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颗粒转动效应在一维颗粒链中的研究

2020-05-23 156 上传者：管理员

摘要：利用Hertz模型研究了颗粒系统中颗粒的运动规律,并采用DEM模拟方法对一维颗粒链中颗粒的转动随时间和空间的变化规律进行了数值模拟研究。研究结果表明,颗粒的转动角速度与颗粒系统中颗粒的运动粘滞系数和颗粒的预压缩量等参量有关,颗粒的转动按照指数规律衰减;文中定义了颗粒转动的空间特征长度,研究发现颗粒转动的空间特征长度依赖于颗粒的初始转动角速度、颗粒的运动粘滞系数、颗粒之间的摩擦系数和初始压缩量等。此外,文中还给出了颗粒转动的空间特征长度和这些参量的函数关系。

关键词：
DEM模拟
Hertz势
特征长度
非线性
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颗粒物质是由大量离散的固体颗粒组成的体系,广泛存在于自然界和人类生产生活中,例如沙子、谷物、土壤和堆石体等。很多自然现象如山体滑坡、雪崩、泥石流等都是由颗粒物质组成。颗粒物质是地球上存在最多、与人们最密不可分的物质类型之一。颗粒物质由于其丰富的动力学行为和有趣的特性已经成为物理学、力学和工程技术领域的研究热点。1983年Nesterenko[1]对颗粒链中演化的孤立波现象进行了研究。随后,大量的科研工作者研究了颗粒系统中的孤立波[2,3,4,5,6,7]、行波[8]、共振、反共振[9]、频带[10,11]、离散呼吸子[12,15]、能量转移[16]以及其它非线性动力学现象[17,18]。通常情况下,颗粒系统以两种形式存在,一种存在预压缩,另一种不存在预压缩,二者的性质完全不同。颗粒系统预压缩量的大小决定了颗粒系统是否具有固态,液态和气态的性质。

近年来,大量研究工作者特别关注颗粒材料中波的传播。研究发现,不同的颗粒排列将导致颗粒系统中波的性质完全不同[19,20]。人们还通过色散关系,频率滤波等现象进一步研究了颗粒材料中波的传播。为了研究方便,在颗粒物质研究中通常引入力链的概念,在此基础上,2015年Pasternak[21]等提出了颗粒介质中矩链的概念,即颗粒与颗粒相互旋转的现象。Pasternak等[22]对矩链做了详细的讨论,并使用Cosserat连续谱理论对矩链和颗粒与颗粒之间的相互旋转现象进行了深入研究。基于前人的研究,文中探索了一维颗粒链中颗粒转动的物理机制和颗粒转动的传播特性。

1、模型

利用离散单元法(Discreteelementmethod,DEM)对颗粒系统进行一维数值模拟。DEM模拟的基本原理是将每个颗粒视为一个直径为d的球体,该球体与其他颗粒和边界壁都有相互作用。在文中,这些作用力由Hertz势[13]给出,使用DEM代码[14]进行数值模拟。假设半径分别为Ri和Rj的两个颗粒相互接触,分别定义为颗粒i和颗粒j,它们分别位于点ri和rj,其速度分别为vi和vj,角速度分别为ωi和ωj,它们之间的法向力和切向力由下式给出:

公式（1）（2）

其中,法向力Fijn有两项,分别为弹性力和弹性阻尼力,其中kn和γn为法向接触的弹性系数和粘滞系数;δijn为法向重叠量;Vijt为法向相对速度;切向力Fijt也有两项,分别为剪切力和剪切阻尼力,其中kt和γt为切向接触的弹性系数和粘滞系数;δijt为法向重叠量;Vijt为切向相对速度。满足库伦屈服准则:,其中μ为颗粒间的摩擦系数,系数kn,γn,kt和γt可以由颗粒材料的杨氏模量E,泊松比v,恢复系数e给出:

公式（3）（4）（5）（6）

第i个颗粒的运动方程可由牛顿运动定律给出

公式（7）（8）

其中Ii为第i个颗粒的惯性矩。如果已知施加在颗粒上的力与力矩,通过将接触壁视为无限长半径的球体,可以给出粒子与边界壁之间的相互作用。然后进行数值积分,计算每个颗粒的速度和位置对时间的变化规律。可以求得颗粒系统中所有颗粒的运动规律。

现在考虑一维颗粒链,即1000个相同颗粒在x方向排列,颗粒链的右端为固定边界。初始条件为:每个颗粒处于其平衡位置,速度为零。左端的边界条件为:第1个颗粒围绕其质心以恒定角速度ω转动,如图1所示。假设颗粒是球形的,颗粒球之间的相互作用由赫兹势给定,选择的颗粒材料为钢,其杨氏模量E=2×1011Pa,泊松比v=0.3,密度ρ=7.8×kg·m-3,半径R=0.05m,初始压缩量δ0=0.0005m,β=0。15,使用国际单位制。

图1一维颗粒链模型

2、数值模拟结果与分析

假设第一个颗粒以恒定角速度ω0=0.628rad·s-1转动,观察其余颗粒的转动角速度随空间坐标s和时间t的变化,结果表明,颗粒转动以一定的速度在x方向传播,随着时间的增大,颗粒通过与相邻颗粒的相互作用获得转动能量,并且将一部分能量传递给下一个颗粒球。颗粒球转动的角速度逐渐减小。为了更加清晰的看出颗粒链的动力学特性,图2给出了前5个颗粒球转动角速度随时间的变化规律。可以看出,当第1个颗粒球以恒定角速度转动时,随着时间的增加,第2个颗粒球与之转动方向相反,并且角速度大小变化比较复杂,但最终趋于一个稳定值。把颗粒链此时的状态称为稳定状态,其余颗粒球的运动情况与第2个颗粒球相似。

图2前5个颗粒的角速度ω随时间t的变化

为了进一步研究一维颗粒链中转动的传播特性,图3给出了稳定时颗粒球的角速度随空间位置的变化规律。可以看出,当颗粒链处于稳定状态时,随着空间坐标x的增加,颗粒球的角速度大小不断减小,其变化按照指数规律衰减,因此用ω=ω0e-bx对数值结果进行拟合,二者符合得较好。

图3颗粒角速度ω随位置x的变化规律

为了理解在颗粒链中的转动传播特性,图4给出了相邻小球角速度之差的拟合曲线,图中横坐标为Xj=xj+1-xj,纵坐标为Δωj=ωj+1-ωj,定义特征长度Δx,表示当时颗粒所处的位置或者坐标,可以通过特征长度的大小来表示颗粒链中颗粒转动衰减的快慢,特征长度越大,颗粒转动衰减的越慢。接下来研究颗粒系统参量对于特征长度Δx的影响。

图4特征长度Δx的定义

图5给出了特征长度Δx随颗粒系统参量变化的规律。从图5a中可以看出,无论第1个颗粒球的角速度如何变化,Δx变化很小,接近于一个常数。也就是说,特征长度Δx与第1个颗粒球的角速度ω0几乎无关;图5b表明,随粘滞系数β的增加,特征长度Δx减小;从图5c中可以看出,随着颗粒之间摩擦系数的增大,特征长度几乎不变;图5d表明特征长度随颗粒初始压缩量的增加而增大。由于颗粒材料内部的复杂性,颗粒链中转动的衰减主要是由于颗粒间的粘性阻尼导致的。随着粘滞系数的增大,阻尼力变大,因而颗粒转动在颗粒链中衰减变快,特征长度变小。

3、结束语

文中研究了一维颗粒链中颗粒转动的规律,其中考虑了与颗粒之间相对速度有关的粘性阻尼力。通过建立颗粒系统的Hertz模型,利用颗粒的运动方程,采用DEM模拟方法对一维颗粒链中颗粒转动规律进行了数值模拟研究。

此外,为了研究颗粒系统参量对转动规律的影响,定义了特征长度Δx,并且数值研究了颗粒材料的粘滞系数β、初始压缩量δ0、摩擦系数μ、第1个颗粒球的角速度ω对Δx的影响。研究结果表明,无论初始角速度如何变化,特征长度都几乎不变。随着颗粒粘滞系数β的增大,特征长度Δx减小,此外,Δx与初始压缩量δ0有关,对于颗粒链,随着初始压缩量δ0的增加,特征长度将增加。

图5特征长度Δx随颗粒系统参数的变化规律

段文山,彭晶.一维颗粒链中颗粒转动效应的研究[J].西北师范大学学报(自然科学版),2020,56(03):43-47.