引言

砌体墙是在既有结构中应用广泛的承重构件。在评定结构安全性时，砌体墙主要处于平面内的压剪受力状态。因此，可靠推断砌体墙在此受力状态下的承载力极其重要[1,2,3,4,5,6]。

砌体墙的重要特征之一，是其力学参数和压剪破坏模式具有很强的不确定性[7,8,9,10,11,12]。现有的解析模型形式不一、适用范围不同且准确度各异，难以解释计算结果与试验结果之间的差异原因[13,14]。数值模型在估算承载力时需要完成全过程非线性分析，需要反复调整参数，且不能保证调整过程的唯一性，可能难以在参数的正常取值范围内获得合理的计算结果[15]。

解决上述问题的关键是合理地处理参数和模型的不确定性[16]。为此，可将解析或数值模型作为先验判断，并利用足够多的实测数据进行系统修正。在机器学习领域，这是典型的有监督学习(supervisedlearning)过程。该领域的快速发展已为此类问题提供了具有参考意义的解决方法，包括人工神经网络(artificialneuralnetwork,ANN)、支持向量机(supportvectormachine,SVM)和高斯过程(Gaussianprocess,GP)等。研究表明，ANN在回归灌孔配筋砌体墙承载力时结果理想[17],SVM在模拟具有非高斯特征的随机过程或随机场时效率很高[18],GP在结构数值模型修正和优化[19]、可靠性分析[20]和边坡设计[21]等方面获得了广泛应用。在不确定性影响显著时，基于这些方法可以建立解析或数值模型的有效替代模型(surrogatemodel)，从而推动监测技术由物理模型驱动(physics-driven)向数据驱动(data-driven)发展[22]。

GP的均值函数显含先验判断，可以简化参数筛选和敏感性分析的复杂过程，适于推断具有明显定性规律的砌体材料压剪强度;且GP具有可叠加性，能够通过全概率公式进行组合[23]。另外，有研究表明，大规模ANN和GP之间有很强的相似性[24]。考虑GP模型的上述特点，本文中将砌体墙的承载力指标表示为力学参数和破坏模式的随机函数，并利用试验结果中包含的信息，确定承载力指标的后验概率密度函数(probabilitydensityfunction,PDF);在此基础上，基于全概率公式推断砌体墙的压剪承载力。

1、砌体墙压剪承载力试验及计算模型

由已有试验[25]确定墙体在平面内压剪受力状态下的承载力，并采用墙体的参数，讨论常用的名义压剪强度计算模型。

1.1压剪承载力试验概况

考虑砂浆强度等级、高宽比和开洞率3个因素，按GB50129—2011《砌体基本力学性能实验方法标准》的要求，共设计6片厚度均为240mm的砌体墙试件[25]。墙体示意见图1，其几何参数见表1。砌体及砂浆抗压强度见表2。

图1墙体试件示意

表1墙体试件的几何尺寸

表2墙体试件压剪承载力试验结果

墙体砌筑后养护28d，然后进行拟静力试验，设计轴压比为0.3。试验过程中，墙体发生剪压破坏，承载力如表2[25]所示。名义压剪强度由墙体压剪承载力除以其水平受压面积得到。以下将名义压剪强度作为墙体压剪承载力的指标，对其进行推断。

1.2名义压剪强度计算模型

在计算墙体压剪承载力时，墙体受压面积可多次多处测量，其不确定性相对较小，因此可将其作为确定量。推断压剪承载力的问题可转化为推断名义压剪强度。

评估既有砌体墙的名义压剪强度的典型计算模型有如下三类:

1)第一类模型基于Mohr-Coulomb准则，认为名义压剪强度是砌体抗剪强度和竖向压应力的线性函数[26,27]，即

公式1

其中，τ为墙体名义压剪强度，fv0为砌体的抗剪强度，c为竖向压应力，α、β为不同规范中根据试验结果所采用的修正系数。

2)第二类模型基于最大主拉应力准则，认为名义压剪强度是砌体抗剪强度和竖向压应力的非线性函数[2]，即

公式2

3)第三类模型通过回归试验结果得到，考虑砌体抗剪强度普遍较低的情况，其简化形式[28]为

公式3

上述三种典型模型差异显著，即使对于同一种模型，其修正系数也可取不同的值。欧洲Eurocode6和我国GB50003—2011《砌体结构设计规范》中，在不考虑抗震时的模型表达式接近式(1),GB50003—2011中，在考虑抗震时的模型表达式接近式(2)，美国ACI530-05中，在低轴压比下的模型表达式为式(3)。

可见，墙体压剪承载力的参数和计算模型具有显著的不确定性。因此，在推断承载力时将难以获得一致的结果，也难以评价不同结果间的差异。为解决这一问题，文中以三类模型为基础，建立砌体墙名义压剪强度的高斯过程模型。

2、砌体墙名义压剪强度的高斯过程模型

上述三类名义压剪强度计算模型均基于对墙体力学参数和压剪破坏过程的特定基本假定而提出，因而是对名义压剪强度的有偏估计。但上述模型反映了可靠的工程经验和大量试验结果。为此，将这三个典型模型作为先验模型，将名义压剪强度表达为高斯过程，并收集已有试验结果对先验模型进行更新。

2.1模型建立

将墙体名义压剪强度τ定义为砌体抗剪强度fv0和竖向压应力c的随机高斯过程(函数)。这一过程可由其均值函数和协方差函数完全描述，即

公式4

其中:X=[fv0,c]T为输入参数;τ(X)为随机输出结果;N表示高斯分布;m(X)为过程的均值函数;C(X,X')为过程的协方差矩阵，其元素为任意两个输出结果τ(X)和τ(X')的协方差函数C(X,X'),X和X'表示任意两组输入参数。

均值函数m(X)采用式(1)、(2)或式(3)表示。协方差函数C(X,X')可统一表示为

公式5

其中，θ为超参数，其具体形式随协方差函数变化。先将协方差函数取为平方指数形式，即

公式6

其中，。此时，超参数θ包括σf,l和σn等项，σf2为两个输出结果τ(X)和τ(X')间的最大协方差，l为对应两个输入参数的尺度因子，l=diag[l1,l2]，σn2表示对输出结果的观测误差。

根据工程经验和已有观测数据，先验指定均值函数中的修正系数α和β以及协方差函数中的超参数σf、l1、l2和σn后，即确定了高斯过程的先验模型。

如有足够多的实际输入和实测输出，即可对先验模型进行更新。更新过程是选定协方差函数的具体形式后，使对数似然函数取最大值，即

公式7

其中，C=C(X,X')为协方差矩阵，τ和C由实际输入和实测输出确定。

采用共轭梯度法求式(7)的最大值，并将对应不同协方差函数的最大值排序，可获得全局最大值。全局最大值所对应的协方差函数和超参数即确定了高斯过程后验模型。

任意多个名义压剪强度τ的样本的组合，均服从由后验模型所定义的联合高斯分布。则对于需要推断其名义压剪强度的特定输入X*=[f*v0,c*]T，其输出τ(X*)满足

公式8

因此，根据贝叶斯公式τ(X*)服从后验高斯分布[18]，即

公式9

其中，μτ和στ2分别为均值和方差，且

公式10

公式11

通过式(9)～(11)确定了墙体名义压剪强度的概率密度函数，非单一样本。这是结合先验判断和所有实测信息之后，对墙体名义压剪强度的完备描述。本文中将其作为墙体承载力推断的基础。

2.2基于试验结果的模型更新

分别以式(1)～(3)为均值函数建立3种高斯过程模型，相应编号为Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ;同时，将不考虑均值函数、完全由协方差函数确定的高斯过程模型编号为Ⅳ，共获得4种先验模型。

更新先验模型需要充足的试验数据。本文从已有文献[1,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52]中收集了52组砖砌体的压剪试验数据，并以砌体抗剪强度和竖向压应力为输入参数、以名义压剪强度试验结果为输出，参数详细列于表3中。将其中47组数据定义为A组，用于更新先验模型;将剩余5组数据和1.1节中6组试验数据共11组定义为B组，用于检验模型的推断效果。上述试验数据所对应的墙体破坏模式不尽相同，式(1)～(3)所对应的墙体破坏模式也有差异。利用对应不同破坏模式的试验数据更新先验模型，实质上是量化了破坏模式不确定性的影响。但应指出，这样的更新过程需要足够多的试验数据。

先验模型Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ中的修正系数α、β由A组试验数据回归确定，先验超参数l1和l2分别取为A组砌体抗剪强度和竖向压应力的标准差，σn2和σf2均取A组名义压剪强度方差的一半。模型Ⅳ无修正系数，其先验超参数与模型Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ相同。

将A组输入参数和相应输出结果代入式(7)确定对数似然函数，并求全局最大值。更新所获得的后验模型Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的修正系数、协方差函数和超参数如表4所示。

2.3模型检验

为检验后验模型的合理性，首先利用其对A组试验结果进行回归，结果如图2所示。由图可见，模型Ⅰ、Ⅱ和Ⅳ的回归效果较好，回归相关系数均大于0.99;受先验判断过于简单的影响，模型Ⅲ的回归效果相对欠佳，回归相关系数为0.96。可见合理的先验判断对于回归结果有重要影响。另外，由于参数和模型不确定性的影响，A组试验结果非常离散，其变异系数达0.6。如采用确定性的参数化模型进行回归，模型将非常复杂、且难以获得理想效果。

其次，利用后验模型推断未用于模型更新的B组试验数据。对于B组中每对输入参数，采用表4中的任一种后验模型，按式(9)～(11)可得到名义压剪强度的一种后验高斯分布。后验高斯分布的均值可作为名义压剪强度的推断值，而其标准差则表示了推断值的不确定性程度。

表3砌体墙压剪承载力试验结果

表4后验模型的修正系数和超参数

图2高斯过程模型回归值与A组墙体试验值的对比

模型推断结果和B组试验数据的对比如图3所示。可见，各先验模型的误差较为明显;后验模型Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ均较为合理，说明模型更新过程有效利用了试验数据中的信息，降低了先验模型不合理性的影响。后验模型Ⅳ缺乏先验信息、局部误差非常显著，说明先验模型对推断结果具有重要作用。另外，各后验模型均能够以标准差定量表示推断值的不确定性，这不仅可为工程决策提供直接依据，也为建立全概率模型提供了基础。

3、渐进全概率模型及名义压剪强度推断

根据贝叶斯理论和高斯过程的可叠加性，可将上述各模型的推断值按其不确定性程度加权组合以更全面反映总体的信息，即

图3高斯过程模型推断值与B组墙体试验值的对比

公式12

其中:T为名义压剪强度的推断结果;τi-为基于第i种后验高斯分布的推断值;wi为权重系数，可由各后验高斯分布的变异系数确定，即

公式13

其中，δi表示第i种模型的变异系数。

当式(12)中所包括的代表性模型数逐步增加时，其所获得的推断结果将趋近于名义压剪强度的无偏估计，因此式(12)可称为渐进全概率模型。

各模型对B组试验结果的推断误差如表5所示，其中SMSE为序列之间的标准均方根误差(standardizedmeansquarederror)。模型Ⅰ的SMSE和误差绝对值均较小，说明其先验判断对于B组试验结果而言更为合理。模型Ⅳ缺乏先验判断，因此SMSE和最大相对误差明显偏大。渐进全概率模型综合了模型Ⅰ到Ⅳ的贡献，因此对于B组试验结果而言，SMSE和相对误差并非最小，但其包含了更多的总体信息。

表5砌体墙名义压剪强度的推断误差

B组试验结果的变异系数为0.4，模型Ⅰ～Ⅳ推断结果与B组试验结果的相关系数分别为0.7、0.4、0.3和0.3，渐进全概率模型推断结果与B组试验结果的相关系数为0.6。

除利用上述模型外，也可将B组试验数据的输入参数换算为设计值，然后采用GB50003—2011《砌体结构设计规范》中的式(5.5.1)计算名义压剪强度设计值，最后再换算成名义压剪强度平均值。

将渐进全概率模型推断值、规范计算值和B组试验值进行对比，如图4所示。规范计算值变异性显著，渐进全概率模型推断值变异性小，总体上更加接近试验结果。另外，按规范计算时需要抗剪强度、竖向压应力和抗压强度3个参数，而渐进全概率模型仅需前两个参数。可见，渐进全概率模型较简单、高效。

图4渐进全概率模型推断值、规范计算值和B组试验值对比

为更全面地考察渐进全概率模型的推断效果，作名义压剪强度τ推断值与抗剪强度fv0、竖向压应力c的关系曲面，如图5所示。推断值曲面反映了线性先验模型Ⅰ、Ⅲ和非线性的先验模型Ⅱ的贡献，其信息较为完备，能够反映压剪强度的总体规律，即抗剪强度较低时，τ随压应力的增加呈先升后降的趋势;抗剪强度较高，该趋势变平缓。压应力水平较低时，τ随抗剪强度的增加而显著上升;压应力水平较高时，τ受抗剪强度的影响不明显。

图5渐进全概率模型推断值曲面

当有新的试验结果时，还可以按2.2节所述的方法进一步更新完善推断值曲面。

4、结论

1)在推断砌体墙平面内压剪承载力时，需要合理考虑参数和模型不确定性的影响。

2)墙体名义压剪强度的计算公式可转化为高斯过程先验模型。利用试验数据更新先验模型后，可获得名义压剪强度的正态概率密度函数。

3)采用正态概率密度函数来推断名义压剪强度，能够充分利用先验判断和实测有效信息。对变异系数为0.6的离散试验结果序列回归时，相关系数可达0.96以上。同时对每个推断值都能给出对应的方差，可量化不确定性程度并直接为工程决策服务。

4)将不同的名义压剪强度计算公式作为先验模型，可获得多种正态概率密度函数，进而可进行加权组合获得渐进全概率模型。这种模型不在多种计算公式中简单取舍，而是充分考虑各种计算公式的贡献，从而更为全面地反映总体的信息。渐进全概率模型对变异系数为0.4的离散试验结果序列进行预测时，相关系数可达0.6。

5)采用渐进全概率模型进行推断，能够以简单的先验模型和有限的试验结果为基础、获知砌体名义压剪强度的总体规律，并且推断结果可随试验结果的累积而进一步更新完善。这种方法可应用于砌体结构的安全性评定、性能监测等工程实践中。

参考文献：

[1]朱伯龙,吴明舜,蒋志贤.在周期荷载作用下砖砌体基本性能的试验研究[J].同济大学学报,1980(2):1-14.

[2]施楚贤.砌体结构理论与设计[M].2版.北京:中国建筑工业出版社,2003.

[4]池斌,王凤来,张志铭,等.配筋砌块砌体剪力墙受剪承载力预测方法[J].哈尔滨工业大学学报,2018,50(12):156-164.

[5]郑山锁,牛丽华,郑淏,等.酸雨腐蚀砖砌体组合墙抗震性能试验及恢复力研究[J].建筑结构学报,2019,40(7):162-172.

[6]徐靖,郭猛,范旭红,等.砌体墙变形机制研究现状综述[J].四川建筑科学研究,2019,45(4):42-50.

[7]金伟良,岳增国,高连玉.《砌体结构设计规范》的回顾与进展[J].建筑结构学报,2010,31(6):22-28.

[8]骆万康,朱希成,廖春盛.砌体抗剪强度研究的回顾与新的计算方法[J].重庆建筑大学学报,1995,17(4):41-49.

[9]顾祥林,陈贡联,马俊元,等.反复荷载作用下混凝土多孔砖墙体受力性能试验研究[J].建筑结构学报,2010,31(12):123-131.

[10]王秋维,史庆轩,何巍巍,等.DP型烧结多孔黏土砖砌体基本力学性能试验研究[J].建筑结构学报,2017,38(12):122-130.

[11]梁建国,方亮.砖砌体墙的屈服准则及其抗剪强度计算[J].土木工程学报,2010,43(6):42-47.

[12]蔡勇,施楚贤,马超林,等.砌体在剪-压作用下抗剪强度研究[J].建筑结构学报,2004,25(5):118-123.

[19]万华平,任伟新,魏锦辉.基于高斯过程响应面的结构有限元模型修正方法[J].振动与冲击,2012,31(24):82-87.

[20]苏国韶,郝俊猛.复杂工程结构非概率可靠度分析的高斯过程动态响应面法[J].应用基础与工程科学学报,2015,23(4):750-760.

[21]徐冲,刘保国,刘开云,等.基于组合核函数的高斯过程边坡角智能设计[J].岩土力学,2010,31(3):821-826.

[25]汪澜崖.既有砌体结构安全性分析与预测[D].上海:上海理工大学,2016:26-29.

[27]砌体结构设计规范:GB50003-2011[S].北京:中国建筑工业出版社,2011.

[29]樊越,左宏亮,郭亮.粘贴CFRP砖砌体墙在低周反复荷载作用下的试验[J].沈阳建筑大学学报(自然科学版),2012,28(2):208-214.

[30]韩磊.砌体抗震墙试验中的竖向轴力加载控制研究及试件设计分析[D].太原:太原理工大学,2011:58-64.

[31]雷真,周德源,王继兵.玄武岩纤维增强材料加固砌体砖墙的抗震性能[J].华南理工大学学报(自然科学版),2013,41(3):43-49.

[32]肖青战,张广泰,武强,等.板墙加固短肢砌体剪力墙抗剪承载力试验研究[J].工程抗震与加固改造,2014,36(1):48-51.

[33]邓明科,樊鑫淼,高晓军,等.ECC面层加固受损砖砌体墙抗震性能试验研究[J].工程力学,2015,32(4):120-129.

[34]张斯,徐礼华,杨冬民,等.纤维布加固砖砌体墙平面内受力性能有限元模型[J].工程力学,2015,32(12):233-242.

[35]赵彤,张晨军,谢剑,等.碳纤维布用于砖砌体抗震加固的试验研究[J].地震工程与工程振动,2001,21(2):89-95.

[36]韦昌芹,周新刚.CFRP加固砌体结构的试验研究[J].工程力学,2006,23(增刊2):150-154.

[37]杨建平,李爱群,王亚勇,等.高强钢绞线-聚合物砂浆加固低强度砖砌体的试验研究[J].防灾减灾工程学报,2008,28(4):473-478.

[38]张广泰,侍克斌,李元吉.后植筋加固砖墙体抗震性能试验研究[J].建筑结构学报,2013,34(5):145-150.

[39]杭翠翠.砌体结构抗压及抗震承载力仿真分析与试验对比[D].长沙:湖南大学,2011.

[40]王欣,陆洲导,吕西林.碳纤维技术在砌体结构抗震加固中的试验研究[J].工业建筑,2003,33(9):11-13.

[41]方亮.蒸压粉煤灰砖墙抗震抗剪强度及抗震性能试验研究[D].长沙:长沙理工大学,2009.

[52]朱伯龙,吴明舜,蒋志贤.砖墙用钢筋网水泥砂浆面层加固的抗震能力研究[J].地震工程与工程振动,1984,4(1):72-83.

彭斌,赵文昊,宗刚,郑七振.基于渐进全概率模型的既有砌体墙压剪承载力推断[J].建筑结构学报,2020,41(06):180-188.