结构模态分析是研究结构动力特性的一种近代方法。模态参数更能从整体上反映出系统的固有动态特性,主要包括固有频率、阻尼比和振型,它们属于基本动力学参数。由计算或试验分析得到模态参数的过程称为模态分析。因此,模态参数识别是结构系统辨识问题的核心内容。结构模态分析对土木、机械、航天等领域的结构性能评价、动态设计、健康监测、模型修正和损伤识别等起到基础而关键的作用[1,2]。

根据辨识域的不同,模态参数识别方法可分为:频域识别法、时域识别法及时频域识别法[3,4]。频域法是以频响函数为基础的模态参数识别方法,主要有:峰值拾取法、频域分解法、频率空间域分解等。此类方法对于密集模态识别效果不明显,且对于具有高噪声或非平稳特性信号的模态识别更加困难。时域法是以时域信号为基础的模态参数识别方法,常见方法有Ibrahim时域法(IbrahimTimeDomain,ITD)、特征系统实现算法(EigensystemRealizationAlgorithm,ERA)和随机子空间法(StochasticSubspaceIdentification,SSI)等。SSI技术是最著名的时域方法,通过对原始测量时间序列进行模态参数估计。SSI方法识别精度高,但计算效率低,定阶困难。为此,李帅[5]提出基于奇异值差分谱的SSI与ERA模型定阶方法。时频域识别法同时分析处理信号的时域信息与频域信息,有效地弥补了时域分析法与频域分析法只能单独处理时域信息或频域信息的缺陷。经验模态分解(EmpiricalModeDecomposition,EMD)[6]属于典型的时频分析法,实现了信号在频率-时间域内的表示,可将其和Hilbert变换结合进行模态参数识别。然而,此方法存在模态混叠、对噪声敏感等缺陷,使其应用受到限制[7]。Dragomiretskiy等[8]提出变分模态分解方法(VariationalModeDecomposition,VMD),该方法在声调检测与分离、地震信号分析、机械故障诊断等领域的应用效果优于EMD方法。Bagheri等[9]尝试将VMD方法应用于结构参数识别中,但是该方法未对VMD分解信号时如何选择分解层数K进行研究,而K值的大小决定了VMD能否正确地将不同频率的模态响应分离,对VMD的分解效果具有一定的影响。

本文结合VMD自适应分解和SSI模态参数识别精度高的优点,提出了基于VMD-SSI的模态参数识别新方法,定义模态重复比率准则来优化VMD模态分解层数K,将本文所提方法与SSI识别结果进行对比,并通过统计检验来进一步验证本文方法的有效性。

1、VMD及最优模态数K

1.1VMD信号分解

VMD结合维纳滤波、希尔伯特变换和谐波混频的思想,通过搜寻约束变分模型最优解来实现信号自适应分解。VMD将输入信号分解为一系列独立的子信号,每一子信号都有对应的中心频率。信号分解问题如式(1)所示

y(t)=∑k=1Kuk(t)=∑k=1KAk(t)cos[ϕk(t)],k=1,2,⋯,K         (1)

式中:y(t)为待分解多分量信号;uk(t)为分解得到的单分量信号;K为分解层数;Ak(t)≥0为uk(t)的瞬时振幅;ϕk(t)为uk(t)的瞬时相位;ωk(t)=dϕk(t)dt≥0为瞬时频率。瞬时振幅Ak(t)及瞬时频率ωk(t)相对于瞬时相位ϕk(t)来说是缓变的,即在[t-δ,t+δ]的间隔范围内,uk(t)可看作是一个幅值为Ak(t),频率为ωk(t)的谐波信号,其中δ=2πωk(t)。

信号分解的步骤是:首先,通过希尔伯特变换计算每个模态uk(t)的解析信号;然后,将每个模态的频谱频移至各自估计的中心频率处;最后,通过解调信号的H1高斯平滑来估计带宽。综上,可得受约束的变分问题为

min{uk},{ωk}{∑k=1K∥∂t[(δ(t)+jπt)*uk(t)]*e−jωkt∥22}s.t. ∑k=1Kuk(t)=y(t)         (2)

式中:{uk}={u1,…,uK}和{ωk}={ω1,…,ωK}分别为所有模态序列和它们的中心频率;δ(t)为单位脉冲函数;j=−1−−−√;∂t为对时间的导数;*为卷积运算;‖·‖2为向量的L2范数。

为求取上述变分问题,引入二次惩罚因子α和Lagrange乘子λ,将式(2)约束优化问题重构成一个无约束问题。增广Lagrange表达式为

式中:α为惩罚因子;λ为Lagrange乘子;〈·〉为两向量内积。通过交替方向乘子法(AlternatingDirectionMethodofMultipliers,ADMM)对多个子优化问题进行多次迭代,最终得到式(3)所示的约束变分模型的最小值。

1.2最优模态数K

VMD方法需要预先指定分解层数K。K值的大小决定了VMD能否正确地将不同频率的模态响应分离。K值过小,无法分离出所有的模态响应;K值过大,容易将同一频率的模态响应分离成不同的响应。学者们提出了不同的K值确定方法,试图不断改进VMD信号分解中的定阶问题。文献[10]在应用VMD进行信号分析时,通过中心频率观测法确定合适的模态K。此方法往往凭经验而定,导致其实际应用效率较低,并且极大地限制了VMD的适应性。刘尚坤等[11]引入互信息准则来改进VMD的迭代停止条件。唐贵基等[12]以剩余能量与原始信号能量之比作为K值优化指标。当比值小于阈值时,确定最终的模态数。上述两种方法均以剩余信号和原始信号之间的定量关系为评价指标,由于没有考虑信号分量的特征,容易导致模态混叠。牟伟杰等[13]以VMD获得的相邻模态之间的频率比为指标,自动确定模态数,该方法避免了模态间的混叠,但没有考虑单一模态下的内部模态混叠。Li等[14]提出了一种面向独立性的VMD方法,该方法利用峰值搜索和相似原理自适应地选择初始模态数和最佳模态数。Lian等[15]提出了基于内模函数IMFs特性的自适应变分模态分解方法,该方法以排列熵、频域极值、峰度准则和能量损失系数等一系列指标为依据,对VMD分解结果进行判断,然后根据判断结果调整模态数K,再对信号进行分析,直到得到最佳的K值。

为了有效避免模态裂解,同时不丢失模态,本文在前人研究的基础上,提出一种模态重复比率准则来优化K值。定义模态重复比率

r=∑i=1K−11ωi+1−ωi+ε(4)

式中:K为VMD所使用的模态分层数;ωi为第i阶模态响应的中心频率;常数因子ε取极小的正数,其作用在于当ωi和ωi+1接近甚至相同时,式(4)分母不为零。模态重复比率的意义在于,当VMD分解得到的相邻两阶模态的中心频率不同时,分式为一个接近零的值;当VMD分解得到的相邻两阶模态的中心频率接近甚至相同时,分式将会得到一个较大的值。本文中ε取值为0.01,因此,当VMD分解得到的相邻两阶模态响应有着相近甚至相同的中心频率时,模态重复比率r的值会在100左右,表示出现了一次模态裂解。随着模态分层数K的变化,模态重复比率r出现阶跃性变化,通过跃变量的大小可看出模态裂解的次数。最有效的K值应选取模态重复比率接近0并尽可能大的K值。这既保证了完备模态信息的有效分解,同时又避免了模态裂解。

2、基于VMD的模态振型识别

通过VMD分解出各阶模态分量后,为了获得具体的模态振型,只需要考虑所有l个传感器位置上的结构模态响应即可。通过所有传感器信号中的局部最小或局部最大的模态响应值来得到一个具体模态的模态振型向量。因此,结构第k阶模态振型向量φk∈ℝl×1可以表达为

φk=(uk,1(tm)uk,2(tm)…uk,j(tm)…uk,l(tm))T,

k=1,2,…,K;j=1,2,…,l(5)

式中:uk,j(tm)为第j个传感器位置上的第k阶模态响应;tm为模态响应局部最小或局部最大值发生的时间;l为安装传感器的数量;K为总模态数。为了便于计算,模态向量通常要进行归一化处理。

这里,取l=3个传感器位置为例,说明振型的计算办法。对3个传感器测得的响应信号进行VMD分解后,取第k阶模态分量uk=(uk,1uk,2uk,3)T的时间响应如图1所示。它们具有共同的频率ωk。

对于所有传感器测得的同一频率下的同阶模态响应,此处选取模态响应时程中任意一个局部最小值发生的时间tm,第k阶模态振型可以表示为

φk=Nor((uk,1(tm)uk,2(tm)uk,3(tm))T)(6)

式中,Nor为归一化过程。分别取k=1,2,…,K,重复以上过程,得模态振型矩阵Φ=(φ1φ2…φK),Φ∈ℝ3×K,从而进一步分析各阶模态振型。考虑到VMD分解能力的限制和噪声影响,对多个极小值取平均亦能够减小该方法的识别误差。

图1第k阶模态振型值的获取

3、数据驱动的随机子空间

直接利用响应数据确定随机子空间系统矩阵的方法称为数据驱动随机子空间方法(SSI-data)。SSI-data方法因为可以直接利用传感器提取的响应信息进行参数识别,对大型复杂结构尤为方便有效。下文将SSI-data简称为SSI。

3.1数学模型

n自由度的一般黏性阻尼系统的振动微分方程为

Mq⋅⋅(t)+C1q˙(t)+Kq(t)=f(t)=B1u(t)(7)

式中:q,q˙,q⋅⋅分别为用物理坐标描述的n阶位移列阵,速度列阵和加速度列阵;f为n阶外部激励列阵;M,C1,K分别为系统的质量矩阵,阻尼矩阵和刚度矩阵,均为实对称阵;u为随时间变化的输入向量;B1为输入位置矩阵。

定义状态向量

x=(qq˙)

,由复模态分析基本理论和现代控制理论可得随机状态空间模型

{xk+1=Axk+Buk+wkyk=Cxx+Duk+vk(8)

式中:xk=x(kΔt)为离散系统的状态向量;Δt为采样周期;k为采样点个数;uk,yk分别为离散后相应的激励向量和响应向量;A,B,C,D分别为离散系统的状态矩阵,输入矩阵,输出矩阵和直馈矩阵;工程测试中的随机噪声主要包括模型误差wk和传感器设备误差vk,两者很难直接测量,通常假设其为均值为零的白噪声。

通过求解系统矩阵(A,C),可求得系统特征值进而求解出模态参数。SSI结合Hankel矩阵、正交投影、Kalman滤波估计、QR分解、奇异值分解SVD、最小二乘估计以及特征值分解SVD等技术,最终识别出模态参数。

3.2SSI模态参数识别

确定了系统状态矩阵A和输出矩阵C之后,模态参数的求解实际上是一个典型的特征值问题。对于离散系统(A,C),对状态矩阵A进行特征值分解

A=ΨˆΣΨˆ−1(9)

式中:Σ=diag(μi,μ*i)为复特征值矩阵;ui和u*i构成n对共轭的互异复特征值,i=1,2,…,n;Ψ ˆ为复特征向量组成的矩阵。

连续系统(Ac,Cc)的状态矩阵特征值分解为

Ac=ΨcΛcΨ-1c(10)

式中:Λc=diag(λi,λ*i)为复特征值矩阵;λi和λ*i构成n对共轭的互异复特征值,i=1,2,…,n;Ψc为复特征向量组成的矩阵。

A和Ac存在如下关系

Σ=eΛcΔt(11)

从而有

λi=lnμiΔt,λ∗i=lnμ∗iΔt(12)

由特征值可求出系统的无阻尼固有频率ωni和阻尼比ξi为

ωni=|λi|=α2i+β2i−−−−−−√(13)

ξi=−λi+λ∗i2λiλ∗i√=−αiωni=−αiα2i+β2i√(14)

4、VMD-SSI识别模态参数流程

传统模态参数识别方法在模态识别中往往受到模型定阶的困扰,将测量信号用VMD方法分解成多个只含单一频率分量的信号,这样在SSI参数识别时就可以不用再考虑定阶的问题。本文提出一种基于VMD-SSI的结构模态参数识别方法。VMD可以调整要分解出模态信号的数量,更能有效地分解出密集模态,但模态分解层数K值的预置方法影响了信号分解的效果。将本文提出的模态重复比率作为模态分解层数的评价准则,优化K的取值,实现了对VMD算法的改进,更好地解决了模型定阶问题,VMD分解后模态分量经过SVD去噪[16]以排除噪声模态干扰,另一方面利用SSI严密的数学推导过程保证了模态参数识别的精度。算法步骤如图2所示,对每个传感器提取出的加速度响应信号利用模态重复比率准则优选模态分解层数K,进一步使用SSI分别对每阶模态响应识别模态频率与阻尼,同时综合所有传感器位置的模态响应识别模态振型。

图2VMD-SSI模态参数识别

5、外伸梁结构模态参数识别

5.1外伸梁模型

采用本文所提方法对文献[17]中的外伸梁结构模型进行模态参数识别。外伸梁安装在一个滚子轴承和一个铰链轴承上,滚子轴承和铰链支座固定在基底,基底固定在地面。滚子轴承和铰链轴承使梁保持在同一水平。滚子轴承位置处有纵向自由度。铰链轴承位置处纵向固定,只有横向自由度。外伸梁模型横截面尺寸为50mm×15.65mm,长度为4m,弹性模量为2.05×1011N/m2,材料密度为7780kg/m3。建立梁的有限元模型,如图3所示,整个梁分为40个等长单元,由41个节点组成。结构采用比例阻尼系数:α=0.1,β=5×10-6。结构前6阶理论模态频率和阻尼如表1所示。

图3外伸梁有限元模型(mm)

表1前6阶理论模态频率和阻尼比

5.2模态参数识别

利用本文的VMD-SSI方法对外伸梁进行试验模态分析,为理论模型的参数修正提供依据。下面采用VMD-SSI进行模态参数识别。

5.2.1VMD中K值的优化

VMD方法可以从一处传感器位置的输出信号中分解出所有模态分量,以第14个节点为例,选取其Y方向的响应信号作为样本进行K值优化,响应信号及其频谱图如图4所示。此处的响应信号为有明显多模态频率特征的响应信号。

图4外伸梁加速度响应

由图4可以看出,信号频谱有6个较为明显的峰值。由于VMD的分解能力受限,K值定为6并不能保证能够分解得到所有的6阶模态,因此需要对VMD参数K进行优化选择。考虑到噪声的影响,选取K值优化范围为6～20。分别对测量的响应信号添加20dB,15dB,10dB,5dB的噪声,模态重复比率分析结果如图5所示。

可以看出,无噪声时,K值为8是最后一次接近于0值的模态重复比率,之后模态裂解现象不断加深。噪声为20dB时,最佳K值为11。噪声为15dB时,曲线经过波动,最终在K为13处为模态重复比率最后一次取0值。噪声为10dB时,模态裂解现象总体不严重,最佳K值选为16。噪声为5dB时,K取18才能分解出所有分量信息。不同噪声背景下K的最终优化取值如表2所示。

图5外伸梁模态重复比率分析结果

表2K的优化取值  

由分析结果可知,随着信号受噪声污染程度越来越大,优化后的K值不断增大。图6和图7分别给出了5个不同噪声水平的测试信号在不同K下的能量丢失变化图、平均排列熵变化趋势。

图6外伸梁能量丢失准则分析结果

图7外伸梁平均排列熵准则分析结果

图6反映了随着K值的增加信号分解更加完备,能量损失在不断减小,但无法通过一个明显的阈值确定K的取值。图7说明不同K值时,VMD信号分解出的各模态分量间的复杂程度,但图中依然没有表现出明显的趋势性变化。综上所述,上述K值评价准则对模态分解的优劣程度具有一定的参考价值,但本文提出的模态重复比率方法所得曲线阶跃性变化更明显,操作性强,对不同噪声水平下的信号分解都能给出VMD方法所需要的更优的模态分层数。

5.2.1VMD分解信号去噪

为了评价算法的抗噪能力和稳定性,向外伸梁提取的加速度响应信号中添加不同程度的噪声,分别进行K值优化后的VMD分解。由于篇幅限制,图8仅给出5dB信噪比时,VMD分解前、后前6阶模态分量的时域波形和频谱图。VMD分解得到18路信号,而只有图中的6路信号为可用的模态分量,其余噪声信号此处不再展示。可以看出VMD方法清晰地分解出了前6阶模态分量。SVD去噪后比去噪前频谱图更光滑,滤除了由噪声模态引起的多个干扰分量,模态频率识别性更高。其他信噪比信号样本分解效果类似,不再赘述。

5.2.3VMD-SSI模态参数识别

(1)VMD-SSI频率和阻尼比识别

对VMD分解后的模态分量进行SSI模态参数识别。由于此时系统已经实现了良好定阶,所以将SSI的阶次置为2阶即可,以减小SSI的算法复杂度。表3中分别列出了不同噪声水平下,传统SSI和本文VMD-SSI方法模态参数识别的结果。

表3SSI与VMD-SSI对外伸梁模态频率识别结果

可以看出,在不同的噪声水平下,两种方法都能较好识别出模态频率,识别结果基本一致,误差都在0.1%范围内,本文提出的VMD-SSI方法最大识别误差不超过0.04%。随着噪声的增加和识别阶次的提高,识别精度总体下降,但最大误差不超过0.08%,说明频率识别的稳定性和精度都较高。在噪声水平为5dB时,本文提出的VMD-SSI识别结果更稳定,最大识别误差依然不超过0.04%,而SSI的最大误差接近0.06%,识别结果的分散性更大。在不同试验中,由于随机噪声的加入,低识别误差会有较大浮动。

图8外伸梁加速度响应信号分解结果

目前模态分析领域的诸多方法对频率的识别效果都较稳定,但对阻尼的识别效果较差,甚至无法识别。本文VMD-SSI在阻尼识别方面表现出了明显优势。下面将SSI法与VMD-SSI法对外伸梁模态阻尼识别结果与表1的理论模态阻尼进行对比,模态阻尼识别误差如表4所示。

表4SSI与VMD-SSI对外伸梁模态阻尼识别结果

对模态阻尼的识别,SSI和VMD-SSI识别效果不同。SSI法对阻尼比的识别效果不稳定,识别误差从66%～1200%不等,基本无法识别阻尼比。相比之下,VMD-SSI对阻尼比的识别误差大多控制在10%以内,识别结果稳定有效。试验模态方法往往对于信噪比高、低阶分量的识别效果较好,随着噪声的增加,识别效果会变差。在5dB噪声下,VMD-SSI识别出的第6阶模态阻尼误差达到了42%,相较SSI92%的识别误差,识别效果有所改善。此处的SSI方法未采取改变系统阶数的方式使用稳定图对模态参数进行进一步识别,可以看出,VMD-SSI方法在不使用繁琐的稳定图的情况下就可以对频率和阻尼进行精确识别。

(2)基于VMD的振型识别

提取外伸梁加速度信号时,一个传感器只能提取振型中的一个数值,因此想要得到较完整的振型图形,必须要增加传感器数量。本文以识别1阶模态振型为例,测量13个节点的Y向加速度,这13个传感器布置均匀,均避开了1阶模态的振型节点。加之第11个节点的响应为0,因此以14个节点的振型识别组成最终的振型向量。13个传感器所在的节点位置如表5所示。14个节点的理论振型值如表6所示。

表5传感器布置位置节点

对13个节点位置采集到的加速度信号分别进行K值优化后的VMD分解,得到13个1阶模态响应分量。取采样时间ts=0.005s,对每一路模态分量提取2000个采样点,在图9中绘制模态响应曲线。

使用“2”节的方法进行振型识别,得到归一化振型如图10所示。

图913个节点的1阶模态响应

图101阶振型识别

从图10中可知,降噪后VMD方法识别出的模态与真实模态非常接近,很好地实现了对振型的识别。为了说明引入奇异值去噪对VMD振型识别效果的影响,表7中计算了模态信号降噪前和降噪后的振型相对于理论模态振型的绝对误差。

图11为振型识别误差。可以看出降噪后的VMD方法提高了模态振型的识别精度。在第14个节点和第26个节点处,精度提高最为明显。在第14个节点处,本文的方法识别误差比降噪前降低了0.0324%。

综上所述,VMD-SSI方法对模态频率和模态阻尼识别效果良好且稳定。在模态频率的识别上,VMD-SSI和SSI识别效果基本一致,识别误差都不超过0.1%;对模态阻尼的识别,SSI方法无法识别出阻尼比,尤其是在强噪声水平下和高阶模态分量的识别中,效果不明显。而VMD-SSI方法能对不同噪声和阶次的模态响应的阻尼比实现较好的识别,识别误差一般不超过10%,识别效果较稳定,相比SSI方法有了很大改进;经K值优化后的VMD方法再经过SVD去噪后,对模态振型进行识别,试验数据表明:相比VMD方法,降噪后的VMD振型识别误差平均下降2.15%,识别精度更高。由此可见,VMD-SSI方法提高了模态参数识别的精度。

表7降噪前后识别振型绝对误差

图111阶振型识别误差

为进一步验证本文效果,图12给出了2～4阶模态振型识别结果。可以看出,识别效果与1阶振型类似。

图122～4阶振型识别

6、模态参数识别结果的统计检验

模态参数的识别中,由于噪声背景具有随机性,SSI和VMD在阶次确定时,优化过程的迭代存在不完全重复性,因此每次计算的识别误差不尽相同。研究SSI和VMD-SSI两种算法的性能时,需要将模态参数识别误差作为随机变量进行统计推断。实际应用中,由于总体的分布是未知的,于是通过对识别误差随机变量进行重复独立观察,得到多组观察值,研究样本及其抽样分布,进行假设检验,从而对SSI和VMD-SSI总体的性能进行推断。

6.1模态频率的逐对比较法检验

为了比较两种算法的差异,在相同条件下做对比试验,得到一组观察值,然后分析观察数据做出推断,这种方法称为逐对比较法。SSI和VMD-SSI两种算法识别出的模态频率是成对出现的,使用逐对比较法评价这两种算法的性能。将表3中的频率识别误差用箱线图统计,如图13所示。

图13频率识别误差箱线图

箱线图横坐标中S表示SSI,VS表示VMD-SSI;图中疑似异常值以符号“+”表示。样本数据按噪声水平进行分组,比较两种方法识别出模态频率的误差散布程度。可以看出,疑似异常值只有一个,说明数据的波动性在正常范围内。而SSI和VMD-SSI的中位数对比关系随着噪声的增加没有明显的单调变化,可通过均值对比两种方法的性能,因此选用逐对比较法(t检验)进行统计检验。以第2阶模态为例进行分析。模态频率识别误差如表8所示。

表8频率识别误差的逐对比较法检验

SSI频率识别误差Xi,其观察值为xi;VMD-SSI频率识别误差Yi,其观察值为yi;i=1,2,…,n,n为样本容量,此处取为10。同一对数据(Xi,Yi)的差异Di=Xi-Yi可以看成是仅由SSI和VMD-SSI两种方法的性能差异引起的。Di的观察值表示为di。设Di～N(μD,σ2D),其中μD与σ2D未知,为总体的均值和方差。基于样本检验假设

H0∶μD≤0,H1∶μD>0(15)

原假设H0表示VMD-SSI的频率识别误差不小于SSI方法,VMD-SSI性能没有提高;备择假设H1表示VMD-SSI的频率识别误差小于SSI方法,说明VMD-SSI的频率识别效果优于SSI方法。

该假设检验问题的检验统计量

t=D—−0SD/n√(16)

式中,D—和SD分别为D1,D2,…,Dn的样本均值和样本标准差。由t分布表[18]得拒绝域为t≥1.8331,表8中算得观察值

说明t值落在拒绝域内,故拒绝H0,接受H1。由此得出,在显著性水平α=0.05下,认为VMD-SSI对频率识别的误差小于SSI。

6.2模态阻尼的p值法t检验

由表4分析可知,对于阻尼识别的准确度而言,VMD-SSI算法优于SSI。因此,只需要对VMD-SSI的识别误差进行单独检验。对10dB噪声下VMD-SSI识别的1～6阶阻尼比的误差进行采样,推断该方法识别阻尼的误差总体均值小于10%。设阻尼识别误差总体X～N(μ,σ2),其中总体均值和总体方差μ,σ2未知。提出原假设VMD-SSI的阻尼识别误差不小于10%,备择假设为阻尼识别误差小于10%。考虑左边检验问题

H0∶μ≥μ0,H1∶μ<μ0(18)

式中,μ0=10。阻尼识别误差的总体方差未知,因此通过t检验法进行假设检验。

显著性水平α=0.05,分析得到t检验的施行特征函数的值β=0.05,进而算得对应的样本容量为30,样本数据如表9所示。表中,x1,x2,…,xn1表示样本X1,X2,…,Xn1阻尼识别误差的观察值。其中i=1,2,…,n1;n1=30。下面对上述30个样本用p值法进行均值的t检验。

检验统计量的观察值为

t0=x¯−μ0s/n√=8.3653−105.1605/30√=−1.7350(19)

p值为t(n-1)分布在t0的左尾分布概率

p=Pμ0{-t≥1.7350}=0.04668(20)

由于p<α,故拒绝H0。表明当H0为真时,表9中阻尼识别结果的概率不超过0.04688,故拒绝H0。在统计学理论中,若p≤0.05,通常认为拒绝H0的依据是强的,或称检验是显著的。由此说明,VMD-SSI对模态阻尼识别误差小于10%的检验结果的置信度是显著的。

表9VMD-SSI对10dB信号的阻尼识别误差

6.3模态振型的bootstrap-t法估计

在外伸梁的模态分析中,为了得到完整的模态振型,每次试验时需要同时提取多个节点的加速度响应信号。通过对多路被测信号同时分析,得到某一阶模态的幅值分量形成向量,归一化后表达为振型。由于实际试验中,传感器布置的个数是有限的,意味着一次完整的振型识别试验提取的节点振型数据是有限的。对于这种对总体知之甚少的情况,适合用非参数bootstrap方法对统计量进行估计。在表7的误差数据中,降噪前后振型识别误差总体为X和Y,均值分别为μ1和μ2。由于无法确定总体是否满足正态分布,由数理统计学理论,考虑用bootstrap-t法估计μ1-μ2的近似区间,从而比较降噪前后振型识别性能的优劣。

将降噪前后的振型识别误差分别记为原始样本x=(x1,x2,…,xn1)和y=(y1,y2,…,yn2),做放回抽样得bootstrap样本。为了逼近n足够大的条件,提高估计的精度,本文取bootstrap样本个数B=10000。得到μ1-μ2的置信水平为1-α的bootstrap置信区间

((X—−Y—)−w∗(k2)Sω1n1+1n2−−−−−−√,(X—−Y—)−w∗(k1)Sω1n1+1n2−−−−−−√)         (21)

式中:X—和Y—为总体X和Y的均值;n1和n2为总体X和Y的原始样本容量;w*(k2)和w*(k1)为W*的近似下分位数;W*为t分布的近似分布;Sω为枢轴量W*中的计算因子。

根据统计学理论,置信区间1-α≥0.95认为可信度的依据是强的,因此取α=0.05,置信水平1-α=0.95。由bootstrap样本数据算得μ1-μ2的置信水平为0.95的bootstrap-t置信区间为

((x¯−y¯)−w∗(k2)Sω1n1+1n2−−−−−−√,(x¯−y¯)−w∗(k1)Sω1n1+1n2−−−−−−√)=(2.1532−2.2086×1.4693×114+114−−−−−−√,2.1532+2.0054×1.4693×114+114−−−−−−√)=(0.9267,3.2669)         (22)

可以看到,在本次估计中得到的置信区间的下限大于零,在实际中可认为μ1>μ2。表明降噪后的VMD方法比降噪前对模态振型识别的误差小,由此说明,本文采用的K值优化的VMD方法对模态振型参数的识别性能更好。

7、结论

提出了VMD-SSI模态识别方法,将变分模态分解与随机子空间法相结合,并使用奇异值分解对VMD分解得到的模态响应进行去噪。结论如下:

(1)定义模态重复比率作为模态分解层数的评价准则,能够有效地确定分解层数K的值。通过与能量丢失和平均排列熵准则对比,分析表明本文提出的模态重复比率方法所得曲线阶跃性变化更明显,操作性更强,对不同噪声水平下的信号分解都能给出VMD方法所需要的更优的模态分层数。

(2)本文提出的VMD-SSI方法识别精度较高。利用VMD-SSI法对外伸梁模型进行模态参数识别,通过与SSI模态频率和模态阻尼的识别结果比较,证明了本文方法的优越性。尤其是在模态阻尼识别中,SSI方法无法识别出阻尼比,而VMD-SSI方法能识别出不同噪声下的阻尼比,效果较好且稳定。

(3)根据样本数据的不同特点,分别用模态频率的逐对比较法检验、模态阻尼的p值法t检验和模态振型的bootstrap-t法估计对VMD-SSI和SSI识别结果进行统计检验,结果显示,VMD-SSI对模态参数识别误差的均值均小于传统SSI方法,表明VMD-SSI使模态参数的识别精度总体得到了提高。

需要指出的是,接下来的工作中,需要用更多的数值和试验进一步验证本文方法的有效性。此外,VMD信号分解时自适应共振的中心频率及带宽的选取也需进一步研究。

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基金:国家自然基金项目(51768035);甘肃省高校协同创新团队项目(2018C-12);兰州市人才创新创业项目(2017-RC-66).