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离散元基础上岩石断裂尺寸效应及断裂过程区演化特征分析

2020-11-13 164 上传者：管理员

摘要：为了在离散元中研究岩石的非线性断裂过程，基于幂律型位移软化接触模型，针对一系列相似边切槽半圆盘花岗岩的三点弯曲试验进行数值模拟，并分析了其尺寸效应和断裂过程区演化规律。荷载位移曲线的峰后特征表明，随着半圆盘半径的增大，延性破坏逐渐过渡为脆性破坏，而测试结构的强度模拟结果与Baant尺寸效应理论吻合较好。在加载过程中，断裂过程区长度先增大后减小，并在荷载位移曲线的峰后达到最大值，该最大值与结构尺寸密切相关，当试件尺寸足够大，断裂过程区不受边界的约束而充分扩展，可达到饱和长度，而小尺寸试件的断裂过程区扩展会受到边界条件的限制。

关键词：
半圆弯曲试验
尺寸效应
断裂过程区
离散元
花岗岩
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1、引言

岩石结构的破坏随着测试尺寸的变化出现不同的断裂力学特性，随着测试结构尺寸的增大，结构强度逐渐降低，破坏模式逐渐由延性破坏转变为脆性破坏，当结构尺寸足够大时，破坏模式表现为完全脆性，破坏荷载服从线弹性断裂力学[1]。但由于受条件所限，室内试验的试件尺寸往往不大，所获得岩石断裂韧度是否为线弹性断裂力学参数，需开展系统的尺寸效应分析来进一步验证。岩体结构强度的尺寸效应与裂缝尖端的断裂过程区密切相关，当断裂过程区相对于结构尺寸较大时，结构强度趋向于由强度理论控制，结构的延性破坏特征显著；反之，结构强度趋向于由断裂理论控制，结构的脆性破坏特征显著。断裂过程区的测试研究对解释尺寸效应的本质具有重要作用。由于离散元方法（DEM）能够较为真实地模拟这些微裂隙的形成、贯通和扩展，近年来已逐渐应用于尺寸效应和断裂过程区的研究[2]。鉴于岩石与混凝土有着类似的物理力学特性，本文基于幂律型位移软化接触模型，使用PFC2D对花岗岩的半圆弯曲试验（SCB）进行离散元模拟，并分析了其尺寸效应和断裂过程区的演化规律。

2、幂律型软化模型及微观材料参数

2.1 幂律型位移软化接触模型

基于接触黏结模型，在PFC2D中开发了幂律型位移软化接触模型[3]，模型将接触分解为法向和切向弹簧，其峰后的接触强度满足表达式：

式中，Fnsof、Fssof分别为软化后的法向拉伸和切向剪切接触强度；Kn、Ks分别为法向和切向接触刚度；un、us分别为相对法向拉伸和切向剪切接触位移；Fn为法向接触力；μ为接触摩擦系数；Df为接触损伤因子；〈·〉为Macaulay括号。

法向和切向弹簧具有独立的位移状态，相应的损伤变量表达式为：

式中，ue为极限弹性位移；ufk为控制软化曲线初始斜率的参数。

显然，通过式（2）可获得法向和切向两个独立的损伤变量Dfn、Dfs，但损伤因子为材料内部特性，尽管切向弹簧仍处于弹性阶段，由法向张拉引起的材料损伤将会引起切向损伤，使切向强度降低，因此可认为切向和法向损伤一致[4]，接触损伤因子Df取值为max(Dfn,Dfs）。接触力—位移曲线与坐标轴围成的面积则代表接触断裂所释放的能量，而断裂能Gf是材料断裂的重要物理常数。因此，峰后软化曲线的形状应由断裂能控制，即软化曲线控制参数ufk由下式确定：

式中，珚R为两个接触颗粒的平均半径；t为PFC2D中圆盘颗粒的厚度。

由式（3）可知，幂律型位移软化接触模型含有六个参数，分别为法向刚度Kn、切向刚度Ks、抗拉强度σn、抗剪强度σs、摩擦系数μ和断裂能Gf。该模型将断裂能作为输入参数，当颗粒尺寸发生变化时，通过式（3）对位移—接触力软化曲线形状进行调整，保证断裂能保持恒值，从而使断裂过程中的能量释放率不依赖于颗粒尺寸，将颗粒尺寸对于强度的影响降到最低。

采用以断裂能作为输入参数的幂律型位移软化接触模型后，虽然颗粒尺寸对于结构强度的影响较小，但在进行断裂分析时仍需满足以下条件[5]:(1)断裂能Gf应大于极限弹性应变能σk2珚Rt/Kk。据此，颗粒半径的取值范围为：

(2)最大断裂过程区（FPZ）内所需的最小颗粒数Np≥3。根据断裂过程区长度理论公式EGf/（πσn2t2），可近似得到颗粒半径的取值范围：

2.2 花岗岩微观材料参数标定

本文模拟材料为LacduBonnet花岗岩，其物理力学参数[6]为：弹性模量为69GPa，泊松比为0.26，单轴抗拉强度为9.3MPa，单轴抗压强度为200MPa；断裂韧度KIC为，由公式Gf=K2IC/E′估算其宏观断裂能为44.76N/m，其中E′为有效弹性模量，对于平面应变问题，E′=E/（1-v2）。

为了在离散元方法中模拟花岗岩的宏观物理力学参数，需对微观材料接触参数进行标定：(1)确定微观输入断裂能，对于圆形颗粒结构，输入的微观断裂能Gf约为宏观断裂能的0.7倍[5];(2)确定微观弹性参数，模拟单轴压缩试验，通过调整接触刚度Kn、Ks，逼近花岗岩的弹性模量和泊松比；(3)确定微观强度参数，模拟单轴拉伸、单轴压缩，通过调整接触强度σn、σs和摩擦系数μ，逼近花岗岩的单轴抗拉强度和抗压强度。

由此标定的微观物理力学参数Kn=100GPa/m,Ks=35.7GPa/m，σn=14.5MPa，σs=46.4MPa，μ=0.5,Gf=31.65N/m。通过离散元模拟获得的宏观物理力学参数弹性模量为67.43GPa，泊松比为0.27，单轴抗拉强度为9.85MPa，单轴抗压强度33.72MPa。其中单轴抗压强度与试验值有较大差距，这是由于通过圆形颗粒的离散元模拟所能达到的单轴抗压和抗拉强度比约为3～4倍[6]，远低于大多数岩石材料的试验值（10～20倍），因此单轴抗压和抗拉强度难以同时满足。考虑到在Ⅰ型断裂测试中，抗拉强度更为关键，标定过程应尽可能使抗拉强度接近试验值。

3、半圆弯曲试验尺寸效应模拟

3.1 半圆弯曲试验

针对一系列相似边切槽半圆盘的三点弯曲试验进行数值模拟。为保证半圆盘的几何相似性，切槽长度和半圆盘半径R的比值固定为1/4，支撑跨度固定为1.6（图1），总共模拟了六组半圆弯曲试验（SCB），半径R分别为4、8、15、30、60、120mm，每一组按不同的颗粒随机分布生成3个试件，部分试件见图2。

图1SCB试验示意图

图2离散元试件

二维离散元分析多采用单位厚度的等厚圆盘颗粒，根据颗粒半径需要满足的条件式，本文半圆盘颗粒半径取为Rb=R/400，颗粒最小半径Rb,min为Rb/1.3，最大半径Rb,max为1.6Rb,min，由均匀分布随机生成，形成随机排列的微观结构。

3.2 荷载位移曲线及应力分布特征

为便于尺寸效应的研究，荷载通常表示为名义应力。名义应力计算公式为：

式中，F为施加在结构上的荷载；R为巴西半圆盘的半径；t为结构的厚度。

数值试验所得的名义应力—相对位移曲线见图3。在三点弯曲荷载作用下，小尺寸半圆盘试样延性性质显著，荷载平稳缓慢地进入峰后残余阶段；而大尺寸试样的荷载位移曲线在峰后陡降，表现出较强的脆性性质。

图3名义应力—相对位移关系曲线

在峰值荷载作用下，跨中截面在预制裂缝尖端以上的法向应力分布见图4，该应力由PFC2D中测量圆算法得到，为了提高应力测量精度，每个测量圆中仅包含了5个接触[3]。图4中纵轴为沿半圆盘高度方向的相对坐标，预制裂缝尖端的相对坐标为0.25，半圆盘顶端的相对坐标为1.0；横轴为跨中截面的法向应力，其最大值为接触的抗拉强度14.5MPa。在峰值荷载作用下，最大拉应力在预制裂缝尖端与圆盘顶部之间的某一点，该点为断裂过程区尖端，该尖端以上为弹性区，以下为软化区，即断裂过程区。断裂过程区尖端到预制裂缝尖端的相对坐标即为断裂过程区相对长度。该应力分布清晰地显示断裂过程区相对长度与结构尺寸有关。在三点弯曲荷载作用下，下部分为拉应力，上部分为压应力。压应力的存在限制了断裂过程区的扩展，同时这也是其峰后荷载位移曲线存在残余阶段的重要原因。

图4峰值荷载作用下跨中截面应力分布

3.3 结构的尺寸效应

将荷载峰值表示为Fu，对应的名义应力峰值表示为σNu，σNu与巴西半圆盘半径R的关系，可由Ba6ant尺寸效应理论[7]描述：

式中，ft为抗拉强度；B、R0为尺寸效应的两个参数，可通过拟合得到。

图5为尺寸效应及拟合曲线。由图5可看出，所得结果与Ba6ant尺寸效应定律吻合较好。水平点划线是延性破坏模式的渐近线，由强度理论控制；斜点划线是脆性破坏模式的渐近线，由线弹性断裂力学控制，从图5中可清楚地观察到峰值荷载从延性到脆性的过渡，拟合尺寸效应参数B=0.68,R0=13.4mm，复相关系数R2=98%。

图5尺寸效应及拟合曲线

4、断裂过程区演化特征分析

4.1 断裂过程区扩展演化特征

当颗粒随机排列时，裂缝沿着不规则的路径扩展，图6为裂纹扩展演化示意图，裂纹扩展可分为两个部分，一是完全裂开的裂纹，其特点是丧失承载能力；二是软化的断裂过程区（FPZ），该区域由软化的微裂隙构成，仍然能承受荷载。

图6裂纹扩展演化示意图

断裂过程区的长度，也随着加载过程逐渐改变，因此监测了断裂过程区随着荷载增加的变化过程。以半径30mm半圆盘的三点弯曲为例，图7给出了不同加载阶段的断裂过程区长度变化，图7(b)～(e）分别对应于荷载位移曲线图7(a）上的B～E点，图中短线代表接触部分，折线段代表线性拟合的断裂过程区中心线，线框代表按软化接触面积等效的断裂过程区范围。

图7断裂过程区演化过程

随着加载的增大，断裂过程区长度呈现出先增大后减小的趋势，断裂过程区长度在荷载位移曲线的峰后达到最大值，即当荷载达到峰值时，断裂过程区长度并非最大，其余尺寸试样的断裂过程区亦具有相同的规律。

4.2 断裂过程区的尺寸效应特征

随着岩体结构尺寸的增大，破坏模式由延性破坏转变为脆性破坏，而这一转变与断裂过程区相对于结构的尺寸密切相关。图8给出了不同尺寸的构件在峰值荷载下断裂过程区长度，随着构件尺寸的增加，断裂过程区相对长度Lp/R逐渐减小。

图8峰值荷载下断裂过程区

从绝对长度看，断裂过程区长度Lp随着结构尺寸的增大而增大（图9）。当试件尺寸足够大时，如半径120mm试件，断裂过程区长度能够扩展到最大值，约为28mm。根据大尺寸试件断裂过程区的扩展规律，可将扩展过程分为三个阶段：(1)起始扩展。在加载初期，断裂过程区长度随着加载过程逐渐增大，初始裂缝尖端塑性逐渐增强，但是尚未完全裂开；(2)饱和扩展。在断裂过程区达到饱和长度以后，在随后的裂纹扩展过程中，断裂过程区保持饱和长度；(3)衰减扩展。在断裂过程区接近结构边界或拉应力区边界时，受边界影响，断裂过程区长度随加载过程逐渐减小。

图9结构尺寸对断裂过程区的影响

需要注意的是，并非任何尺寸的试件均能达到饱和扩展的条件，仅当试件尺寸足够大时，断裂过程区扩展不受边界条件约束。而对于小尺寸试件，受到结构尺寸的限制，断裂过程区并不能充分扩展，增大到一定程度后长度减小，因此仅能观察到起始扩展和衰减扩展两个阶段。

当断裂过程区达到饱和长度后，其长度在裂纹扩展过程中保持恒定，因此断裂过程区的饱和长度Lp,max应为材料的某一特征长度。对于LacduBonnet花岗岩，本文模拟获得的Lp,max约为28mm。LABUZJF等[7]利用声发射技术测量了花岗岩的断裂过程区最大长度，约25mm（图10），与数值模拟值近似。此外，离散元模拟的断裂过程区范围亦与声发射监测的微裂隙范围相近。

图10最大断裂过程区范围

5、结论

a．在幂律型位移软化接触模型的基础上，采用离散元方法（DEM）较好地模拟了LacduBonnet花岗岩半圆弯曲试验（SCB），分析了其尺寸效应和断裂过程区演化规律。

b．随着测试结构尺寸的增大，峰值荷载作用下的断裂过程区的相对长度逐渐减小，结构破坏类型由延性向脆性转变，而结构强度服从的理论亦对应由强度理论转变为弹性断裂力学理论，获得的结构强度尺寸效应与Ba6ant尺寸效应理论吻合较好。研究结果为离散元用于非线性断裂的模拟奠定了基础，亦为合理评价岩石线弹性断裂韧度提供了参照。

参考文献：

[1]王文标,黄晨光,赵红平,等.结构破坏的尺度律[J].力学进展,1999(3):383-433.

[2]段宇,宿辉,唐阳.花岗岩巴西劈裂试验红外热像特征及颗粒流数值模拟研究[J].水电能源科学,2016,34(8):139-142,114.

严鸿川,刘怀忠,肖明砾,谢红强,何江达.基于离散元的岩石断裂尺寸效应及断裂过程区演化特征分析[J].水电能源科学,2020,38(11):124-128.

基金:国家重点研发计划重点专项(2017YFC1501103);国家自然科学基金青年基金项目(51709193)资助项目.