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基于纯弯曲作用下梁的脆性断裂的研究

2020-02-06 396 上传者：管理员

摘要：脆性梁的断裂过程直接影响弯曲波的产生和传播，并影响其在纯弯曲断裂时所产生的碎片的平均尺度，为了再现断裂中的裂纹的扩展过程,采用内聚力断裂模型，针对脆性梁的弯曲断裂过程进行了有限元数值模拟，对脆性梁断裂后断裂面弯矩与裂纹张开角之间的规律进行了分析。分析结果表明：(1)断裂过程中弯矩做功与断裂面的表面能一致；(2) 纯弯矩作用下,因为裂纹前端压应力区域的存在，断裂不再是纯弯曲状态，致使断裂末期应力状态比较复杂。(3) 基于一个广泛的材料参数和加载应变率条件下，断裂面弯矩与裂纹张开角之间所出现的单调衰减规律极为相似。

关键词：
内聚力断裂
弯曲断裂
弯矩
脆性梁
裂纹张开角
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Feynman等[1]指出意大利面条在纯弯矩作用下通常会断裂成多个碎片,这种现象的产生主要是由脆性梁的弯曲断裂和断裂后产生的弯曲波传播引起。关于弯曲断裂,早期Bodner[2]对长玻璃梁进行了弯曲实验,观测预置裂纹的玻璃梁的弯曲断裂过程,发现纯弯曲作用下,玻璃梁弯曲断裂发展呈三段式变化规律。Freund等[3]提出脆性材料在纯弯曲的断裂响应中,裂纹长度和断裂面弯矩的变化与时间相关,可通过理论计算来解释裂纹在传播过程中的变化。关于弯曲波的传播,Gladden等[4]指出脆性材料在动态屈曲下的碎裂过程中会产生与纵波波速等参数有关的波长为λ的波,引发断裂。Audoly等[5]分析了意大利面条的碎裂现象是由弯曲波导致的二次断裂。在纯弯矩作用下意大利面条在其最大曲率点发生瞬时断裂,随后断裂处产生的弯曲波在意大利面条中传播,他们假定意大利面条的断裂为瞬时断裂,通过自相似解描述了弯曲波在面条中的传播规律。但是由于断裂过程与时间无关,在求解过程中没有特征时间来控制碎片的特征长度,同时也没有考虑断裂时的加载速率对弯曲波传播的影响。

相对于弯曲碎裂问题,对固体在高应变率下的拉伸碎裂的研究更加系统完善。20世纪40年代,Mott[6-7]提出了在一维均匀拉伸载荷作用下,断裂产生的Mott卸载波传播距离控制碎片平均尺寸的思想。因Mott假定断裂过程是一个瞬时断裂,碎裂过程中产生的碎片尺度只能依据某个统计函数来确定。而文献[8-9]在Mott理论基础上引入一个与断裂能量相关的线性内聚断裂模型来描述固体材料碎裂过程中的裂纹扩展,从而推导出一个可预测碎片平均尺寸的公式。近期的研究表明[10-12],考虑线性内聚力断裂的Mott卸载波控制碎片平均尺寸的理论能很好地描述固体拉伸碎裂过程。

弯曲断裂显然不可能是一个瞬时断裂过程,与时间无关的断裂模型无法准确求解弯曲波的传播距离及控制的碎片尺度,建立一个合适的内聚力断裂模型有助于分析弯曲波传播规律及弯曲碎裂过程中产生的碎片尺寸。在前期研究中,我们建立了一个基于欧拉伯努利梁动力学理论的模型,在这个模型中,假定梁在断裂点所承受的残余弯矩(内聚力弯矩)是转角的线性递减函数,我们给出了弯曲波问题的解析解,并分析了影响断裂特征时间的参数组合。然而,脆性梁的具体断裂过程涉及一个裂纹在梁的横向扩张和传播的动态过程,在裂纹传播时,部分断裂的梁的残余抗弯强度(弯矩)是多少?能否用一个唯象的内聚力断裂模型描述脆性断裂?需要进行细致分析。

本文以四点弯曲数值实验为分析对象,研究脆性材料在弯曲作用下的断裂过程,重点分析断裂面弯矩与裂纹张开角之间的关系,探究弯曲碎裂过程中合理的内聚力断裂模型。

1、有限元模型

1.1 几何模型

建立四点四分之一的二维弯曲模型(图1)分析脆性材料的弯曲断裂过程。弯曲梁长度为20mm,高度为1mm,在上表面相距9mm的两对称点同时施加向下的恒定速度载荷。下表面相距18mm的两对称点为固定支撑端,受力点距同侧固定点的横向距离为两固定支撑点距离的四分之一。

图1脆性梁4点弯加载示意图(单位mm)

为了更精确地描述脆性梁的弯曲断裂特性,对弯曲梁中间位置进行网格加密,网格加密区的平均网格尺寸为2μm,有限元模型如图2所示,并在网格加密区域插入厚度为零的内聚力单元层,以模拟内聚力断裂过程及裂纹传播。首次断裂只会发生在最大弯曲处的内聚力层。为简化计算模型,减少计算量,脆性梁的其他材料参数采用文献[13]中典型脆性材料工程陶瓷的材料参数。加载点的2个刚性块对弯曲梁施加Y轴负方向的速度载荷,固定点的2个刚性块设置固定约束,其中刚性块与弯曲梁之间采用面面接触,采用罚函数接触算法减少沙漏效应。

图2有限元模型

1.2 内聚力断裂模型

Alfano[14]对多种内聚力模型进行了对比计算,得出双线性模型能够同时兼顾计算精度和计算效率。因此,本文选用该模型来控制内聚力层的破坏,如图3所示,可分为材料的线弹性阶段和损伤后的应力线性软化阶段,其中,K表示内聚力单元的刚度;σmax表示开裂时最大应力值;Gc表示断裂能,材料从完好到断裂所吸收的能量,即应力位移曲线的面积积分。内聚力单元的损伤演化关系如图4所示。在材料发生断裂过程中,断裂点的单元损伤应力y与损伤因子d、无损伤材料等效应力σ

图3内聚力单元的双线性本构模型;图4内聚力单元的损伤示意图

内聚力单元的参数也设置为典型的工程陶瓷[13]参数:

求得完全断裂时裂纹张开位移δc=2Gc/σmax=1.33μm。

内聚力单元的网格尺寸是非物理长度尺度,以提供裂缝尖端附近的应力的精确计算,内聚区长度lcz是内聚力本构关系起作用的长度量度[15],裂纹尖端内聚力区的大小lcz[16]为:

结合工程陶瓷的材料参数可求得lcz=240μm,Moës等[17]指出,若内聚力区域中内聚力单元的个数太少,则不能很好地展示裂纹尖端的应力分布,建议使用10个及以上的单元个数。本文内聚力单元采用二维4节点cohesive单元(COH2D4),内聚力单元大小设置为∆x=2μm,计算结果稳定收敛。

2、有限元模拟及结果分析

图5给出了加载速率为100mms-1时,脆性梁在纯弯曲作用下的断裂过程及裂纹传播情况。将临界断裂时刻定义为裂纹传播零时刻,即t=0μs时,裂纹在下表面最大弯曲处开始产生。在初始时刻,梁以h=0.5mm处的横截面为中性面,中性面以上部位受压,中性面以下部位受拉,且离中性面距离越远,压/拉应力越大;随着裂纹朝压应力区传播,中性面也从原来位置移动到裂尖和上端面中间位置,断裂处产生的卸载波也将裂纹两侧应力卸载为零;在裂纹发展过程中,裂纹前端始终存在压应力区域,所以理论上在纯弯曲载荷作用下无法实现完全断裂,断裂末期处于复杂应力状态。

图5纯弯曲载荷作用下裂纹的传播

以断裂面节点为自由体切面,通过Free Body Cut的方式输出断裂面的弯矩值M,同时输出断裂面单边的节点位移,利用自编的Matlab程序得到断裂面的裂纹张开角θ,裂纹张开如图6所示。

图6裂纹张开角示意图

脆性梁弯曲断裂过程中断裂面弯矩和裂纹张开角的时程曲线如图7所示。断裂面弯矩从裂纹产生时开始降低,断裂初期弯矩快速衰减,随后较长的一段时间衰减较缓慢,在断裂后期又急速下降,断裂过程呈典型的三段式变化,这与文献[2]中测量的结果一致。断裂末期,断裂面处于一个复杂的应力状态,断裂面弯矩会持续衰减至负值,而后又上升。在进行弯曲波传播理论分析时,由于断裂末期弯矩值较小,可以不考虑断裂末期的影响,从而简化理论模型。断裂面弯矩—断裂角关系如图8所示,裂纹从一点起裂至形成断裂面的过程中,断裂面弯矩做功为弯矩转角的积分面积,即0.197mJ。数值计算中断裂面设定的断裂能为0.2Nmm-1,二维模型厚度默认为1,弯曲梁长度为1mm,故此断裂面的表面能为0.2mJ,与断裂面弯矩做功基本一致。

图7弯矩及裂纹张开角时程曲线;图8断裂面弯矩—裂纹张开角曲线

3、内聚力断裂的影响因素

以工程陶瓷为标准参数:Gc=0.2Nmm-1,σmax=300MPa,K=4.5×108MPamm-1,加载速率为100mms-1,研究内聚力断裂模型中各参数对断裂面弯矩—裂纹张开角曲线的影响。

3.1 加载速率对断裂面弯矩—裂纹张开角的影响

图9给出了加载速率从10mms-1至300mms-1时的断裂面弯矩—裂纹张开角关系曲线。结果表明,随着加载速率的增加,梁弯曲断裂过程中断裂面弯矩与裂纹张开角没有明显的规律性变化,整体而言均服从同一衰减形式,加载速率对断裂面弯矩—裂纹张开角曲线影响甚微。

图9不同加载速率下的断裂面弯矩—裂纹张开角关系

3.2 刚度对裂纹张开角的影响

图10(a)给出了内聚力单元刚度从9×105MPa至2.7×109MPa时的内聚力单元本构关系,相对应的断裂面弯矩—裂纹张开角关系曲线如图10(b)所示。结果表明,刚度值对断裂面弯矩—裂纹张开角关系曲线的前后期略有影响,但是中间大部分阶段影响不大,整体而言具有相同的衰减趋势。

图10不同刚度值的输入和输出曲线

3.3 断裂能对裂纹张开角的影响

改变内聚力单元的断裂能,研究从脆性到韧性材料弯曲断裂过程中的断裂面弯矩—裂纹张开角的关系。图11(a)给出了断裂能从0.15~0.35Nmm-1的内聚力单元本构关系,相对应的断裂面弯矩—裂纹张开角关系曲线如图11(b)所示。

图11不同断裂能值的输入和输出曲线

结果表明,断裂能越大,在相同裂纹张开角时,断裂面弯矩越大;断裂面弯矩—裂纹张开角关系曲线整体仍然呈现三段式衰减规律;断裂末期,由于较大的断裂能使得断裂更不干脆,故而断裂能越大最终的裂纹张开角越大。

4、结论

(1)在一个广泛的材料参数和加载应变率条件下,断裂面弯矩随裂纹张开角单调变化,随裂纹张开角的增大而降低。(2)在主要断裂阶段,可以采用一个普适的“内聚力弯曲断裂”模型,唯象地描述脆性梁发生断裂时的残余弯矩与转角之间关系。(3)在内聚力断裂过程中,残余弯矩所消耗的断裂能与断裂面表面能一致,表明脆性梁的内聚力弯曲断裂过程受材料断裂韧性控制。在纯弯矩作用下,裂纹前端总是存在压应力区域,使得断裂末期应力状态较为复杂,断裂不再是纯弯曲状态。

位世阳,李凤云,郑宇轩,等.梁在纯弯曲作用下的脆性断裂[J].宁波大学学报（理工版）,2019,32(6):67-71.