量子不确定关系表明,即使我们知道了量子态的全部信息,我们也无法同时精确地预测任意两个互不对易的可观测量的测量结果.量子不确定关系是量子力学和经典力学的本质区别,因此对不确定关系的研究能够帮助我们更好的认知量子力学.此外,不确定关系被广泛的应用于量子信息科学的每一分支中,比如,量子非克隆理论,量子密码,纠缠探测,量子自旋压缩,量子度量学和量子同步.通常量子不确定关系的每一次进步,都会极大地促进量子信息科学的发展.测量结果的不确定性可以分别由方差和熵来度量,因此,不确定关系可以分为基于方差的不确定关系和基于熵的不确定关系.本文主要回顾这两种不确定关系的发展历程,同时介绍了一些最新的研究进展,希望能对不确定关系的研究有所启示.

1、基于方差的不确定关系

基于方差的不确定关系最初是由海森伯推导出来,只适用于位置和动量两个可观测量[1,2,3]:

ΔqΔp≥ℏ2ΔqΔp≥ℏ2(1)

其中,Δq和Δp分别表示位置和动量的标准差,ħ是约化普朗克常量.式(1)表明位置和动量的标准差不能同时很小,也就是说位置和动量不能同时精确地被预测.随后,Robertson将位置-动量不确定关系推广至任意的两个可观测量上[4]:

ΔA2ΔB2≥14|[A,B]|2ΔA2ΔB2≥14|[A,B]|2(2)

其中,A和B表示任意两个可观测量,ΔA2和ΔB2表示A和B的方差,[A,B]=AB-BA表示A和B的对易子.如果有[A,B]≠0,我们称可观测量彼此不对易,反之,则称他们彼此对易.式(2)表明如果A和B不对易的时候,他们的方差不能同时很小.即两个不对易可观测量的测量结果不能被同时精确预测.在式(2)的基础上,Schrodinger推导出了一个加强型的不确定关系[5]:

ΔA2ΔB2≥14|[A,B]|2+14∣∣∣∣{Aˇ,Bˇ}∣∣∣∣2ΔA2ΔB2≥14|[A,B]|2+14|{Aˇ,Bˇ}|2(3)

其中,{Aˇ,Bˇ}=AˇBˇ−BˇAˇ{Aˇ,Bˇ}=AˇBˇ-BˇAˇ表示AˇAˇ和BˇBˇ的反对易子,Aˇ=A−⟨A⟩(Bˇ=B−⟨B⟩),⟨A⟩Aˇ=A-〈A〉(Bˇ=B-〈B〉),〈A〉和〈B〉表示A和B的平均值.显然加强之后的不确定关系(3)要比原来的不确定关系(2)有更好的紧性.

上面介绍的不确定关系都是借助于方差或标准差乘积的形式来表示不确定关系的本质,因此他们统一的被称为乘积形式的不确定关系.虽然乘积形式的不确定关系已经被广泛地应用于量子力学的各个领域,但是他们却是存在缺陷的.对于有限维系统来说,当系统的量子态刚好是A或B的本征态的时候,即使A和B彼此不对易,我们依然有

ΔA2ΔB2=14|[A,B]|2+14∣∣∣∣{Aˇ,Bˇ}∣∣∣∣2=0ΔA2ΔB2=14|[A,B]|2+14|{Aˇ,Bˇ}|2=0(4)

此时,我们无法从不确定关系(3)的下限中获得任何有用的信息.我们把这种下限等于0的现象称为乘积形式不确定关系的“平庸问题”.

为了解决乘积形式不确定关系中的“平庸问题”,2014年,Lorenzo构造了一个基于方差和的形式的不确定关系[6]:

ΔA2+ΔB2≥±i⟨[A,B]⟩+|⟨ψ|A+iB∣∣ψ⊥⟩∣∣2ΔA2+ΔB2≥±i〈[A,B]〉+|〈ψ|A+iB|ψ⊥〉|2(5)

其中|ψ⟩|ψ〉表示系统的量子态,∣∣ψ⊥⟩|ψ⊥〉表示与|ψ⟩|ψ〉正交的任意量子态,即⟨ψ∣∣ψ⊥⟩=0〈ψ|ψ⊥〉=0.不确定关系(5)很好的解决了乘积形式不确定关系的缺陷.在(5)的基础上,Yao等人推导出了不确定关系等式[7]:

ΔA2+ΔB2=   ±i⟨[A,B]⟩+∑d−1k=1∣∣⟨ψ|A+iB∣∣ψ⊥k⟩∣∣2         (6)ΔA2+ΔB2=   ±i〈[A,B]〉+∑k=1d-1|〈ψ|A+iB|ψk⊥〉|2         (6)

通常不确定关系都是用不等式来表示,等式(6)表明不确定关系可以被等式精确地表达.虽然和的形式的不确定关系能够解决乘积形式不确定关系的“缺陷问题”,但是大多数和的不确定关系都依赖于正交态∣∣ψ⊥⟩|ψ⊥〉.对于低维量子系统来说正交态∣∣ψ⊥⟩|ψ⊥〉可以被很容易的找到,但是对于高维量子系统来说这几乎是不可能完成的任务.因此,和的不确定关系也存在缺陷.上面介绍的不确定关系都是针对于两个可观测量的不确定关系,除了这些不确定关系之外,还存在多个变量的不确定关系,这里我们就不详细介绍了.

为了解决这些缺陷,文献[8]构造了一个统一的不确定关系:

⟨A†A⟩⟨B†B⟩=14|[A,B]G|2+      14|{A,B}|2+⟨C†C⟩⟨B†B⟩         (7)〈A†A〉〈B†B〉=14|[A,B]G|2+      14|{A,B}|2+〈C†C〉〈B†B〉         (7)

其中A和B表示任意两个非厄米算符,[A,B]G=A†B-B†A是广义对易子,{A,B}G=A†B+B†A{A,B}G=A†B+B†A为广义反对易子,C=A−⟨B†A⟩B/⟨B†B⟩C=A-〈B†A〉B/〈B†B〉.文献[8]表明,上面介绍的不确定关系都是不确定关系(7)的特殊情况,当A和B取特定的厄米算符时候,我们可以得到乘积形式的不确定关系,当A和B取特定的非厄米算符时候,我们可以得到和的形式的不确定关系.因此,不确定关系(7)给出了一个统一的不确定关系.前面我们还介绍了乘积形式的不确定关系和和的形式的不确定关系在表达不确定关系上是都有缺陷的.文献[8]表明这两种缺陷的本质是一样的,他们都可以归结于乘积形式中的“平庸问题”.为了彻底解决这些缺陷,文献[8]引入了辅助算符的概念,并证明当我们引入两个非对易的辅助算符的时候,不确定关系中的缺陷就可以被彻底的解决.此外,当我们引入特定数目的辅助算符的时候不确定关系就可以被精确地表达.

上面介绍的不确定关系都是与态相关的不确定关系,顾名思义,与态相关不确定关系是指不确定关系的下限是与量子态相关的.除了与态相关的不确定关系,还存在与态无关的不确定关系.与态无关的不确定关系的下限可以理解为与态相关的下限遍历过所有量子态之后的最小值,因此与态无关的下限紧性通常比较差.而且与态无关的下限涉及遍历所有的量子态,所以寻找它通常是件非常困难的事情,尤其是对高维量子系统来说.最近Schwonnek,Dammeier和Werner提出一种寻找与态无关下限的方法[9],这个方法可以将所有的任意维度寻找与态无关的下限的问题转化成在三维空间寻找与态无关的下限问题.因此,这个方法非常有效地解决了在高维系统中寻找与态无关下限的问题.与态无关的不确定关系通常用于纠缠探测,具体内容将会在后面的讨论中呈现.

2、基于熵的不确定关系

类似于基于方差的不确定关系,最初关于熵不确定关系的研究也是针对位置和动量的.在1983年,由Deutsch推广至任意两个可观测量,随后,Kraus和Maassen给出了一个加强型的基于熵的不确定关系[10]

H(R)+H(S)≥log21cΗ(R)+Η(S)≥log21c(8)

其中,H(R)表示R测量结果的Shannon熵,c:maxij|⟨ψj|ϕk⟩|2,|ψj⟩maxij|〈ψj|ϕk〉|2,|ψj〉和|ϕk⟩|ϕk〉分别表示R和S的本征态.log21clog21c主要是用来度量R和S的互补性.

同方差的不确定关系一样,熵的不确定关系也表示我们无法同时精确预测两个不对易可观测量的测量结果.为了更加清楚的说明他们的意义,在这里我们用一种游戏的形式来解释熵的不确定关系.游戏有两个主人公,Alice和Bob,在游戏开始之前,Alice和Bob共同决定要测量的可观测量,即R和S.接着Bob制备一个粒子(粒子是由Bob制备的,因此他掌握这个粒子量子态的全部信息),然后将制备的粒子发送给Alice,Alice得到粒子之后,再对这个粒子进行R或S测量.对Bob来说,不管Bob制备出什么样的量子态,Alice测量的结果的不确定性都要遵守不确定关系(8).熵的不确定关系极大地促进了不确定关系在量子信息论中的应用.

2010年,Berta等人,构造了一个量子存储支撑下的熵的不确定关系[11,12]:

H(R|B)+H(S|B)≥log21c+H(A|B)Η(R|B)+Η(S|B)≥log21c+Η(A|B)(9)

其中A和B表示两个粒子,A被称为被测量系统,B被称为量子存储系统,他们所组成的复合系统的密度矩阵为ρAB,H(A|B)=H(ρAB)-H(ρB)是密度矩阵ρAB的条件冯诺依曼熵.在不等式的左边H(Y|B)=H(ρYB)−H(ρB),ρYB=∑Y(|ΨY⟩⟨ΨY|⊗I)ρAB(|ΨY⟩⟨ΨY|⊗I),|ΨY⟩Η(Y|B)=Η(ρYB)-Η(ρB),ρYB=∑Y(|ΨY〉〈ΨY|⊗Ι)ρAB(|ΨY〉〈ΨY|⊗Ι),|ΨY〉表示Y的本征态,其中Y∈(R,S).

为了比较不确定关系(8)和(9)的区别,我们依然用一个游戏来说明量子存储支撑下的熵的不确定关系(9).如图1,Bob制备一对纠缠粒子A和B,(这说明Bob完全掌握了A和B复合系统的全部信息),并将A粒子发送给Alice.Alice选择对A粒子进行R或S测量,并将自己选择的测量告诉Bob.Bob根据自己掌握的关于A和B复合系统的全部信息去尽可能精确地猜测Alice的测量结果,相应的不确定关系符合(9).

图1不确定关系的游戏说明.

①Bob制备一对纠缠的粒子A和B,并将粒子A发送给Alice.②Alice从R和S中选择一个测量,然后对A粒子进行测量.③Alice把自己选择的测量(比如S)告诉Bob,让Bob去猜测Alice的测量的结果.Bob的目标是尽可能的减小这个测量结果的不确定度,也就是说尽可能精确地猜测Alice的测量结果.

3、不确定关系的应用

在这一部分我们主要介绍一下不确定关系在纠缠探测和量子同步研究中的应用.

3.1不确定关系在纠缠探测中的应用

类似于不确定关系,纠缠是量子力学和经典力学的本质区别,他表示两个或多个系统之间的非局域关联.纠缠是量子信息科学中一种必不可少的资源.作为系统之间的非局域关联,纠缠通常被用来突破局域量子极限.也就是说纠缠可以用来突破局域不确定关系的下限,当局域不确定关系的下限被突破的时候,必然存在纠缠.这就是不确定关系探测纠缠的原理.最初的基于不确定关系的纠缠探测方案是由Hofmann和Takeuchi共同提出的[13].接下来我们将详细地介绍他们的方案.

考虑由两个子系统X和Y组成的复合系统,两个子系统中任意两个与态无关的不确定关系:

∑iΔX2ii2≥LX,∑iΔY2ii2≥LY(10)

其中Xi和Yi分别是X系统和Y系统中的可观测量,LX和LY代表与态无关的而且大于零的常数.对于整个复合系统中的可观测量Xi+Yi来说,参考文献[13]推出当下面的不确定关系被突破的时候,X和Y之间必然存在纠缠:

∑iΔ(Xi+Yi)2≥LX+LY(11)

换句话说就是,当我们测得∑iΔ(Xi+Yi)2小于局域不确定关系的下限LX+LY时,必然存在纠缠.

上面的结论是由反证法证明的:假设1)两个子系统X和Y之间没有纠缠,即他们的量子态ρ是分离态;2)∑iΔ(Xi+Yi)2<LX+LY.分离态ρ可以分为直积态ρ=ρX⨂ρY其中ρX和ρY表示X和Y系统的量子态,和直积态的混合ρ=∑mpmρm其中ρm表示直积态.对于直积态ρ=ρX⨂ρY,很容易推出

∑iΔ(Xi+Yi)2=∑iΔXi2+∑iΔY2ii2

≥LX+LY(12)

对于直积态的混合,有如下性质:

ΔQ2≥∑mpmΔmQ2(13)

其中Q代表复合系统中的任意一个算符,ΔmQ2表示可观测量Q在直积态ρm上的方差.式(13)本质上是方差的凸性:混合直积态的方差总是大于等于各个直积态方差的平均.对于直积态的混合,利用式(11)和(13)就可以得到

∑iΔ(Xi+Yi)2≥LX+LY(14)

综上,对于任意的分离态,都有∑iΔ(Xi+Yi)2≥LX+LY成立,这显然和假设2)是矛盾的.因此,我们可以得到当式(11)被违背的时候,纠缠必然存在.

目前存在很多种探测纠缠的方法.基于方差的纠缠探测方案相对于其他方法的优点是:该方法不依赖于量子态的全部信息,我们只需要探测一定数目的彼此不对易的可观测量,就可以判断量子态是否纠缠.这个优点为我们在纠缠探测的过程中节约了很多资源,尤其是在高维量子系统中.

3.2不确定关系在量子同步中的应用

自发同步指的是,在没有外界驱动的情况下,两个系统仅仅依靠他们之间的非线性相互作用而实现的运动同步的现象.17世纪,Huygens发现两个自然频率不同的钟摆在没有外界驱动情况可以以相同的频率震动,这就是最早被发现的自发同步现象.在经典力学中,关于自发同步的研究已经比较完善了,存在标准的方法来判断两个经典系统是不是存在同步.但是,在量子力学中由于量子不确定关系的存在,关于量子同步的研究进展一直比较缓慢.

在2013年,Mari[14]等人得到在连续变量系统中,由于量子不确定关系的存在,我们不可能得到完全的量子同步的结论.接下来,为了更好的理解不确定关系在量子同步中的应用,我们将介绍他们的推导过程.假设存在由两个连续变量子系统S1和S2组成的复合系统,qˆiq^i和pˆip^i分别表示Si系统的位置和动量算符.为了去判断量子同步是否发生,参考文献[14]构造了一个能够度量量子同步的量:

Sc=1⟨qˆ−2+pˆ−2⟩Sc=1〈q^-2+p^-2〉(15)

其中,qˆ−=qˆ1−qˆ2q^-=q^1-q^2和pˆ−=pˆ1−pˆ2p^-=p^1-p^2.根据自发同步的定义,在自发同步发生的时候,量子系统的位置和动量完全相同,即有⟨qˆ−2+pˆ−2⟩〈q^-2+p^-2〉无限趋于0.因此我们有当Sc越大的时候,系统的状态越接近于完全同步状态.但是,根据位置-动量不确定关系(1),我们有

Sc≤12⟨qˆ−2⟩⟨pˆ−2⟩√≤1ℏSc≤12〈q^-2〉〈p^-2〉≤1ℏ(16)

也就是说,由于不确定关系的存在,Sc无法无限接近于无穷大.因此,在量子力学中完全同步是不可能的发生的.此外,根据式(16),我们可以看出,如果当ħ=0,完全同步是可能发生的.经典力学可以看成当量子力学在ħ趋于0时的界限情况[15],因此,在经典力学中完全同步是可以发生的.

4、小结与展望

在本文中,我们主要讨论不确定关系的发展历程和不确定关系的一些应用.从这些讨论中,我们可以看出方差不确定关系发展的历程其实本质上是不确定关系下限不断被优化的过程,直到现在不确定关系能够被精确的表达,即方差的不确定关系可以由等式来表示.对于熵的不确定关系来说,虽然他的形式没有方差的形式那么多类型,但是熵的不确定关系能够将纠缠引入不确定关系,从而突破传统不确定关系的下限.根据这两种类型不确定关系发展的历程,我们有如下认识:1)我们至今仍然无法将纠缠引入方差的不确定关系中;2)熵的形式的不确定关系过于单一.希望这两点认识可以对不确定关系的未来的发展有所帮助.

参考文献：

[15]胡孟军吕洪君.浅谈不确定性关系[J].大学物理,2013,32(2):57-58.

郑晓,马少强,张国锋.量子不确定关系[J].大学物理,2020,39(12):8-12.

基金:北京航空航天大学研究生教改:探索量子光学课研究性教学助力量子信息科技人才培养(432536)资助.