被动隔振系统相比于主动隔振系统具有技术性能稳定、可靠性高等优势,因此被广泛应用于卫星微振动控制领域[1]。传统的线性被动隔振系统只有当外界扰动频率大于系统固有频率的2√2倍时才有隔振效果,在静位移受限的情况下难以满足低频隔振的需求[2]。为了同时保证低频隔振以及较大的静承载能力,非线性隔振系统引起了学者的广泛关注[3]。准零刚度隔振系统(QZS)是一种具有高静刚度、低动刚度特性的非线性隔振系统,其基本原理是利用负刚度机构与正刚度机构并联以达到降低系统固有频率的目的[4]。从1989年Alabuzhev等[4]首次在理论上较为综合地描述了准零刚度隔振系统以来,Kovacic等[5,6,7,8,9,10]对其开展了一系列的研究。准零刚度隔振系统设计最重要的环节是负刚度机构的实现,近年来许多学者提出了不同形式的负刚度机构[11]。其中较为典型的有斜置弹簧[12]、欧拉压杆[13]和屈曲梁[14]等,此类机构通过对弹性部件施加特定的约束,使其发生一定的形变或储备一定的能量,从而实现负刚度特性。然而这样一来会增加额外的体积和质量,使得系统难以实现紧凑、轻量化的设计要求,在诸如卫星结构等特性场景中的应用容易受到限制;王毅等[15]提出了一种带滚球装置的紧凑型准零刚度隔振系统,该系统以滚球接触副和水平弹性件作为负刚度机构,对微幅振动具有敏感性,能够有效隔离低频振动。然而由于引入了微小的滚球机构,使得系统结构变得复杂,不易于安装。Zheng等[16]利用同轴配置的环形永磁体构成负刚度机构,降低了线性隔振系统的固有频率。但是由于磁性弹簧刚度取决于磁铁的几何参数,使得负刚度机构无法在线调节。

双稳定复合材料层合板是一种具有两种稳定状态的特殊复合材料结构[17]。在其不稳定的中间状态附近会呈现出负刚度特性,用其代替复杂的弹簧机构来作为负刚度机构,会有重量轻、可操作性强的优点[18]。Shaw等[19]在线性隔振系统中并联双稳定层合板,使系统在静平衡位置附近处的刚度降低。通过实验的方法证明了双稳定层合板的引入能够拓宽系统在基础谐波激励下的隔振频带并且降低峰值响应。李昊等[20]利用混杂双稳定复合材料层合板作为负刚度部件,通过对正负刚度元件的刚度进行匹配设计,实现了隔振装置的准零刚度特性。由于双稳定层合板的负刚度特性由其构型所决定,使得准零刚度隔振系统的静刚度受限于层合板的构型设计(如纤维铺层以及金属铺层的厚度),这样一来便增加了结构设计的复杂程度。

针对上述问题,本文提出了一种由双稳定复合材料层合板与线性弹簧串、并联组合的准零刚度隔振系统,通过改变串联弹簧刚度来调节机构负刚度大小,使其能够与不同刚度大小的并联弹簧进行匹配来实现准零刚度特性,从而满足不同的静承载需求。对其力学模型进行了理论推导,通过理论及有限元分析与实验相结合的方法验证了其静刚度特性的可调节性以及低频隔振性能。

1、理论模型

将正方形双稳定复合材料层合板的四个角点简支,限制竖直方向上的面外位移,对中心施加集中载荷,其构型转变过程如图1所示。可以看出当层合板处于稳定状态时,沿x轴或y轴具有较大的弯曲曲率,中心点的面外位移为0时,层合板在x轴和y轴方向具有相同的弯曲曲率,呈现出马鞍形状态。

正方形双稳定复合材料层合板构型转变过程中的典型中心点力-位移曲线如图2所示。其中B点对应稳定状态1,F点对应稳定状态2,D点对应马鞍形状态。在一个加载循环中,当外力大于C点对应的临界载荷后,层合板将绕过不稳定路径C-D-E-F直接跳变至G点,撤去外载荷后,层合板将稳定于F点。可以看出在C点和E点对应的区间内,力-位移曲线的斜率为负值,说明层合板在马鞍形状态附近具有负刚度特性,可利用这一特性将其作为负刚度元件来构建准零刚度隔振系统。

图1横向载荷作用下双稳定层合板的不同构型

图2双稳定层合板典型力-位移曲线[21]

将正方形双稳定复合材料层合板的四个角点和中心点通过线性弹簧与基础连接,构成新的准零刚度隔振系统,其结构如图3(a)所示。将被隔振质量置于层合板中心,当隔振系统处于静平衡状态时,层合板的中心点和角点处的面外位移为0,不提供回复力。当对系统施加基础激励As(t)时,层合板中心点与角点相对平衡位置产生偏移量,分别对应图3(b)中的q和xs。对于上述结构,可将层合板等效为非线性弹簧,当系统输出为层合板中心点时,相当于被隔振质量通过非线性弹簧串联角点弹簧后与基础相连,同时又通过中心弹簧与基础连接。因此从整体上来看,层合板与角点弹簧属于串联关系,构成系统的负刚度机构,而中心弹簧则与其并联,作为正刚度部件。

对于上述的准零刚度隔振系统,采用Hamilton原理建立隔振系统的动力学模型

∫t2t1[δ(T−V)+δW]dt=0         (1)∫t1t2[δ(Τ-V)+δW]dt=0         (1)

式中:T为系统总动能;V为系统总势能;W为外载荷所做的功。

1.1 系统势能

本文所采用的双稳定复合材料层合板为正交纤维铺层与混杂金属层构型,其结构如图4所示。以层合板中心为原点,x、y轴平行于板边界,z轴沿板的厚度方向建立坐标系;纤维层相对中间金属层采用等厚度铺层,下层纤维方向平行于x轴,上层平行于y轴。Lx和Ly为层合板的边长,Hf和Hm分别为纤维层和金属层的厚度。

图3准零刚度隔振系统

图4[0°/金属/90°]混杂双稳定层合板示意图

层合板在固化前为平板形态,当其从固化温度降低至室温时,由于预浸料在沿纤维方向和垂直纤维方向上的热膨胀系数不匹配,板内会产生一定的残余热应力,当层合板的尺寸足够大时,将会产生较大的面外位移。因此在表述其面内应变时考虑对经典的Kirch-hoff层合板理论中引入VonKarman非线性假设,引入几何非线性项的中心面应变表达式为

ε0=⎡⎣⎢ε0xε0yγ0xy⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂u0∂x+12(∂w∂x)2∂v0∂y+12(∂w∂y)2∂u0∂y+∂v0∂x+∂w∂x∂w∂y⎤⎦⎥⎥⎥⎥         (2)ε0=[ε0xε0yγ0xy]=[∂u0∂x+12(∂w∂x)2∂v0∂y+12(∂w∂y)2∂u0∂y+∂v0∂x+∂w∂x∂w∂y]         (2)

式中,u0、v0、w分别为中心面在x、y、z方向上的位移。

根据文献[18]的推导过程,金属混杂双稳定层合板的总势能可以根据势能密度函数在层合板的中心层积分获得

Vbistable=∫Lx2−Lx2∫Ly2−Ly212([ε0K]T[ABBD][ε0K]−[NtMt]T[ε0K])dydx         (3)Vbistable=∫-Lx2Lx2∫-Ly2Ly212([ε0Κ]Τ[ABBD][ε0Κ]-[ΝtΜt]Τ[ε0Κ])dydx         (3)

式中:A,D,B分别为层合板的拉伸刚度矩阵、弯曲刚度矩阵和拉弯耦合刚度矩阵,可通过纤维材料和金属材料的刚度系数求得;K为层合板的弯曲曲率,其表达式与小变形条件下保持一致;Nt和Mt为单位长度层合板内残余热应力的合力及合力矩,与温度和材料的热膨胀系数有关。

根据Rayleigh-Ritz法的思想,将层合板的面外位移、中心应变分量用泛函的形式来表示。由于正交铺设层合板的弯曲方向与x、y轴平行,因此可假设其面外位移函数为

w(x,y)=q+a1x2+b1y2+a2x4+b2y4+a3x6+b3y6+ex2y2         (4)w(x,y)=q+a1x2+b1y2+a2x4+b2y4+a3x6+b3y6+ex2y2         (4)

式中,ai、bi、e和q均为待定参数,即广义坐标。对于层合板上任意一点的面外位移,均可通过此函数来描述。

对于正交铺层的层合板,由于在变形过程中板内存在拉弯耦合,因此其中心面应变包含有薄膜应变与弯曲应变。薄膜应变与中心面应变的关系为

ε0=εme−A−1BK+A−1Nt         (5)ε0=εme-A-1BΚ+A-1Νt         (5)

参考文献[21]的方法,假设层合板的薄膜应变与层合板的截面形状相关,将薄膜应变分量设为

εmex(x,y)=c1+c2y2+c3y4+c4y6+c5x2y2,εmey(x,y)=d1+d2x2+d3x4+d4x6+d5x2y2         (6)εmex(x,y)=c1+c2y2+c3y4+c4y6+c5x2y2,εmey(x,y)=d1+d2x2+d3x4+d4x6+d5x2y2         (6)

式中:ci和di为待定参数。联立式(2)和式(5)可以得到用泛函表示的层合板中心面应变,再将其代入式(3)便可得到含待定参数的层合板势能表达式。

假设串联弹簧与层合板的连接点为(lx2,ly2)(lx2,ly2),在微振动情况下,由于层合板角点在水平方向上的位移相对竖直方向上的位移为小量,因此在表示由层合板引起的串联弹簧的变形量时可忽略其水平方向的相对位移

xs=w(lx2,ly2)         (7)xs=w(lx2,ly2)         (7)

再考虑中心弹簧的变形量q,可以得到串联弹簧和并联弹簧的总势能

Vspring=12[kp(q−As(t))2+4ks(xs−As(t))2]         (8)Vspring=12[kp(q-As(t))2+4ks(xs-As(t))2]         (8)

式中:As(t)表示基础位移激励;ks和kp分别为串联弹簧和并联弹簧的刚度。

将式(3)和(8)相加得到隔振系统的总势能表达式

V=Vbistable+Vspring         (9)V=Vbistable+Vspring         (9)

1.2 系统动能

层合板的动能可通过对面外位移的微分进行体积分得到

Tbistable=12(2Hfρf+Hmρm)∫Lx2−Lx2∫Ly2−Ly2(∂w∂t)2dydx         (10)Τbistable=12(2Ηfρf+Ηmρm)∫-Lx2Lx2∫-Ly2Ly2(∂w∂t)2dydx         (10)

式中,ρf和ρm分别为纤维层和金属层的密度。

由于被隔振物体的运动状态与层合板中心一致,因此其动能可表示为

Tma=12mq⋅2         (11)Τma=12mq⋅2         (11)

将式(10)和(11)相加得到隔振系统的总动能表达式

T=Tbistable+Tma         (12)Τ=Τbistable+Τma         (12)

1.3 外载荷做功

对层合板中心施加垂向载荷F,使隔振系统偏离静平衡位置,则载荷所做的功为

W=Fq         (13)W=Fq         (13)

1.4 静力学模型

将准零刚度隔振系统的基础固定,建立其静力学分析模型。令激励项As(t)为0,式(1)的动能项不计,其余项不随时间变化,则有:

δ(V−W)=0         (14)δ(V-W)=0         (14)

将式(9)、(13)代入可得到包含未知参数q、ai、bi、ci、di、e的18个非线性方程,进一步利用q、ai、bi、e来表示ci、di,从而将非线性方程的数量减小到8个,得到方程组

K(X)−F(X)=0         (15)Κ(X)-F(X)=0         (15)

其中

X=[qaibie]TK(X)=[∂V∂q∂V∂ai∂V∂bi∂V∂e]TF(X)=[∂W∂q∂W∂ai∂W∂bi∂W∂e]T         (16)X=[qaibie]ΤΚ(X)=[∂V∂q∂V∂ai∂V∂bi∂V∂e]ΤF(X)=[∂W∂q∂W∂ai∂W∂bi∂W∂e]Τ         (16)

方程组(15)的解对应隔振系统在静力学分析时的解,将求解出的未知参数回代到式(4)中即可预测隔振系统受静载时的变形量。在这里需要指明的是,当Jacobian矩阵(17)正定时,隔振系统处于稳定状态

J=∂(K(X)−F(X))∂(qaibie)         (17)J=∂(Κ(X)-F(X))∂(qaibie)         (17)

1.5 动力学模型

将式(9)、(12)和(13)代入式(1)可得

∫t2t1t1t2[δ(Tbistable+Tma)-δ(Vbistable+Vspring)+δW]dt=0(18)

式(18)中第一项为系统总动能的变分,利用分部积分可展开为

δ(Tbistable+Tma)=−(2Hfρf+Hmρm)×∫Lx2−Lx2∫Ly2−Ly2(∂2w∂t2δw)dydx−mq⋅⋅δq         (19)δ(Τbistable+Τma)=-(2Ηfρf+Ηmρm)×∫-Lx2Lx2∫-Ly2Ly2(∂2w∂t2δw)dydx-mq⋅⋅δq         (19)

根据式(18)成立的条件可以得到一组关于q、ai、bi、ci、di、e的微分方程组,将其整理成矩阵的形式,可得到隔振系统的动力学方程

MX⋅⋅+K(X)=F(X,t)         (20)ΜX⋅⋅+Κ(X)=F(X,t)         (20)

式中:M为隔振系统的质量矩阵;F(X,t)为激励,展开后为

M=(2Hfρf+Hmρm)∫Lx2−Lx2∫Ly2−Ly2(∂w∂X(i)∂w∂X(j))dydx+m∫Lx2−Lx2∫Ly2−Ly2(∂q∂X(i)∂q∂X(j))dydx,i,j=1,⋯,8F(X,t)=∂W∂X(i)+kpAs(t)∂q∂X(i)+4ksAs(t)∂xs∂X(i),i=1,⋯,8         (21)Μ=(2Ηfρf+Ηmρm)∫-Lx2Lx2∫-Ly2Ly2(∂w∂X(i)∂w∂X(j))dydx+m∫-Lx2Lx2∫-Ly2Ly2(∂q∂X(i)∂q∂X(j))dydx,i,j=1,⋯,8F(X,t)=∂W∂X(i)+kpAs(t)∂q∂X(i)+4ksAs(t)∂xs∂X(i),i=1,⋯,8         (21)

考虑到阻尼对系统动力学响应的影响,可在式中引入Rayleigh阻尼模型

C=αM+βK         (22)C=αΜ+βΚ         (22)

式中,α和β分别为隔振系统的质量阻尼系数和刚度阻尼系数。在微振动条件下,可认为阻尼力大小与速度呈线性关系,因此隔振系统的动力学方程最终可表示为

MX⋅⋅+CX⋅+K(X)=F(X,t)         (23)ΜX⋅⋅+CX⋅+Κ(X)=F(X,t)         (23)

2、实验方法

采用0.08m×0.08m层合板[0°/AL/90°](铝板厚0.3×10-3m,单层碳纤维CFRP厚0.24×10-3m)作为隔振系统的负刚度元件,与线性弹簧进行串、并联组合制备出准零刚度隔振系统原理样机。利用拉压试验机对层合板和隔振系统进行静力学实验,验证其负刚度特性和准零刚度特性,在此基础之上通过隔振实验对设计出的准零刚度隔振系统进行隔振性能验证。

2.1 原理样机

根据图3中的基本原理,制备出的准零刚度隔振系统原理样机如图5所示。双稳定层合板的角点通过四根螺纹杆与刚性底座连接。利用垫片和定位套筒将层合板的四个角点简支于螺纹杆中间的光滑段,限制角点在竖直方向上的位移。层合板中心点通过螺纹杆与并联弹簧连接,通过调节中心螺母的位置可以调节层合板的弯曲状态。角点串联弹簧与中心并联弹簧采用两根线性弹簧对称安装的方式,由于线性弹簧均为压缩弹簧,因此需要调节螺母的位置将弹簧预压一定的形变量,以保证隔振器在平衡位置附近振动时弹簧一直处于受力状态,可知串联弹簧与并联弹簧的刚度为两个线性弹簧的刚度之和。

图5准零刚度隔振系统原理样机

2.2 静力学实验

本文采用拉压试验机对制备出的双稳定层合板和准零刚度隔振系统原理样机进行了刚度测量实验,搭建的实验装置如图6所示。实验均采用压缩方法,利用计算机控制拉压试验机的上横梁向下缓慢移动,通过中心螺杆模拟集中加载的方式使层合板从一个稳定状态转变为另一稳定状态,夹具上的力传感器可记录下每一时刻的力数据。在实验过程中为了给中心螺纹杆预留出一定的移动空间,因此将刚性底座拓展成了三层的结构,同时为了防止层合板发生跳变,需要用夹具固定住刚性底座,从而保证能够获得完整的力-位移曲线。

图6静力学实验装置

2.3 隔振实验

隔振实验示意图如图7所示,在基础和被隔振质量块上各布置一个加速度传感器用来测量该处的加速度信号,振动控制器根据接收到的反馈信号对输出信号进行实时调节,保证激励的准确性。图8为搭建的隔振实验平台,在实验前需要调整层合板中心的调节螺母的位置,使层合板接近于马鞍形状态,此时被隔振质量由中心弹簧承载。隔振器底部的刚性支座和激振器采用螺纹固连,保证其运动与基础在激振方向具有同步性。

设定正弦加速度激励信号幅值并保持不变,以1Hz/s的扫频速率对准零刚度隔振系统进行激振,当系统响应达到稳态后,记录该频率下激励与响应的加速度时间序列,用振动传递率来评价系统的隔振性能

图7隔振实验与控制系统示意图

图8搭建的隔振实验平台,圈内为加速度传感器

Ta=20lg(RMS(zout)RMS(zin))         (24)Τa=20lg(RΜS(zout)RΜS(zin))         (24)

式中:zin表示激励信号的加速度时间序列;zout表示响应的加速度时间序列;RMS表示取均方根值。

3、分析与讨论

本文利用有限元软件ABAQUS建立了准零刚度隔振系统的有限元模型,如图9所示。其中层合板采用了壳单元(S4R),层合板的角点和底部的参考点采用线性弹簧单元连接,Coupling约束可以保证连接的参考点之间不发生相对运动。同时利用计算软件Mathematica对隔振系统的静力学和动力学模型进行数值求解,将理论与有限元结果同实验结果进行对比分析。层合板中碳纤维层与混杂金属层的材料参数如表1所示。

3.1 负刚度分析

双稳定层合板作为准零刚度隔振系统的负刚度元件,对其静力学特性的准确预测是后续研究隔振系统的基础。移除图9中的弹簧单元,将层合板角点用MPC-Link的约束方式与底部参考点连接,使层合板处于简支状态,得到层合板静力学分析有限元模型。参照实验方法,将底部参考点固定,在静力分析步中设定温度场从100℃降至20℃,同时对层合板中心施加位移约束,使其沿z轴从-2.5×10-3m移动到2.5×10-3m的位置,并提取中心点的力-位移曲线,结果如图10所示。可以看出,实验测得的曲线与图2所示的典型力-位移曲线具有一致的趋势,但是需要注意的是实验测得的两个方向的临界载荷为8.21N与-10.22N,曲线没有关于原点对称。分析出现此现象的原因是层合板在制造过程中0°纤维层与90°纤维层存在材料参数误差以及固化过程中温度控制误差,故将仿真参数中90°纤维层的材料参数α22由30×10-6/℃调整为27×10-6/℃,温差ΔT由-80℃调整为-82℃。将修正后的参数代入有限元模型和理论模型中进行求解,从图10中的结果可以看出,有限元分析与理论模型所预测出的曲线与实验结果能够很好的吻合,层合板在±1×10-3m的位移区间内呈现出负刚度特性。实验所测层合板负刚度极值为-12945N/m,有限元分析与理论模型预测的结果分别为-12911N/m与-12353N/m,误差在5%以内,可见采用的仿真方法具有较高的准确度。

图9准零刚度隔振系统有限元模型

采用有限元方法来分析串联弹簧刚度对系统负刚度的影响,用弹簧单元替换掉层合板四个角点处的MPC-Link约束,参照实验方法对模型进行加载,通过改变四根串联弹簧的刚度,得到不同刚度取值下机构的力-位移曲线,结果如图11所示。对比层合板的力-位移曲线可以发现,机构的临界载荷与稳定状态下的面外位移均保持不变。随着弹簧刚度的减小,负刚度区间的宽度不断减小,曲线斜率的绝对值逐渐上升,说明系统负刚度特性随着串联弹簧刚度的变化而改变。值得注意的是,当串联弹簧的刚度减小到3kN/m时,负刚度区间宽度接近于0,负刚度机构将发生“突变”现象[22]。

图1080mm×80mm层合板力-位移曲线仿真与实验结果对比

图11负刚度机构力-位移曲线

3.2 准零刚度分析

通过改变串联弹簧的刚度大小使负刚度机构的刚度特性发生改变,对图11的力-位移曲线求取一阶导数,根据负刚度极值选择相应的线性弹簧与其并联使系统在平衡位置处的刚度为0。为了探究系统达到准零刚度时线性弹簧的匹配规律,根据有限元仿真结果拟合出了串联弹簧与并联弹簧刚度的关系曲线,结果如图12所示。可以看出并联弹簧的刚度随着串联弹簧的刚度增大而减小,当串联弹簧的刚度处于5～10kN/m时,曲线迅速下降,此时并联弹簧的刚度变化十分敏感;随着串联弹簧刚度的进一步增大,并联弹簧刚度减小的速率逐渐变慢,最后趋于层合板负刚度极值的绝对值。图12中还给出了由理论模型预测出的串联弹簧与并联弹簧的关系曲线,对比有限元结果可以发现,两者总体变化趋势一致,但是当系统达到准零刚度时,理论模型求解出的并联弹簧刚度要小于有限元结果,其误差范围在5%～10%。将理论模型中的温差由-80℃调整为-82.5℃,得到的曲线与有限元结果吻合的很好,可见理论模型对温度变化非常敏感,考虑到有限元模型具有更高的求解精度,故以修正后的温差作为理论模型的标准参数。由两种方法所预测出的结果可知,在双稳定层合板负刚度特性一定的情况下,只要满足图12中的弹簧刚度匹配关系,就可以构造出具有不同静刚度大小的准零刚度隔振系统。

图12串联弹簧与并联弹簧的刚度匹配关系曲线

参照图12的匹配关系曲线,以刚度为6.1kN/m和23.5kN/m的串联弹簧为基准,选取了两组不同刚度的线性弹簧,基于图5所示的构造方式制备出了具有不同静刚度特性的两台隔振系统原理样机,其参数如表2所示。需要指明的是,由于实测的弹簧刚度与理论值具有一定的误差,因此原理样机并不能够达到理想“准零刚度”状态。

采用修正后的材料参数,将表2中的弹簧刚度代入有限元及理论模型中进行求解,再将得到的力-位移曲线与实验结果进行对比,结果如图13所示。从图13可以看出,由有限元分析和理论模型所预测出的结果一致,两者与实验所测曲线吻合程度很好。观察图13中力-位移曲线的变化趋势可以发现,随着位移由负到正逐渐变化,曲线在静平衡位置附近的斜率明显减小,在远离平衡点处具有较大的斜率。实验所测样机A和样机B的最小刚度值分别为498N/m和7968N/m,结合表2中的并联弹簧参数可求得对应的最小负刚度值分别为-14238N/m和-23670N/m,间接验证了图11所得结论,并且说明利用中的关系曲线进行准零刚度隔振系统的设计是符合其静力学特性的。

图13准零刚度隔振系统力-位移曲线

3.3 隔振性能分析

利用动力学理论模型对设计出的准零刚度隔振系统进行隔振性能分析,求解过程中将纤维材料的质量阻尼系数设为200,以模拟实际情况中的材料阻尼。线性增加激励信号的频率,将各频率点处的加速度传递率连接起来绘制成加速度传递率曲线,并与隔振实验结果进行对比,结果如图14所示。

从图14可以看出,由理论模型所求解出的传递率曲线与实验结果总体趋势一致,在高频处的预测结果同原理样机A的吻合程度很好,但是在共振峰附近同两者都存在一定的偏差。实验所测曲线在高频段出现了波动的现象,考虑到实验过程中质量块在高频处的加速度值处于很小的量级,结构之间的摩擦、传感器精度以及导线的微小扰动都会对测量数据造成一定的影响,导致结果出现偏差。对比具有相同正刚度的线性系统的传递率曲线可以发现,制备出的原理样机具有更小的起始隔振频率以及更低的共振峰响应值,说明利用本文所提出的设计方法来构建具有不同静刚度特性的准零刚度隔振系统是可行的。

图14中还给出了理想弹簧匹配模式下(ks=6.1kN/m,kp=25.9kN/m;ks=23.5kN/m,kp=14.45kN/m)的准零刚度隔振系统的传递率曲线,可以看出随着激励频率的增加,曲线达到共振峰值之后具有明显的向下跳跃现象,经起始隔振频率后传递率迅速过渡至一较低的稳定值,相比于实验结果,理想弹簧匹配模式下的准零刚度隔振系统具有更好的隔振性能。为了探究弹簧刚度误差对隔振性能的影响效果,对弹簧刚度大于理想匹配刚度时的隔振系统进行了传递率求解,其结果如图15所示。可以看出,当并联弹簧具有刚度误差时,传递率曲线的峰值与系统固有频率都大于理想状态。隔振频段的曲线呈缓慢下降趋势,传递率值要高于理想状态,这种影响随着误差的增大还会进一步增加。

图14准零刚度隔振系统隔振实验结果(被隔振质量为1.25kg，激励幅值为50mg)

图15不同并联弹簧刚度误差下的准零刚度隔振系统传递率(理想弹簧匹配刚度:ks=23.5kN/m,kp=14.45kN/m)

在原理样机的制备过程当中,由于层合板的安装误差使其中心点偏离马鞍形状态将会导致隔振系统偏离理想静平衡位置。为了模拟此种情况,对理论模型施加了-0.85N的预应力,此时层合板中心点位移为-0.5mm,求解出此种状态下隔振系统的传递率曲线,结果如图16所示。可以看出,与弹簧的刚度误差类似,装配误差也会对隔振性能产生一定程度的削弱。

图16考虑装配误差时的加速度传递率(理想弹簧匹配刚度:ks=23.5kN/m,kp=14.45kN/m)

在原理样机B的传递率预测模型上施加了一定的预应力,使其偏离理想静平衡位置0.1mm,此时求解出的传递率曲线如图17所示。相比于图14(b)的预测结果,考虑了安装误差的传递率曲线与实验结果的吻合程度要更好,可见造成原理样机的隔振性能低于理想状态是由于弹簧刚度误差与层合板安装误差的叠加效应。

图17考虑装配误差时的传递率预测结果

本文所设计的准零刚度隔振系统在不同的弹簧刚度匹配方式下具有不同的静刚度特性,为了探究系统静刚度特性改变对其隔振性能的影响,基于图12的关系曲线建立了不同的准零刚度隔振系统,其中串联弹簧的刚度分别为5kN/m、7.5kN/m和50kN/m,对应的并联弹簧刚度为33.48kN/m、21.49kN/m和13.36kN/m。对上述系统施加不同幅值大小的加速度激励并求解传递率曲线,结果如图18所示。

图18不同静刚度特性的准零刚度隔振系统传递率

从图18可以看出,对于不同静刚度特性的准零刚度隔振系统,其传递率曲线的变化趋势一致,当曲线达到共振峰后均迅速过渡至隔振频带,并在高频处达到稳定值。传递率曲线的峰值受激励幅值以及静刚度特性变化的影响不大,但是当并联弹簧刚度较低时,准零刚度隔振系统在高频处对振动的衰减效果会变得更好,并且对于不同的激励幅值来说这一现象也同样存在。表3给出了不同静刚度特性的准零刚度隔振系统的隔振频带,可以看出系统的起始隔振频率随着激励幅值的增大而增加,表现出了非线性系统的典型特征;对于激励幅值相同的情况,静刚度小的准零刚度隔振系统显示出了一定的隔振性能优势。

4、结论

本文提出了一种具有静刚度可调节性的准零刚度隔振系统,并对其静力学和动力学特性进行了理论及实验研究。利用双稳定层合板与线性弹簧串联构成了隔振系统中的负刚度机构,并采用有限元方法分析了串联弹簧刚度对系统负刚度的影响。结果显示相较于由单一层合板作为负刚度部件,串联弹簧的引入能够降低系统负刚度极值,使系统的负刚度随串联弹簧的刚度发生改变。通过选取相应正刚度的线性弹簧与负刚度机构并联组合设计出准零刚度隔振系统,并建立了系统的静力学与动力学理论模型。理论计算及有限元仿真预测出的弹簧刚度匹配曲线一致,结果显示并联弹簧的刚度随着串联弹簧的刚度增大而减小,最终趋向于某一定值。基于弹簧刚度匹配曲线制备出了两台准零刚度隔振系统原理样机,力-位移曲线仿真结果与静力学实验结果显示两台原理样机具有不同的静刚度特性,在平衡位置附近的刚度都明显降低。原理样机的隔振实验结果显示,与具有相同刚度的线性隔振系统相比,本文所设计的准零刚度隔振系统能够有效拓宽隔振频带。由于装配误差与弹簧刚度误差的存在,其隔振性能较理想状态会出现不同程度的降低。基于动力学理论模型求解了具有不同静刚度特性的准零刚度隔振系统的振动传递率,结果显示静刚度增大会使系统在高频段的传递率升高,并且隔振频带将有所缩减,但其低频隔振性能依然大幅优于具有相同正刚度的线性隔振系统。本文所提出的准零刚度隔振系统,利用双稳定复合材料层合板与线性弹簧串联组合作为负刚度机构,具有结构紧凑,重量轻以及可设计性好等优势。受限于实际制造精度和安装精度,原理样机的隔振性能较理想情况有一定差距。未来的研究中可以针对如层合板的制造工艺、负刚度机构的调节装置以及结构之间的连接方式等方向进行一定的优化,以提升系统的容错度。

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基金:国家自然科学基金青年基金(51605299).