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举例说明在物理学中的定积分的运用

2020-05-08 805 上传者：管理员

摘要：在高等数学当中定积分是非常重要的一部分，在物理学中定积分的应用也较为普遍，定积分的特理应用难度比较大，本文基于微元法的思想，对于变力做功、液体压力等物理问题进行了解答。

关键词：
定积分
应用
微元法
物理
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定积分可以应用在几何学、经济学、物理学当中，定积分在物理学方面的应用关键在于写出所求量的微元，我们应注意如何写出所求量的微元———微功、微压力等，再利用微元法思想求变力做功、液体压力等物理问题。

1、功的计算

由物理学可知，在一个常力F的作用下，物体沿力的方向作直线运动，当物体移动一段距离S时，F所做的功为W=F·S但在实际问题中，经常需要计算变力所做的功，可以利用定积分的微元法去解决。

1.1变力做功

例1已知弹簧每拉长0.02m要用9.8N的力，求把弹簧拉长0.1m所做的功？

解：根据胡克定律可知，力与弹簧的伸长量成正比，即F=k·s，其中k为比例系数，具体如图1所示。

根据题意可知，当弹簧长度x=0.02m时，所做的功为F=9.8N，因此比例系数k=4.9×102，故得到变力函数F=4.9×102x。

取积分变量为x，积分区间为[0，0.1]，在区间[0，0.1]上，任取一子区间[x，x+dx]，与之对应的变力F所做的功近似等于把变力F看做常力所做的功，功元素为dW=4.9×102xdx，以4.9×102xdx为被积表达式，在区间[0，0.1]上做定积分，得所求功为

1.2抽水做功

例2建一座大桥的桥墩时先要下围囵，并且抽尽其中的水以便施工，已知围囵的直径为20米，水深27米，围囵高出水面3米（如图2），求抽尽水所做的功。

解：取积分变量为x，积分区间为[3，30]，在区间[3，30]上，任取一子

区间[x，x+dx]，与它对应的一薄层（圆柱）水的重量为9.8ρ（π102dx）牛顿，其中水的密度ρ=103千克/立方米。因这一薄层水抽出围囵所做的功近似于克服这一薄层水的重量所做的功，所以功元素为dW=9.8×105πxdx；以9.8×105πxdx为被积表达式，在区间[3，30]上做定积分，求得抽尽水所做的功为

2、液体的压力

由物理学可知，一水平放置在液体中的薄片，若其面积为A，距离液体表面的深度为h，则该薄片一侧所受压力P等于以A为底，h为高的液体柱的重量，即P=γ·A·h，其中γ为液体的比重，单位为牛顿/立方米。

但在实际问题中，往往会需要计算与液面垂直放置的薄片（如水渠的闸门）一侧所受的压力。由于薄片上每个位置距离液体表面的深度不一样，因此不能直接使用上述公式。我们用两个例子来说明这个薄片所受液体压力的微元法求法。

例3设有一竖直的闸门，形状是等腰梯形，大小如图3所示，当水面齐闸门顶时，求闸门所受的水压力。

解：取积分变量为x，积分区间为[0，6]，在图3中AB的方程为，在区间[0，6]上任取一子区间[x，x+dx]，与它相应的小薄片的面积近似于宽为dx，长为2y=2（-x6+3）的小矩形面积，这个小矩形上受到的压力近似于把这个小矩形放在平行于液体表面且距离液体表面深度为的位置上一侧所受的压力，则有以9.8×103×x×2（-x6+3）dx为被积表达式，在区间[0，6]上做定积分，得出所受水压力为