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基于遗传算法的线性二次型调节器抑制桥式起重机货物摆动

2023-09-18 72 上传者：管理员

摘要：为了解决桥式起重机小车运行机构的加减速运动引起货物长时间摆动问题，文中设计基于遗传算法(Genetic Algorithm,GA)的线性二次型调节器控制策略控制小车运行机构的运动。根据Lagrange方程建立桥式起重机小车运行机构运动和货物摆动的动力学模型，分析模型的稳定性、可控性和可观性；根据最优控制理论设计线性二次型调节器，基于遗传算法优化线性二次型调节器的加权矩阵Q和R，设计最优线性二次型调节器；应用Matlab软件搭建在线性二次型调节器和最优线性二次型调节器控制下的桥式起重机小车运行机构动力学Simulink仿真系统。仿真结果表明：与线性二次型调节器相比，最优线性二次型调节器能够将小车运行机构的定位时间降低7.4 s，将货物最大残留摆动幅值降低49.3%。

关键词：
二次型调节
机械工业
桥式起重机
线性
调节器
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引言

起重机是可以实现重物起升、运送和装卸的特种机械设备，广泛应用于工厂、建筑工地、垃圾处理场等场所。然而桥式起重机系统存在挠性机械环节，工作过程中大小车运行机构频繁地启、制动会引起货物的摆动，货物长时间的摆动不仅会严重影响工作效率，而且会危及工人的安全[1]。

国内外研究人员为抑制桥式起重机货物摆动做了大量研究。Maghsoudi M J等[2]提出了改进输入整形方案并设计了ZV和DZV整形器对非线性桥式起重机模型进行摆动控制。与基于线性二阶模型设计的输入整形方案相比，该方法可使桥式起重机有效载荷摆动大幅减小；Giacomelli M等[3]针对双摆式高架起重机的开环控制提出了一种输入输出反演技术，该方法是通过数学推导，获得参数轨迹，以确保减少货物的残余摆动，通过仿真验证了该方法相较输入整形技术有很强的鲁棒性；李军等[4]根据Lagrange方程建立桥式起重机的三维动力学模型，设计模糊线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator,LQR）控制吊重摆动，仿真结果表明使用模糊LQR控制器分别控制解耦后的大小车运动或者大小车联合运动都能达到防摆定位的目的；张国振[5]采用Lagrange方程建立桥式起重机吊重系统的动力学方程组，基于最优控制理论设计LQR控制器。仿真结果表明，LQR控制器能很好地跟踪小车位移的变化，对摆角也有一定的控制效果，但该控制器中的加权矩阵Q和R的选择具有任意性，需要进步一步优化。

为了实现桥式起重机小车运行机构的定位和抑制货物摆动的角度，基于最优控制理论设计了LQR控制器。然而，在LQR控制器的设计中，加权矩阵QR的选取具有任意性。针对此问题，提出使用遗传算法优化LQR控制器的加权矩阵QR，并设计了最优LQR控制器。在Matlab中搭建桥式起重机的Simulink仿真模型，对LQR控制器和最优LQR控制器的控制效果进行仿真分析。仿真结果表明：与LQR控制器相比，最优LQR控制器能够缩短小车运行机构的定位时间，大幅降低货物摆动的角度。

1、桥式起重机动力学模型

1.1非线性模型

在实际工作中，桥式起重机的大车小车运行机构往往同时运动，使货物在空中做空间摆运动。由于大车运行机构和小车运行机构的运动方向相互垂直，故其动力学模型可以在这2个方向上实现解耦[6]。解耦后，货物的空间摆运动将转化为平面摆运动。故对桥式起重机系统的研究可以简化为对小车运行机构-货物系统的研究。

小车运行机构-货物系统示意图如图1所示。小车运行机构沿导轨做变幅运动，同时起升机构对货物进行起升。小车运行机构的初始位置为坐标原点，小车运行机构的运动轨迹延长线为x轴，y轴位于货物摆动的平面上，且与x轴垂直。货物在坐标系x Oy中的位置用广义坐标(x,l,θ)表示，x为小车的位移，l为起升钢丝绳的长度，θ为货物摆动角度，M为小车运行机构的质量，m为货物的质量，FX为小车运行机构受到的驱动力，F1为起升机构受到的驱动力。

图1小车运行机构-货物系统示意图

桥式起重机是一个复杂的系统，具有强耦合、不确定、非线性的特点，给桥式起重机的建模增加了难度。为了简化桥式起重机系统，给出如下假设：1）忽略钢丝绳的质量，钢丝绳与小车为点连接；2）假设货物为只有质量没有体积的质点；3）忽略空气阻力和风的干扰，不考虑系统的弹性形变。

根据拉格朗日方程，建立小车运行机构-货物系统的非线性动力学模型

式中：bx为小车运行机构的阻尼系数，b1为起升机构运行时的阻尼系数，g为重力加速度。

该系统是一个非线性时变的系统，其非线性动力学模型由小车运行机构、起升机构动力学方程和货物摆动运动学方程组成。为了对系统的动力学特性进行分析，实现对小车运行机构的定位和货物的消摆控制，需要对非线性动力学模型进行线性化处理。

1.2线性化模型

在平衡位置θ=0°附近，有sinθ=θ、cosθ=1。考虑到桥式起重机在实际工作时，通常先将货物起升到一定的高度，再通过大小车运行机构的运动将货物运送到指定的位置，所以研究小车运行机构的定位和货物摆动问题时，可假设起升机构不进行起升运动。故小车运行机构-货物系统的线性化模型为

为研究系统的动力学特性，选取x、、θ、作为状态变量，将线性化模型转化为状态空间方程，形式为

式中：z为状态向量，y为输出向量，u为输入向量，A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵。

根据小车运行机构-货物系统的线性化模型，可知

1.3动力学分析

桥式起重机参数为：M=500 kg,m=1000 kg,l=5 m,bx=0.5,g=9.8 m/s2。经计算求得系统矩阵A和输入矩阵B分别为

使用Matlab软件可求得系统矩阵A的特征根、控制矩阵和可观测矩阵的秩分别为

系统矩阵A的特征根均有不大于零的实部，故系统是渐近稳定的。同时，系统的控制矩阵和可观测矩阵的秩与其本身的维数相同，故系统是完全可控、完全可观测的。

2、控制器设计

2.1 LQR控制器

LQR控制器是一种现代控制方法，其控制对象是以状态空间方程给出的线性系统，其目标函数是以控制对象的状态和控制输入的二次型函数。LQR控制器的设计就是求得反馈矩阵K使目标函数J取最小值，而K又是由加权矩阵QR唯一决定的，故加权矩阵QR的选择尤为重要。

要实现小车运行机构快速到达目标位置的同时货物摆动角度最小，选取小车运行机构的位移和货物摆动角度为优化对象，得到一个理想的控制量，使得性能指标J达到最小值。已知状态量和控制量的二次型性能指标函数为

式中：加权矩阵Q为4×4维的半正定对称阵，加权矩阵R为1维的正定对称阵。

根据极小值原理，最优控制律为

式中：K=R-1BTP为反馈矩阵，P为Riccati代数方程的正定对称解。

Riccati代数方程为

最终，控制器的设计问题可归结为求解反馈矩阵K的数学问题。

根据实际工程的需要，通常将R矩阵选为单位阵，只调节Q矩阵值各元素的参数来获得不同的控制效果。因此，本文将R阵设为单位阵，将Q阵设为主对角线元素为2 500,0,2 500,0的对角阵，即Q=diag(2 500,0,2 500,0)。通过求解Raccati方程，可求得控制矩阵K为

从LQR的控制原理中看，所设计控制器的控制效果完全取决于加权矩阵Q和R的选取，然而这2个矩阵的选取完全取决于设计者的经验。若加权矩阵Q和R选取不当，将不会求得最优的反馈矩阵K，更不能保证系统性能指标达到最优。

2.2基于GA的LQR控制器设计

国外研究人员使用遗传算法优化LQR控制器的参数，并证明了该方法的可行性。Nagarkar M P等[7]使用遗传算法搜索LQR控制器的最优权重矩阵参数，将优化后的LQR控制器应用在麦弗逊式悬挂系统，通过仿真验证了优化后的LQR控制器能显著提高悬挂系统的性能表现；Bhushan R等[8]将遗传算法优化后的LQR控制器应用在倒立摆系统，通过仿真验证了优化后的LQR控制器相对于传统LQR控制器有更好的性能表现。

本文将R矩阵设为单位阵，Q矩阵设为对角阵，使用遗传算法仅对Q矩阵进行优化，即

遗传算法的优化流程图如图2所示，具体操作步骤为：

1）产生初始种群；

2）将种群中的个体赋值给加权矩阵Q中的对角线元素q11、q22、q33、q44;

3）计算反馈矩阵K;

4）运行桥式起重机模型，并计算个体的适应度函数值；

5）判断是否满足遗传算法的终止条件。若满足，则退出遗传算法，并保存最优个体。若不满足，则执行步骤6);

6）对种群进行选择、交叉和变异操作，产生新的种群，并重新从步骤2）开始运行遗传算法。

遗传算法的参数设置如表1所示。

图2遗传算法优化流程图

表1遗传算法参数设置

遗传算法优化过程中，个体适应度和当前最优个体如图3所示。可以看出，随着种群的不断进化，最优个体的适应度逐渐减小，最终收敛到0.438 506。求得的最优个体为2 498.9,5 000.8,1 044.2,2 793.3，代入加权矩阵Q中，可求得最优反馈矩阵K为

图3个体适应度和当前最优个体

3、仿真结果和分析

选取小车运行机构-货物系统的动力学参数为：M=500 kg,m=1000 kg,l=5 m,bx=0.5,g=9.8 m/s2。根据状态空间方程，在Matlab\Simulink中建立未加控制器时的小车运行机构-货物系统模型如图4所示。

图4小车运行机构-货物系统模型

设置仿真时间为10 s，给系统施加阶跃信号，得到小车运行机构-货物系统响应曲线如图5所示。由小车运行机构-货物系统响应曲线可知，在阶跃输入下，小车运行机构做变加速直线运动，其位移处于不稳定状态。小车运行机构运动的同时引起了货物的摆动，货物摆动的最大幅度达到10°。由于货物和小车运行机构之间相互耦合，货物的摆动导致了小车运行机构的速度曲线呈现小幅波动上升的趋势。

图5小车运行机构-货物系统阶跃响应曲线

将小车运行机构-货物系统模型封装为子系统，添加LQR控制器并建立小车运行机构-货物防摆控制系统模型，如图6所示。

根据工程经验，选择Q=diag(2 500,0,2 500,0),R=1，计算获得反馈矩阵K=[50 384.84 148.15 1213.11]。设置仿真时间为50 s，给系统施加阶跃信号，运行系统模型，得到小车运行机构-货物防摆控制系统响应曲线如图7所示。

图6小车运行机构-货物防摆控制系统模型

图7小车运行机构-货物防摆控制系统阶跃响应曲线

由小车运行机构-货物防摆控制系统阶跃响应曲线可知，加入LQR控制器后，小车运行机构经过24.1s到达了目标位置附近，这时小车运行机构的速度并不为0，而是在一定范围内来回波动。小车运行机构的运动引起了货物的摆动，货物在1.36 s时达到最大摆角-8.9°。小车运行机构在运动过程中最大位移达到11.81 m，其位移曲线具有18.1%的超调量，这给系统带来了一定的冲击。小车运行机构到达目标位置时，货物摆角为-4°，之后货物摆角曲线呈现衰减振荡趋势，但衰减幅度很小。由此可见，加入LQR控制器后，系统性能有所改善，但是小车运行机构位移和货物摆角仍不能完全稳定下来。这是由于设计LQR控制器时，其加权矩阵Q的选取具有任意性，不能使LQR控制器的性能达到最优。

下面选用经遗传算法优化后的加权矩阵Q设计LQR控制器，使用该矩阵计算出的最优反馈矩阵为K=[49.98 391.72 110.86 1 053.8]。设置仿真时间50 s，运行系统模型，得到优化后的小车运行机构-货物防摆控制系统阶跃响应曲线如图8所示。

图8优化后的小车运行机构-货物防摆控制系统阶跃响应曲线

在阶跃输入下，小车运行机构的最大位移达到10.42 m，其位移曲线的超调量为4.2%。当误差带取5%时，小车运行机构在16.57 s时到达目标位置附近。货物摆动角度在1.141 s时达到最大值-6.87°。小车运行机构到达目标位置时，货物摆角为-0.67°，此后货物在0°附近小幅衰减振荡且最大角度不超过±2.09°。经遗传算法优化后，LQR控制器的控制效果有了非常显著的改善，基本可以实现小车运行机构的定位和货物的防摆控制。

综上所述，LQR控制器可以较好地提高系统的稳定性，使小车运行机构处于稳定状态。但是人为选取的加权矩阵Q，并不能保证LQR控制器的控制效果最优。比较而言，基于遗传算法的最优LQR控制器可以使小车运行机构位移曲线的超调量和调节时间分别降低76.8%和30.7%，货物最大摆动角度降低49.3%。由此可见，基于遗传算法的最优LQR控制器能够使桥式起重机系统的稳定性和快速性得到提高。

4、总结

针对LQR控制器的加权矩阵QR选取具有任意性的问题，设计基于遗传算法的最优LQR控制器。应用Matlab软件搭建小车运行机构货物系统的Simulink模型，并对LQR控制器和最优LQR控制器的控制效果进行仿真分析。结果表明：与LQR控制器相比，基于遗传算法的最优LQR控制器能够更好地实现货物的防摆定位，有更好的快速性和稳定性，解决了依靠经验优化方法产生的随机性和耗时性等问题。

参考文献:

[1]董明晓,脱建智,任意翔,等.最优输入整形抑制变参数桥式起重机载荷摆动[J].振动与冲击,2009,28(10):207-209,235,236.

[2]李军,李学Y.桥式起重机吊重Fuzzy-LQR防摆控制器的设计[J].机械设计与制造,2018(8);233-236.

[3]张国振.基于伺服补偿和LQR的桥式起重机防摆控制研究[D].沈阳:东北大学,2017.

[4]谭鹏.桥式起重机智能防摆控制技术研究[D].南京:南京航空航天大学,2016.

文章来源:宫厚华,和大龙,和辉等.基于遗传算法的线性二次型调节器抑制桥式起重机货物摆动[J].起重运输机械,2023(17):66-72.