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工程结构椭球凸集模型可靠度的二次型计算方法研究

2024-04-15 6 上传者：管理员

摘要：工程结构概率可靠度在理论上已经建立了完整的计算体系，但在实际工程应用中却停留在近似或半经验阶段。对于既有工程结构的可靠度评估，由于测试数据有限，采用椭球凸集模型可靠度进行评估有很高的工程价值和广泛的应用前景。椭球凸集模型可靠度有很多种不同的定义，但无论何种定义，如果完全脱离概率可靠度与失效概率的基本假定，则很难与现在基于概率可靠度评估方法的主流实现有效的衔接。从多维正态联合概率密度出发，推导了斜椭球方程及其标准化方法，同时结合极限状态方程，给出了椭球凸集模型可靠度与概率可靠度之间的数学关系。算例表明，得出的特殊简化情况下的椭球凸集模型可靠度计算方法和几何解释，可进一步推动该类可靠度在工程中的应用。

关键词：
工程结构可靠度
工程结构设计
极限状态方程
椭球凸集模型
结构可靠度
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概率可靠度在20世纪初由欧洲、北美等众多科学家提出并在理论上逐步丰富。在实践上，国际标准化组织编制的《结构可靠性总原则》（ISO2394），国际结构安全性联合委员会编制的《概率模式规范》等，推动了概率可靠度在工程中的具体应用。在国内，从20世纪50年代开始，大连工学院（现大连理工大学）、同济大学、清华大学等的学者开始关注概率可靠度并探索将其应用于工程结构设计规范中。经过一个多世纪的发展，目前概率可靠度在工程结构的各个领域得到了广泛的认可，但也有学者指出概率可靠度理论在工程应用时存在一些问题[1]，主要体现在：假设检验所得出不拒绝的随机变量是否能够真实刻画工程的各个设计参数和变量（p值危机）；针对具体结构评估中测试数据稀少的情况下得到的概率可靠度误差很难控制到可以接受的水平（小样本危机）；工程结构极低的失效概率使得计算概率可靠度使用预测外推方法得出了概率模型尾部，从而导致较大误差（尾部危机）；不属于概率范畴的模糊、灰色等结构参数被强制使用概率模式来刻画，从而导致对问题本质描述不正确（未确知性危机）。

21世纪初，中国部分学者开始转而研究非概率可靠度，郭书祥等[2]较早采用区间分析方法定义非概率可靠度，乔心州等[3,4]采用椭球凸集模型定义非概率可靠度。经过20多年的深入研究，学者们逐步完善了相关计算理论，并尝试在简单的工程结构中应用非概率可靠度进行分析[5,6,7]，同时在理论上逐步研究了更深入的时变可靠度及具有相关性变量的体系可靠度问题[8]。

事实上，概率可靠度的发展路线是在理论上不断做加法使其变得更复杂，在应用中不断做减法以提高其适用性；非概率可靠度的发展路线是理论比较简单，便于理解，容易被工程技术人员掌握，但在实际应用中遇到更为复杂的具体问题时，不断做加法以使其能够真实反映工程结构的可靠度水准。从发展逻辑关系看，概率可靠度和非概率可靠度在工程应用上将趋于统一[9]。现在也有学者研究概率可靠度、非概率可靠度、模糊可靠度、灰色可靠度等组合在一起的混合可靠度理论，就是试图在某个维度上达到一致的目标[10,11,12]。

本文通过一定的理论分析，建立概率可靠度和非概率可靠度之间的联系，在实际工程中既可以发挥非概率可靠度计算简便、操作简单的优势，又可以与现在的主流概率可靠度进行有效衔接，解决评判标准不统一的问题。当然，这个问题的解决不可能一蹴而就，工程可靠度的计算需要在实践中不断探索，找出一条合适的途径使其简单实用的同时又能合理描述客观事实。

1、正态随机变量联合概率密度下的斜椭球方程

1.1正态随机变量联合概率密度函数及斜椭球方程

文献[13]推导了正态随机变量联合概率密度函数，其表达式为

式中：x为随机变量组成的列向量，V为与x对应的协方差矩阵，μ为与x对应的随机变量的均值，符号意义及有关详细解释详见文献[13]。

令C=(Zα2σT V-1σV)-1，根据式（1）可得椭圆方程

Zα为标准正态分布的α分位点，σ为与x对应的标准差。矩阵C对称正定时，上式实际上是空间斜椭球方程。

1.2利用二次型将斜椭球标准化为单位球

下面利用二次型的Choleskey分解对式（2）进行标准化处理，将其最终转化为标准单位球。

1）将空间斜椭球中心平移至坐标原点，并进行归一化处理得到新变量U，新变量U与原变量x之间的相互转换关系如下：

式中：Di（·）表示对角矩阵，Cii为矩阵C的对角线元素。

将式（4）代入式（2）得

整理上式得

其中，

式（5）为新变量U表达的空间椭球方程。

2）对矩阵Ω进行Choleskey分解，得到上三角矩阵L0，因此有：

令新变量δ=L0 U，得标准球方程

根据上述1）、2）的转换步骤，具体操作可总结如下：

(1)根据式（6）直接写出矩阵Ω；

(2)对矩阵Ω进行Choleskey分解，得矩阵L0;

(3)按下式计算新变量δ与原变量x之间的相互转换关系式：

(4)将工程结构的极限状态方程、联合概率密度函数按照式（10）转换为用新变量δ进行描述。

通过上述步骤转换完成后，就可以在新变量δ构成的空间中研究工程结构可靠度，这就是斜椭球凸集模型可靠度计算的基础。

2、工程结构椭球凸集模型可靠度理论

2.1二维正态分布的一般情况

设工程结构的功能函数为Z=R-S，其中，R为结构抗力，S为作用效应。若R、S分别服从均值为μ1、μ2，方差为σ1、σ2，相关系数为ρ的正态分布。设x={R,S}T，μ={μ1，μ2}T，矩阵C为

Ω及其对应的Choleskey分解矩阵L0为：

然后，建立新变量δ和原变量x的关系，根据式（10）可得

根据式（11），结合式（16）可得

将极限状态方程转换到关于δ的新空间中，可得

将式（18）代入功能函数Z=R-S中，可得

当Z=0时，得工程结构的极限状态方程为

下面在新变量δ构成的空间中定义工程结构椭球凸集模型的可靠度。以原点到式（20）所描述的极限状态这条直线的距离作为椭球凸集模型可靠指标η，按照解析几何学可得距离及对应直线上的垂足坐标为：

上述垂足坐标也称为验算点，可根据式（17）换算为关于x原坐标系的坐标。考虑到概率可靠指标，因此，可得椭球凸集模型可靠指标与概率可靠指标的关系为

将γ、ε1、ε2的表达式代入上式可得

由上式可知，η与β之间的关系非常复杂。若考虑结构抗力和作用效应相互独立，则ρ=0，那么上式可进一步简化，能得到与文献[13]一致的结论。

2.2算例及几何解释

下面根据具体算例来说明上述计算的几何意义，假设结构抗力和作用效应的均值和标准差分别为μR=1 400 kN·m、μS=1 000 kN·m，σR=100 kN·m、σS=80 kN·m，ρ=0.25。R与S的二维正态联合概率密度如图1所示，其等值线如图2所示。从图2中可以看出，等值线明显是斜椭圆，与本文前面的论述吻合。

当α=0.05时，矩阵C的计算结果如下：

若要在直角坐标系中画出式（2）所描述的斜椭圆，需要对矩阵C进行正交分解，其特征值和特征向量为：

图1 R与S的二维正态联合概率密度

图2 R与S的二维正态联合概率密度等值线

斜椭圆的第1轴斜率k1=0.406 8/0.913 5=0.445 3，与R轴的夹角ɑ0=24.003 40；第2轴垂直于第1轴。根据线性代数二次型有关理论，椭圆半轴的长度分别为2个特征值开方的倒数，则第1轴的半轴a=217.13 kN·m，第2轴的半轴b=154.43 kN·m。斜椭圆的中心点M的坐标为（1 000,1 400），单位为kN·m。椭圆与极限状态直线如图3所示。

标准化斜椭圆对应的极限状态方程为

图3 椭圆与极限状态直线

根据上述方程绘制出标准坐标系下的图形（图4），图中的椭球凸集模型可靠指标为原点至极限状态方程的垂直距离。

图4 标准化后的椭圆与极限状态直线

根据式（21）、（23）可以计算得到η=1.550 5、β=2.95，如果这是一个公路桥梁结构承载力验算，结构为Ⅱ级延性破坏，规范规定的容许可靠指标是4.2，显然，它不满足规范要求。但椭球凸集模型可靠指标大于1，若直接用非概率可靠指标来判别，结构处于安全状态，显然，这个结论是不合适的。利用区间可靠度的定义，按照1.645倍方差取区间数，结构抗力的区间是[1 235.5,1 564.5]kN·m，作用效应的区间是[867.7,1 132.3]kN·m，明显结构抗力大于作用效应，也会得出结构安全这个不正确的结论。

本文建议采用椭球凸集模型可靠度判断结构安全的计算步骤为：首先，依据选定的Zα得到斜椭球，根据椭球参数求得矩阵C，具体计算方法可参照最小体积闭包椭球的有关文献[14,15,16]；然后，按本文公式（18)～(21）逐步计算确定椭球凸集模型可靠指标η；最后，根据式（23）计算β，则可用现行工程结构可靠度标准判断结构承载力是否满足要求。

3、多维正态分布相互独立的情况

当多维正态分布相互独立时，相关系数全部为0，则对应的协方差矩阵计算如下：

可得椭圆方程的有关向量及矩阵为：

设工程结构的功能函数为线性组合，即

将式（30）代入式（31）可得δ空间中的极限状态方程。根据式（21）对于可靠指标的定义（点到直线的距离），可推导出椭球凸集模型可靠指标为

与概率可靠指标进行比较可得η=β/（Zα），这个结论与文献[13,17]的结论是一致的。通过2.1节推导过程可知，验算点和概率可靠度也保持一致。

4、总结与展望

1）本文以正态随机变量联合概率密度为起点，推导了斜椭球方程的表达式与联合概率密度各参数之间的关系。提出对斜椭球方程采用二次型的Choleskey分解标准化的方法，在转换后的新坐标空间中定义工程结构椭球凸集模型可靠度。

2）针对本文所提出的计算理论，在实际工程的应用过程中，应首先根据实测结果及α值确定斜椭球，然后根据椭球参数确定转换矩阵K，最后计算椭球凸集模型可靠度。

3）若工程应用中要求椭球凸集模型可靠指标η=β/（Zα）≥1，则得到β≥Zα。而概率可靠度判别标准是β≥βT(βT为规范容许的目标可靠指标），所以当取Zα=βT/时，椭球凸集模型可靠度和区间可靠就具有一致的判断结果。表1列出了公路桥梁目标可靠指标以及Zα与α的取值，按照这个表的α计算斜椭球进而得到最终的椭球凸集模型可靠指标，就可以通过η≥1的标准判断结构是否安全。

4）从本文的研究结果可以看出，椭球凸集模型可靠度中隐含变量维数n，这会导致类似于“区间膨胀”的问题，在实际使用中很不方便，后续可继续研究区间计算中的线性化方法。

表1 公路桥梁目标与可靠指标以及Zα与α的取值

5）对多维正态分布非独立或非正态分布的情况尚需进一步研究。对于非正态分布的情况，预计为偏斜椭球，偏斜椭球的解析更加复杂，尚需进一步研究偏斜椭球的正规化处理方法。

6）对于结构非线性功能函数，其工程结构椭球凸集模型可靠度应该如何度量和计算需要进一步对比研究，需要给出二次及高次近似功能函数可靠度计算方法。

参考文献:

[1]黄洪钟.对常规可靠性理论的批判性评述:兼论模糊可靠度的产生､发展及应用前景[J].机械设计,1994(3):1-5.

[2]郭书祥,吕震宙.基于非概率模型的结构可靠性优化设计[J].计算力学学报,2002,19(2):198-201.

[3]乔心州,仇原鹰,孔宪光.一种基于椭球凸集的结构非概率可靠性模型[J].工程力学,2009,26(11):203-208.

[4]邱志平,胡永明.椭球凸模型非概率可靠性度量和区间安全系数的关系[J].计算力学学报,2016,33(4):522-527.

[5]邱志平,夏海军.基于功能度量法的桁架结构非概率可靠性拓扑优化方法研究[J].计算力学学报,2021,38(4):423-429.

[6]张正,吴曼颖,毕仁贵.基于减基概念的凸集结构可靠性分析方法[J].计算力学学报,2020,37(3):293-299.

[9]杨立国,孙文彩,任铁军.含区间相关不确定信息的时变可靠度分析方法[J].工程技术研究,2020,5(1):235-237.