绿色供应链[1],它是一种将环境影响因素和资源利用效率共同考虑到供应链中的现代化管理模式.闭环供应链[2]由正向供应链与逆向供应链两部分构成，多数制造商通常喜欢将逆向供应链设计作为一种减少环境污染问题的竞争行为.部分学者在研究绿色闭环供应链时考虑碳排放因素进行优化，且李进和朱道立[3](2018)探究了生产成本、运输成本与客户需求模糊的低碳闭环供应链网络问题，模型在优化成本目标外，同时最小化设施选址、各设施间产品运输以及设施中产品生产、处置和回收等过程中产生的碳排放量.Reddy等[4](2019)考虑了产品生产、处置、回收和运输等过程中所产生的碳排放量，并将其转化为碳排放成本，计算到企业(制造商)的总成本中，以最小化供应链总成本为目标来进行建模.顾秋阳等[5] (2021)将供应商数量折扣问题结合到多产品绿色供应链网络中，在优化总成本的同时，并追求最小化碳排放与最大化消费者满意度.该模型的决策包括了混合处理中心选址、交通工具选择、技术种类的选择、产品的流向以及库存管理等.

然而在现实生活中，绿色闭环供应链网络中各个成员的各成本函数并不是一成不变的，很容易因为一些外部因素的干扰而产生扰动.因此研究绿色闭环供应链网络系统的通有稳定性是十分重要的.本文利用非线性均衡理论与变分不等式相关理论作为研究工具，建立考虑废弃物排放的绿色闭环供应链网络系统多准则决策均衡模型，并基于非线性均衡理论建立绿色闭环供应链网络问题解的通有稳定性结果.

1、绿色闭环供应链模型

图1均衡状态下的供应链网络结构  

绿色闭环供应链网络结构如下：m个制造商，n个零售商/回收中心和o个需求市场.其中制造商们制造/再制造s种同等质量无差别产品，新产品与再制造产品不做区分.正向供应链：制造商生产的产品销往不同的零售商，再由零售商出售给不同需求市场的顾客.逆向供应链：回收中心从各个需求市场回收可再制造的产品，再将回收的产品运往制造商进行再制造.如图1均衡状态下的供应链网络结构所示.均衡解用“*”表示.

1.1制造商的竞争行为及其均衡条件

表示制造商i生产产品l所需原材料的数量，ρlN为生产第l种产品所需原材料的单位价格，

表示制造商i供应给零售商j第l种产品的数量，q

表示制造商i从回收中心j购买第l种可再制造产品的数量.我们将行向量表示为

QN:

表示每个制造商i生产第l种产品的生产成本函数，该生产成本函数通常取决于制造商购买的原材料数量与可再制造产品数量，即f

表示制造商i和零售商j之间第l种产品与可再制造产品的交易成本，是向量Q1分量(q

表示制造商i批发给零售商j第l种产品的单位价格，ρ

表示制造商i支付给回收中心j第l种可再制造产品的单位回收价格.制造商i追求利润最大化，其第一决策准则问题为：

分别为制造商i生产第l种产品单位原材料与可再制造产品的新产品转化率，(1)式的约束条件表示制造商售出给零售商的商品总数不得超过其生产总数.

此外，制造商们关心生产产品以及将产品运输到各个零售商的过程中产生的废弃物排放总量.a

表示在制造商i生产第l种产品产生的废弃物排放函数，b

表示在制造商i向零售商j运输或回收第l种产品产生的废弃物排放函数.制造商i追求废弃物排放量最小化，其第二决策准则问题为：

j=1,2,…,n; l=1,2,…,s. (2)

文献[6],赋予(2)式一个非负权重ωi,这一权重可表示为制造商i愿意为每单位废弃物排放支付的价格，或可理解为制造商i对环境的重视程度，权重越高表明制造商对环境越重视.因此，制造商i的目标函数为：

j=1,2,…,n; l=1,2,…,s. (3)

假设所有制造商都处于非合作竞争状态，则所有制造商同时达到最优的条件等价于以下变式不等式，即求解(QN*,Q*1,ρ*1,γ*1)T∈Rms+2mns+ms+ms+满足

为(3)式中约束相关联的拉格朗日乘子，γ1为(4)式中所有拉格朗日乘子的ms维行向量.

1.2零售商的竞争行为及其均衡条件

表示需求市场k在零售商j购买第l种产品的数量，q

示回收中心j从需求市场k回收第l种可再制造产品的数量.我们将行向量表示为

零售商j需要对所有产品进行储存或展示，有储藏展示成本，用cj表示，是向量Q1函数，即cj=cj(Q1).

表示需求市场k在零售商j购买第l种产品的零售价格；ρ

表示回收中心j向需求市场k回收第l种可再制造产品的单位回收价格.零售商j追求利润最大化，则其目标函数为：

(5)式中的约束条件表示消费者从零售商处购买的产品不能超过其库存量，制造商们不能从回收中心中购买超过库存的回收产品.

假设所有零售商都处于非合作竞争状态，则所有零售商同时达到最优的条件等价于以下变式不等式，即求解(Q*1,Q*2,ρ*2,γ*2,γ*3)T∈R2mns+2nos+ns+ns+ns+满足

分别是(5)式中零售商j两个约束相关联的拉格朗日乘子，γ2、γ3分别为(6)式中所有γ

拉格朗日乘子的ns维行向量.

1.3需求市场的竞争行为及其均衡条件

分别表示为需求市场k和零售商j之间的第l种产品与第l种可再制造产品的交易成本，是向量Q2分量q

的函数，即c

表示在需求市场k中产品l的需求价格ρ

为需求市场k中产品l的需求价格组成的向量，而d

表示需求市场k对产品l的需求量.需求函数通常也取决于各个需求市场对产品l的需求价格，即).借用Wardop用户准则，需求市场的最优均衡条件下：

(7)式表明当需求市场处于均衡状态时，消费者从零售商购买商品，其需求价格应大于消费者所付出的交易成本与产品零售价格之和；若小于该和值，则消费者将拒绝购买.(8)式表明若需求市场处于均衡状态且需求价格为正数，那么需求市场中消费者购买的产品数量总和与需求数量是相等的.在逆向供应链中，需求市场是再制造产品的资源地.当回收中心支付较低价格进行回收时，需求市场的消费者就会拒绝回收，并选择自行利用这些产品[7].

其中

为需求市场k的意愿回收函数，λ

为需求市场k产品l的可回收产品比例系数.

所有需求市场同时达到最优的条件等同于以下变式不等式问题的解，即所求(Q2*,ρ*3,γ*4)T∈R2nos+os+os+满足均衡时，(7)～(9)式对于每个需求市场都必须满足，且与如下变分不等式问题是等价的，即求解(Q*2,ρ*3,γ*4)T∈R2nos+os+os+满足

为(9)式中约束相关联的拉格朗日乘子，γ4为(10)式中所有拉格朗日乘子的os维行向量.

1.4绿色闭环供应链网络均衡条件

当供应链中所有决策者同时满足最优条件时，所有决策者的利润均为最大化，没有人有改变决策的倾向，此时供应链网络达到均衡.根据变分不等式的相加性原理，将变分不等式(4)、(6)和(10)式相加得到整体的绿色闭环供应链网络均衡条件即求解(QN*,Q*1,Q*2,ρ*3,γ*1,γ*2,γ*3,γ*4)T∈Rms+2mns+2nos+os+ms+ns+ns+os+满足

而模型中设计的交易价格ρ

均是内生变量，它们由网络结构决定.

由式(4)、(6)可知若ρ

由式(6)、(11)可知，若ρ

此外由式(7)、(9)式结合(11)式可以得到γ

为了便于在后续章节中参考，变分不等式(11)可以以标准变分不等式形式重写如下：寻找x*∈K满足

〈F(x*),x-x*〉≥0,∀x∈K (12)

其中，K∈Rms+2mns+2nos+os+os+ms+ns+ns+os+.

2、绿色闭环供应链网络解的通有稳定性

文献[8]中证明了当可行集K是紧凸集，且F(x)在K上连续，则变分不等式问题F(x)至少有一个解.基于可行集K是紧凸集与F(x)在K上连续的假设，用M表示绿色闭环供应链网络解存在的问题集合，记Γ为M中的绿色闭环供应链网络问题，由上节可知每一个闭环绿色供应链网络问题都对应这一个变分函数F,记为：Γ={F}.对∀Γ1,Γ2∈A,Γ1={F1},Γ2={F2}.对∀Γ∈M,用S(Γ)表示闭环绿色供应链网络问题Γ的解集.于是，S定义了从M到2K的集值映射.定义：

其中，h是定义于K上的hausdorff度量，容易验证：d,h都是一个距离.

下面先给出证明闭环绿色供应链网络问题通有稳定性是本质的过程中有关的定义以及引理.

定义1对∀Γ∈M,S(Γ)为Γ的解集，若对x∈S(Γ)任意的开邻域O(x)∈K,存在Γ在M中的开邻域V,只要Γ′∈V,有S(Γ′)∩O(x)≠∅成立，则x称为Γ的一个本质解.若Γ所有解都是本质的，则Γ称为是本质的.根据上述定义，容易得到如下结论：Γ是本质的当且仅当其解映射S在Γ处是下半连续的.

定义2 X的可数个开集的交集称为X的Gδ集，若拓扑空间X中任意可数个稠密开集的交仍是X中的稠密子集，则称X是一个Baire空间.

引理1若X是完备的度量空间，则必是Baire空间[9].

引理2若X,Y是两个Hausdorff拓扑空间，且Y是紧空间，如果集值映射G:X→2Y是闭的，集值映射F:X→2Y是上半连续具紧值的，对∀x∈X,G(x)∩F(x)≠∅,则集值映射G(x)∩F(x)在X上是上半连续的且具紧值.[10]

引理3 (Fort定理)[11]若X是hausdorff拓扑空间，Y是度量空间，集值映射S:X→2Y是一个上半连续集值映射，则存在X的一个剩余集Q,使∀x∈Q,S在x是下半连续的，从而连续.

定理1 (B,ρ)是完备的度量空间.其中，B={F:F为单值映射，且F在K上连续，

是(B,ρ)中的任意Cauchy序列，即对∀ε>0,存在正整数N(ε),只要m, n≥N(ε),就有ρ(Fm,Fn)<ε,固定x∈K,则

是R空间中的Cauchy序列，存在F(x)0,使得

|Fn(x)-F0(x)|→0,(n→+∞),

并且d(Fn,F0)→ε,(n→+∞).下证：F(x)0在K上是连续的.

对∀ε>0,存在正整数N(ε),只要n≥N(ε),对∀x∈K都有

特别的有

∀x∈K因为FN+1在x处是连续的，对上述ε,存在δ>0,只要||x′-x||2<δ,就有

因此有：

|F0(x′)-F0(x)|=|F0(x′)-FN+1(x′)+FN+1(x′)-FN+1(x)+FN+1(x)-F0(x)|

≤|F0(x′)-FN+1(x′)|+|FN+1(x′)-FN+1(x)|+|FN+1(x)-F0(x)|<ε,

即F0在K上是连续的.所以，F0∈B,(B,ρ)是完备的度量空间.

证毕.

定理2 (M,d)是一个完备的度量空间.

证明:设Γn={Fn}是M中任意的Cauchy序列，即∀ε>0,存在正整数N,只要n, m≥N就有d(Γn,Γm)<ε,因此得到

∀x∈K,有ρ(Fn(x),Fm(x))<ε

{Fn(x)}是(B,h)空间中的Cauchy序列，由定理1得，存在K上连续的单值映射F0使ρ(Fn(x),F0(x))→0,(n→+∞)记Γ0={F0},此时有Γ0∈M.即(M,d)是一个完备的度量空间.

证毕.

定理3解映射S:M→2k上半连续且具紧值.

证明:不妨构建一个集值映射：对∀x∈K,T(x)=K.显然，集值映射T是上半连续具紧值的，且T(x)∩S(x)=S(x).由引理2知，只需要证明S的上图graph(S)在M×K上是闭的即可，其中

graph(S)={(Γ,x)∈M×K:x∈S(Γ)}

设(Γn,xn)是graph(S)中的任意序列，满足：(Γn,xn)→(Γ0,x0)∈M×K,其中Γn=(Fn),xn∈S(Γn),需证：x0∈S(F0),即∀y∈K,使〈F(x0),y-x0〉≥0.

反证法，如果上述结论不成立，则存在y0∈K,有〈F(x0),y0-x0〉<0.因为Γn→Γ0,那么就存在正整数N,当n≥N时，有：〈F(xn),y0-xn〉<0,这与xn∈S(Γn)矛盾.

所以x0∈S(Γ0).解映射S是上半连续且具紧值.

证毕.

下面结合Fort定理建立绿色闭环供应链网络问题解的通有稳定性结果.

定理4 M中存在稠密剩余集Q,满足：∀Γ∈Q,Γ是本质的.

证明:由引理1和定理2,知M是Baire空间.再结合定理3和引理3(Fort定理),结论得证.

证毕.

3、结束语

并非所有的绿色闭环供应链网络问题都是本质的，但是在Baire分类的意义下，大多数的绿色闭环供应链网络问题是本质的.进而在绿色闭环供应链网络问题空间，存在稠密子集，使得该稠密子集的解映射是连续的.而解映射的连续性说明了当两个绿色闭环供应链网络问题的距离十分近时，两个问题必定有一对解之间的距离也很近.事实上，现实生活中的决策问题很容易出现扰动.在经济中的扰动可能来自于信息的不完备或者天气、温度等大自然因素，在工业中的扰动可能来自于测量仪器出现了误差.对于本文，当一个绿色闭环供应链网络问题是本质的，则各成本、利润、需求函数的扰动其对解的影响微小，可以对决策做出微小调整就可使系统维持均衡.但当一个绿色闭环供应链网络问题不是本质的，则各成本、利润、需求函数的扰动对解的影响巨大，需要对决策做出重大的改变才能使系统维持均衡状态.

参考文献:

[3]李进,朱道立.模糊环境下低碳闭环供应链网络设计多目标规划模型与算法[J].计算机集成制造系统,2018,24(2):494-504.

[5]顾秋阳,琚春华,吴功兴.考虑碳排放量与数量折扣的闭环供应链网络设计与多目标决策优化研究[J].控制理论与应用,2021,38(3):349-363.

[6]杨玉香,张宝友,孟丽君,等.基于环境责任的闭环供应链网络多准则决策均衡问题[J].系统管理学报,2014,23(1):13-20.

[9]林志.非线性均衡理论及其研究[M].重庆:重庆出版社,2016:21.

基金资助:国家自然科学基金:非凸复合优化问题的最优性与稳定性研究(12271067);

文章来源:徐嘉磊,林志.绿色闭环供应链网络及其通有稳定性的研究[J].西安文理学院学报(自然科学版),2024,27(03):117-124.