仿真发现：相对于无衰减的情况，空气中的衰减引起轴向声压明显降低，近场距离减小。

(4）对时域信号进行仿真发现：空气的衰减特性会引起低通滤波效应，导致时域信号的高频成分被极大地滤除，时域波形变得更加简单，同时信号频谱峰值会向低频部分偏移。

参考文献：