边坡稳定分析方法已经形成较多成熟且应用比较广泛的理论，包括极限平衡法、极限分析法及有限元法和其他数值分析法[1-14],其中极限平衡法最为经典，也是各行业边坡规范或标准的指定分析方法。

传统的极限平衡法需将滑体划分成条块，将条块间的相互作用力，即条间力，视为基本未知量，因此也可称之为条分法。习惯上将满足所有平衡条件的极限平衡法称为严格方法，如Spencer法等，而将仅满足部分平衡条件的极限平衡法称之为简化方法，如瑞典法等。一般认为严格方法的结果比较可信，因为不同的严格方法所给出的安全系数相差很小，通常在6%以内[15]。但不同简化方法所给出的误差就相差较大，安全系数可相差20%以上。因此，在实践中总是优先选择严格方法。但是，所有严格条分法都有不收敛的问题。若严格条分法无法收敛，就不得不选择一种简化方法，由此而产生的结果可靠性就值得推敲了。顺便指出，当采用通常的迭代技术无法取得严格条分法的解时，可以尝试全标单元法[16],因为只要严格条分法的解存在，通过全标单元法就能够求出其全部的解。

严格条分法不仅数值特性差，而且无法被推广到满足全部6个平衡条件的三维严格条分法(或称条柱法),即目前已实现的所有三维条分法都是简化方法，而所有的三维严格极限平衡法见文献[17-19]等，都是基于整体分析法。

鉴于条分法数值性态差，Bell[20]提出取整个滑体(而非单个条块)作为受力体来列平衡方程，并将滑面正应力σ(x)视为基本未知量，这样就无须再引入条间力，因此，Zheng等[21]称其为整体分析法。注意，Bell法也对滑体进行了条分，但条分的目的是计算以滑体为积分域的积分，而不是引入条间力假定来使问题变得静定。为了避免条分，可将整体分析法中的域积分转换成边界积分[21],这将会给三维分析带来很大的便利[17,22],而且积分的精度也会因此而提高。

因为二维问题仅有3个独立的平衡方程，而安全系数Fs已占据了一个未知数，所以在滑面正应力函数σ(x)中只能含2个待定参数。Bell[20]正是基于此推导出以参数a、b和安全系数Fs为未知量的三元二次方程组。Bell法有良好的数值特性，不存在收敛方面的问题，是截止到21世纪初唯一能够适用于任意滑面且无收敛问题的严格方法。但Bell法一直未受到应有的关注，直到朱大勇等[23]重新发现类似的思想，但采用的是不同的逼近方式来构造σ(x),下文将称文献[23]中的方法为朱大勇法。

Bell法未能受到应有关注的原因可能是它无法重复Whitman等的结果，而Whitman等[24]的结果是基于Morgenstern-Price(M-P)法得到的，M-P法属于严格条分法。Bromhead[25]认为不能因此就判定Bell法无效，因为Sarma法[26]也无法重复Whitman等[24]的结果。笔者没有看到利用Bell法分析Whitman和Bailey算例的相关文献，但笔者所分析过的算例都无一例外地表明Bell法与M-P法至少在安全系数上差别很小。笔者猜想所谓的“不能重复”,可能是Bell法给出的推力线跑到滑体之外，或者一部分滑面正应力是拉应力。

对推力线和条间力的合理性进行检查最初是由Morgenstern等[27]提出的，M-P法企图通过选择条间力函数f(x)来产生合理的推力线和条间力。但多年的实践表明：这很难达到。而且，合理、不合理的推力线和条间力所对应的安全系数相差并不大[28-29]。因此，Duncan[15]断言只要一个方法能够满足全部平衡条件，那么它所产生的安全系数就是可信的；若算得的条间力不合理，只能说明还有一组合理的力系，但该力系所对应的安全系数是相同的。可能正因如此，Spencer法干脆取f(x)=1来进行分析。

然而，Duncan的断言并不严密，因为严格条分法通常是多解的，例如，针对一个利用Spencer法分析的边坡，Zheng等[16]就利用全标单元法找出了它的所有解，而仅有一个解是合理的。因此，笔者的观点是满足全部平衡条件固然重要，但追求力系的合理性也是必要的，因为条间力分布对于抗滑桩的设置是有益的。在获得安全系数后，至少应该检查滑面上的正应力是否均为压应力：若相当大一部分的滑面正应力为拉应力，那么就该怀疑此解的合理性。为了进一步确保解的合理性，还应检查推力线是否位于坡体之内。

显然，整体分析法成功与否的关键就在于对滑面正应力σ(x)的逼近是否合理。刘华丽等[30]的研究结果表明，如果用不同的二次函数来表示σ(x),则安全系数可相差近20%,这是Duncan断言的又一反例。但是，在将产生负σ(x)的那些结果剔除后，安全系数最大仅相差6.1%[30]。

Zheng等[21]提出滑面正应力σ(x)的构造应满足其自然分解，即σ(x)=σ0(x)+σI(x),其中，σ0(x)为来自体积力的贡献，是已知的，σI(x)是来自滑体内力的贡献，是未知的。在文献[21]中，σI(x)采用的是以a和b为待定常数的线性函数。后面会看到，这样选取的σI(x)不满足σ(x)的端点条件。Bell法和朱大勇法所构造的σ(x)皆没有遵守这一分解，但满足滑面应力端点条件。

本文将对整体分析法中的σ(x)构造做进一步的完善，使其既满足自然分解，又满足端点条件，并为此提供了σI(x)的折线逼近方式和Fourier逼近方式。通过典型算例表明本文所建议的方法所求得的安全系数与Bell法和朱大勇法并无本质的区别，但本文所建议的方法所产生的推力线更加合理，且比以M-P法为代表的条分法更加合理。

1、整体分析法原理

如图1所示，边坡滑体Ω是由坡面g与滑面s组成的，s不包含拉裂缝，拉裂缝应视作g的一部分。取整个滑体Ω为受力体，Ω受到的主动力有滑体体积力与作用在坡面的面力或集中力，体积力通常为滑体的自身重力w和水平地震力q=kcw,kc为地震力系数；约束反力为滑面的正应力σ(x)和剪应力τ(x)。

图1 边坡滑体及其受力系统示意

任取不在一条直线的3个点(xi,yi),i=1, 2, 3,例如可以按照图1所示的方案来选取这3个点，使其成为一个等边三角形的顶点。以这3个点分别为力矩中心，可得处于极限平衡状态下的滑体的3个平衡方程组

该方程组的未知量有安全系数Fs和滑面正应力函数σ(x),mi为作用在坡体上的所有外力关于点(xi,yi)的力矩，滑体Ω面积可表示为Ω上的域积分，可用边界积分表示[21]或对Ω进行条分来近似。式(1)中的其他量定义为

2、滑面正应力分布

2.1 滑面正应力分解

Zheng等[21]证明滑面正应力σ(x)满足滑面正应力的自然分解

式中：ys和yg分别表示滑面s和坡面g位于同一垂线(x为常数)上的2个交点的纵坐标；γ为土体单位重度。

式(5) 中的σI(x)为除了体积力之外的其他力对σ的贡献，代表了对σ0的修正。这里，其他力包括坡面外力(已知)和坡体内力(未知)。

2.2 关于滑面正应力的逼近

一般情况下，σI(x)是静不定的，即若不指定σI(x)的函数形式，是无法从式(1)中求得σI(x)的。

一般情况下，滑面正应力σ(x)在滑面的2个端点A和B被视为已知，即满足端点条件

式中下标A、B分别对应于滑面的底端点A和顶端点B,如图1所示。这样，就要求σI(x)在滑面的2个端点A和B满足齐次端点条件

σI(xA)=σI(xB)=0 (9)

因为方程组(1)中的3个方程只能求得3个未知数，而安全系数Fs已经占据了一个未知数，留给函数σI(x)只能有2个未知参量a和b。显然，若σI(x)关于a和b是线性的，则方程组(1)的非线性最低。如此可令

σI(x)=afa(x)+bfb(x) (10)

式中fa和fb是即将构造的二维函数子空间的2个基函数，由式(9)可知它们应满足端点条件

fa(xA)=fa(xB)=0 (11)

fb(xA)=fb(xB)=0 (12)

fa和fb的选择不唯一，下面给出2种方案。

2.2.1 Fourier基

对于二维问题，一个很自然的选择是

如此得到的σI(x)可视为σI(x)的Fourier展开(正弦),并在后面称其为Fourier修正。

2.2.2 线性插值

在区间[xA,xB]内插入2个节点xa和xb,使得

xA<xa<xb<xB(15)

这样，就可以将fa和fb指定为关于节点xa和xb的形函数，如图2(a)所示。其具体函数表达式为

图2(b)显示了由fa(x)和fb(x)张成的一个σI(x),下文称该应力修正方案为折线修正。

至于xa和xb的位置，若滑面上含2个转折点，则可将xa和xb设置在这2个转折点。对于光滑滑面，稍后会看到，xa和xb的位置对于解答不敏感。

图2 采用线性插值来逼近σI

2.3 滑面正应力的其他逼近方式

按照式(13)(14)(16)(17)来逼近σ(x),既满足其自然分解式(5),又满足σ(x)的端点条件式(9)。然而历史上构造的σ(x)却违反了这2个条件中的一个，例如，Zheng等[21]建议取fa(x)和fb(x)为以端点xA和xB为节点的Lagrange插值函数，即

按照这样构造的σ(x),不满足端点条件式(9)。下文称这一修正方案为直线修正。

又例如，Bell[20]和朱大勇等[23]建议逼近σ(x)的表达式为

σ(x)=afa(x)+bfb(x) (20)

其中，Bell[20]选取的fa和fb分别为

下文称该方案为Bell-修正；而朱大勇等[23]选取的fa和fb分别为

其中，函数LA和LB的定义分别见式(18)(19),下文称这种修正方案为朱- 修正。式(21)(22)中的σ0(x)见式(6)。

若未考虑拉裂缝，Bell[20]和朱大勇等[23]构造的σ(x)都能满足端点条件式(9),但不满足σ(x)的分解式(5);若有拉裂缝存在，Bell构造的σ(x)也不满足端点条件。

2.4 滑面正应力逼近的统一形式

至此，形式上可将滑面正应力逼近σ(x)写成统一的形式

σ(x)=βσ0(x)+afa(x)+bfb(x) (23)

其中，对于Bell-修正[20]和朱- 修正[23],β=0;对于直线修正[21]及本文建议的折线修正和Fourier修正，β=1。

3、求解安全系数的特征值问题

将式(23)代入式(1),整理得关于Fs的代数方程组

aa1+ba2+a3=Fsab1+Fsbb2+Fsb3(24)

其中，aj和bj(j= 1, 2, 3)皆为R3中的向量，其分量定义为

显然，式(24)中的未知数a、b和Fs为广义特征值问题

Ax=FsBx(26)

的一个特征值，其中，A和B皆为三阶方阵，且

特征值问题式(26)中的Fs有3个根，到底哪一个才是安全系数呢?可分为2种情况。第1种情况是1个实根2个共轭复根，此时就取实根为安全系数；第2种情况是Fs的3个根皆为实数，因为是针对固定滑面，那么依据潘家铮最大值原理[31],就应该取这3个根的最大值作为安全系数。至此，彻底解决了严格极限平衡法解的不收敛问题。

如果采用Matlab编程，可直接调用eig函数来求解式(26)。但eig函数给出的特征向量x的第3分量x3未必等于1,此时a和b的计算公式为

特别地，施工后的瞬态工况常被简化成“不固结、不排水工况”,此时fe=0,Fs只有1个根，且有显式表达式

式中：|B|表示矩阵B的行列式；B′表示将其第3列b3用向量d=(di)来代替所成的矩阵。

4、滑体内推力线的确定

设垂直剖面线HG(x=x0)将整个滑体分为2部分，如图3所示，推力线就是在上滑体对下滑体

ΩL的合力作用点位置的连线。令水平推力th向左，竖向推力tv向下，合力作用点的y坐标为y0。图3还显示了下滑体ΩL的力系图。

图3 下滑体受力示意

利用ΩL在x方向与y方向力平衡条件，可求得水平方向推力th

式中：L为下滑体不含剖面HG且逆时针走向的边界，即L=∂ΩL-HG;wL与qL分别是下滑体ΩL所受重力与地震力，皆可用边界积分表示[21];pn与ps分别为边界L上的面力，在滑面AH上，pn=σ,ps=τ,在地表GA上，

利用以坐标原点为力矩中心的力矩平衡条件，可得合力作用点的y坐标值y0

式中mL为重力wL与地震力qL关于坐标原点的力矩值，也可用边界积分表示[21]。

5、算例

在以下诸例中，将采用整体分析法的5种滑面正应力修正方法与条间力函数为半正弦函数的M-P方法进行分析。由于M-P方法选用商业软件Slide进行计算，因此使用M-P(Slide)表示该计算过程。

5.1 均质边坡算例

图4为一个圆弧滑面的均质滑坡体，该滑坡体抗剪强度参数c=20kPa,φ=20°,γ=16kN/m3。该分析中，在x方向上，滑面被等分成40小段。

图4 例1边坡几何与地层参数(单位：m)

首先探究折线修正函数中的节点xa与xb合理取值范围，令

式中p与q为比例系数。为简单计，令xa与xb关于区间[xA,xB]中心对称，如此便有：q=1-p, 且0≤p<0.5;而p=0就对应于直线修正方案，即采用式(18)和式(19)定义的fa和fb。

表1列出了不同的节点布置方案对安全系数的影响。

图5为不同节点的折线修正产生的安全系数Fs与p的关系曲线，从中可知，不同的节点布置方式所产生的Fs相差极小，且随p的增加(即xa趋向坡顶)逐渐减小并趋于稳定。p=0相当于直线修正，Fs=1.580,如图中粉线所示；p-Fs曲线在p=1/3时，安全系数降低趋势逐渐放缓，最终逐渐稳定在Fourier修正求得的Fs=1.573附近。而且，不同p值对应的滑面正应力分布和推力线差别小到难以区别，所以限于篇幅，没有展示相应的图形。因此，今后对于光滑滑面，就令p=1/3,而将重点放在前述5个不同的应力修正方案的比较方面。

表1 折线修正方案中不同节点布置 所产生的安全系数

图5 折线修正方案中不同节点布置产生的Fs与p关系曲线

图6(a)(b)为整体分析法的5种修正方式及M-P(Slide)在设置拉裂缝前后产生的滑面正应力σ(x)图像，从中可看出，整体分析法中的5种修正方式产生的σ(x)相差很小，但M-P(Slide)给出的σ(x)与整体分析法有一定的差别。

从图6(a)可以看出在设置拉裂缝之前哪个结果更准确：M-P(Slide)的滑面正应力σ(x)在坡顶位置产生了拉应力，而整体分析法的5种修正都没有产生拉应力，这说明整体分析法给出的结果更加可信。但在x=66.8 m处设置拉裂缝后，所有方法均没有产生拉应力，见图6(b)所示。

图6 例1整体分析法和M-P(Slide）产生的滑面正应力σ（x）分布

下面研究修正应力σr(x)在总应力σ(x)中的占比，为此引入函数r(x)

表2、3给出设置拉裂缝前后5种应力修正方案给出的Fs、rM、xM和pM,这里rM为r(x)的最大值，而xM为r(x)的极大点，即rM=r(xM),pM为xM占区间[xA,xB]的百分比，即

从这2个表中再次看到不同应力修正方案产生的安全系数的差别极小。

图7(a)(b)显示的是整体分析法的5种应力修正方案产生的函数r(x)的图像。从中可以看出，直线修正方案产生的修正应力σr(x)在总应力σ(x)中最大占比rM为100%且位于坡顶和坡脚，这是符合预期的。图7(c)(d)为除去直线修正后剩余4种修正方案产生的函数r(x)图像，设置拉裂缝前修正应力σr(x)在总应力σ(x)中最大占比rM=20.15%,设置拉裂缝后r(x)=12.74%。这也从侧面解释了仅适用于圆弧形滑面的瑞典法给出的结果仍具参考价值。

表2 5种无拉裂缝(例1)修正方案产生的 几个关键数据

表3 5种有拉裂缝(例1)修正方案产生的 几个关键数据

图7 例1整体分析法产生的r(x)分布

图8 例1整体分析法和M-P(Slide)产生的滑面推力线与正应力分布线(无拉裂缝)

图9 例1整体分析法和M-P(Slide)产生的滑面推力线与正应力分布线(有拉裂缝)

图8显示了整体分析法的5种应力修正方案及M-P(Slide)产生的滑面正应力σ(x)分布和推力线。由图可见，5种修正方案产生的结果高度重合，推力线在坡顶都产生了震荡，这提醒我们应该在坡顶设置拉裂缝。

现在x=66.8 m处设置拉裂缝。设置拉裂缝后Fs有所降低，但相差不大，为1.570～1.576。图9表明设置拉裂缝后推力线在坡顶不再震荡。但M-P(Slide)给出的推力线在坡顶跑出了坡外，说明半正弦的条间力函数无法产生一个静力许可力系。

5.2 非均质边坡算例

本例来自澳大利亚计算机辅助设计协会(Australian Association for Computer-Aided Design,ACADS)边坡稳定分析的调查程序中的考题1c[32],边坡及滑面的几何参数如图10所示，该滑坡体抗剪强度参数与重度如表4所示，坡内无地下水。该分析中，在x方向上，滑面被等分成100小段。

图10 例2边坡几何与地层参数(单位：m)

图11为整体分析法5种应力修正方案和M-P(Slide)产生的滑面正应力σ(x)的图像，可以看出所有方法计算的滑面正应力σ(x)均未产生拉应力。图12(a)显示的是整体分析法的5种应力修正方案产生的函数r(x)图像，结合表5可知，直线修正方案的修正应力σr(x)在总应力σ(x)中最大占比rM为100%,且位于坡顶和坡脚，这是符合预期的。图12(b)为除去直线修正后剩余4种修正方案产生的函数r(x)图像，修正应力σr(x)在总应力σ(x)中最大占比rM=18.10%(Fourier修正),靠近坡顶。

表4 非均质边坡的物性参数(例2)

图11 例2整体分析法和M-P(Slide)产生的滑面正应力σ(x)分布

图13显示了整体分析法的5种应力修正方案和M-P(Slide)产生的滑面正应力σ(x)分布和推力线。由图可见，5种修正方案产生的结果高度重合，推力线都在坡顶未产生震荡。因此，说明整体分析法的修正方案对非均质滑坡体是适用的。

5.3 带软弱夹层的边坡算例

再考虑含软弱夹层的边坡，如图14所示，它是ACADS发布的另一算例[32]。该例的滑面非光滑，与Zheng等[21]所取的滑面相同，是返回给ACADS结果的平均位置，地层抗剪强度与重度如表6所示。该分析中，在x方向上，滑面被等分成100小段。

因为滑面有2个折点，对于折线修正方案，一个很自然的选择就是将这2个转折点设置为2个节点xa和xb。

表7、8分别给出了整体分析法在有无拉裂缝条件下的几个关键数据，在x=72m处设置拉裂缝后Fs有所降低。M-P(Slide)法的Fs与整体分析法有一定的差别，其中不满足自然分解的朱- 修正和Bell-修正的Fs比较靠近，满足自然分解和端点条件的折线修正和Fourier修正比较接近。

图12 例2整体分析法产生的r(x)分布

表5 5种修正方案产生的几个关键数据(例2)

图15(a)(b)为整体分析法和M-P(Slide)在有无拉裂缝前提下的滑面正应力σ(x)图像。从中可看出，整体分析法中的5种修正方案产生的σ(x)相差很小，但M-P(Slide)给出的σ(x)与整体分析法有一定的差别。例如，在设置拉裂缝之前，M-P(Slide)给出的Fs=1.266与整体分析法的Fs=1.338(直线修正)有一定的差别，从图15(a)可以看出哪个结果更准确：在设置拉裂缝前，M-P(Slide)的滑面正应力σ(x)在靠近坡顶位置产生了拉应力，而整体分析法没有，这说明整体分析法给出的结果更加可信。但在x=72 m处设置拉裂缝后，所有方法均没有产生拉应力，见图15(b)所示。似乎都是可接受的解答，但M-P(Slide)给出的Fs=1.243与朱- 修正的Fs=1.333和Bell-修正的Fs=1.324,仍然有一定的差别，倒是与直线修正的Fs=1.286、折线修正的Fs=1.293和Fourier修正的Fs=1.297更加接近。如何判定这6个解哪个最优，还得参考更苛刻的推力线位置标准。

图13 例2整体分析法和M-P(Slide)产生的滑面推力线与正应力分布线

图14 例3边坡几何与地层参数(单位：m)

图16显示了无拉裂缝条件下的整体分析法和M-P(Slide)产生的滑面正应力σ(x)分布和推力线。由图可见，所有的推力线都在坡顶产生了震荡，这提醒笔者应该在坡顶应设置拉裂缝。在x=72 m处设置拉裂缝后，图17给出整体分析法和M-P(Slide)产生的滑面正应力σ(x)分布和推力线。

表6 带软弱夹层边坡抗剪强度与重度(例3)

表7 5种无拉裂缝(例3)修正方案产生的 几个关键数据

表8 5种有拉裂缝(例3)修正方案产生的 几个关键数据

图15 例3整体分析法和M-P(Slide)产生的滑面正应力σ(x)分布

图17表明设置拉裂缝后整体分析法中的5种修正方案推力线在坡顶不再震荡，但M-P(Slide)给出的推力线在坡顶位置仍存在震荡，说明半正弦的条间力函数无法给出一个静力许可的力系。此外，Spencer法(条间力函数为常函数1)也无法给出静力许可力系[21]。

图16 例3整体分析法和M-P(Slide)产生的滑面推力线与正应力分布线(无拉裂缝)

图17 例3整体分析法和M-P(Slide)产生的滑面推力线与正应力分布线(有拉裂缝)

图17显示出的结果有点令人意外：在整体分析法中除了直线修正外，其余4种均满足端点条件的修正方式产生的结果高度重合，都在软弱夹层下方的一部分推力线位于滑坡体外，反而是不满足应力端点条件的直线修正方案给出了更加合理的解答。目前笔者对此还没有一个令人十分信服的解释，按照逻辑推理，那一定是对修正应力函数σr(x)的假设出了问题。即对于该折线型滑面的边坡，在达到极限平衡状态时，因滑面正应力分布过于复杂，以至于用仅含2个自由度的修正应力无法既满足应力端点条件，又能产生一个静力许可力系。如果追求的是静力许可力系，即“内部推力线+压应力的滑面正应力”,那么即便是不满足应力端点条件的直线修正方案给出的解答也应该被视为合法解答，否则在严格极限平衡法框架内就无解了。

6、结论

基于整体分析法，本文提出的2种滑面正应力修正方案所产生的滑面正应力，既能满足其自然分解，又能满足端点条件。

通过对典型算例的分析，可以得出以下结论：

1) 折线修正方案中2个节点x1与x2的布置对计算结果不敏感，因此建议：对光滑滑面，将x1与x2分别设置在滑面水平投影区间的1/3和2/3处；对折线型滑面，将这2个节点设置在滑面转折处。

2) 在整体分析法的5种应力修正方案中，优选Fourier修正方案，除非它无法产生静力许可力系，即不满足滑面正应力为压应力或推力线位于滑体内部。

3) 尽管直线应力修正方案不满足应力端点条件，但对非光滑滑面，它却更易于产生静力许可力系，原因待查。

4) 整体分析法完全克服了严格条分法的不收敛问题，而且产生静力许可解的能力也远优于严格条分法中的代表M-P法，因此，实践中应优选整体分析法。

但对三维的整体分析法而言，仅用5个待定参数来逼近滑面正应力，使其既满足自然分解又满足边界条件，还需做更深入的研究。

最后，热忱欢迎广大同仁对严格条分法和整体分析法做进一步的对比分析，总结出各自的优劣，并乐意提供本文所建议的整体分析法的Matlab程序。

参考文献:

[1]卢坤林,朱大勇,杨扬.二维与三维边坡稳定性分析结果的比较与分析 [J].岩土力学,2012,33(增刊2):150-154,161.

[2]卢坤林.基于极限平衡理论的土质边坡空间效应研究及应用 [J].岩石力学与工程学报,2015,34(6):1295.

[4]周凤玺,朱顺望,梁玉旺,等.变分极限平衡法对土质边坡稳定性的精确分析 [J].岩土工程学报,2023,45(7):1341-1346.

[5]王红雨,闫超,曹静.“坝前淤积面加坝” 边坡稳定性分析上限解 [J].岩石力学与工程学报,2023,42(增刊1):3578-3588.

[6]袁家好,鲁祖德,陈从新,等.含双软弱夹层岩质边坡稳定性上限解 [J].岩石力学与工程学报,2024,43(2):412-423.

[8]郑宏,张谭,王秋生.弹塑性有限元分析中几个难点问题的一揽子方案 [J].岩土力学,2021,42(2):301-314.

[9]郑宏,李春光,李焯芬,等.求解安全系数的有限元法 [J].岩土工程学报,2002,24(5):626-628.

[10]郑宏,刘德富.弹塑性矩阵Dep的特性和有限元边坡稳定性分析中的极限状态标准 [J].岩石力学与工程学报,2005,24(7):1099-1105.

[11]林姗,郭昱葵,孙冠华,等.边坡稳定性分析的虚单元强度折减法 [J].岩石力学与工程学报,2019,38(增刊2):3429-3438.

[14]沈华章,郭明伟,王水林,等.基于离散元的边坡矢量和稳定分析方法研究 [J].岩土力学,2016,37(2):592-600.

[23]朱大勇,李焯芬,姜弘道,等.基于滑面正应力修正的边坡安全系数解答[J].岩石力学与工程学报,2004,23(16):2788-2791.

[30]刘华丽,朱大勇,钱七虎,等.滑面正应力分布对边坡安全系数的影响 [J].岩石力学与工程学报,2006,25(7):1323-1330.

[31]潘家铮.建筑物的抗滑稳定和滑坡分析 [M].北京:水利出版社,1980:65-89.

[32]陈祖煜.土质边坡稳定分析:原理·方法·程序 [M].北京:中国水利水电出版社,2003:45-96.

基金资助:国家自然科学基金资助项目(52079002,52130905);

文章来源:郑宏,曹西太郎,张志红.边坡稳定性整体分析法中滑面正应力分布研究[J].北京工业大学学报,2024,50(11):1312-1325.