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分数阶单自由度间隙振子的受迫振动研究分析

2020-08-10 228 上传者：管理员

摘要：研究了含有分数阶微分项的单自由度间隙振子的受迫振动,利用KBM渐近法获得了系统的近似解析解。分析了分段线性系统的主共振,得到了分数阶阶次在0～2时分数阶项的统一表达式;发现分数阶微分项在分段系统中以等效线性阻尼和等效线性刚度的形式影响着系统的动力学特性,而间隙以等效非线性刚度的形式影响着系统的动力学特性。获得了主共振幅频响应的表达式,并得到了系统的稳定性条件;比较了系统主共振幅频响应的近似解析解和数值解,发现两者符合程度较高,验证了近似解析解的正确性;详细分析了分数阶项和间隙对系统主共振幅频响应的影响。研究表明KBM渐近法是分析分数阶分段光滑系统动力学的有效方法。

关键词：
KBM渐近法
主共振
分数阶微分
单自由度间隙振子
近似解析解
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间隙这一非光滑因素广泛存在于机械系统中,比如齿轮传动系统中的齿侧间隙、导杆滑块机构中的多运动副间隙、起落架系统中的扭转间隙、空间机械臂的关节间隙、共振筛内的弹簧间隙等[1,2,3,4,5]。系统结构内的间隙,是引起分段约束问题的主要因素,它会对机械系统的动力学特性产生重要的影响,因此吸引了许多学者对含间隙系统的动力学行为进行研究。例如,吴志强等[6]分析了含非连续阻尼的单自由度分段线性系统的振动性能。丁旺才等[7]应用理论分析与数值模拟对两自由度含对称间隙的干摩擦振子的分叉与混沌特性进行了研究。张晨旭等[8]利用数值方法分析了齿轮传动系统分岔和混沌动力学行为。宦颂梅[9]研究了二维分段光滑系统的周期解,并确定了周期解的存在条件。Ji等[10]利用平均法研究了一类受简单分段非线性约束系统的超谐共振,并利用数值解验证了近似解析解的正确性。

近年来分数阶微积分理论的应用研究得到了快速发展[11,12,13],主要表现在分数阶的建模[14,15,16]和分数阶控制应用方面[17,18,19,20]。在黏弹性材料建模方面,分数阶模型可以用少量参数构成黏弹性材料数学模型[21,22,23],并能准确地描述黏弹性材料在大频率范围的动力学特性。因此,学者们对含有分数阶微积分的系统动力学进行了大量研究。其中,在解析研究方面,已将经典的整数阶系统非线性动力学的解析方法拓展到了分数阶系统,例如平均法[24]、KBM(Krylov-Bogoliubov-Mitropoisky)渐近法[25]、多尺度法[26]、谐波平衡法[27]等,还出现了一些改进方法,例如L-P摄动法和多尺度法相结合的方法[28]。

本文以一个分数阶单自由度间隙振子为例,利用KBM渐近法研究了系统的近似解析解,得到了系统主共振幅频响应方程。当分数阶阶次0<p<2时,得到了分数阶微分项的统一表达式。并详细地分析了分数阶微分项和间隙对系统主共振响应的影响。

1、近似解析解

含分数阶微分的单自由度间隙振子,由质量块、两个线性弹簧、线性阻尼和分数阶微分项组成,其中一个弹簧含有间隙,其物理模型如图1所示。

图1分数阶单自由度间隙振子

图1中:m为质量块的质量;k1为第一个弹簧的刚度系数;k2为第二个含间隙弹簧的刚度;c为系统的阻尼系数;Kp为分数阶微分项的系数;2d为弹簧间隙;x为位移;F0cos(ωt)为外部激励;F0为外部激励的幅值;ω为外部激励的频率;并令k=k1+k2。

系统中的分段变化的弹性力f(x),可以表示为

根据图1所示的物理坐标,可以得到系统的运动微分方程

mx⋅⋅(t)+cx˙(t)+kx+KpDp[x(t)]=F0cos(ωt)−f(x)(2)mx⋅⋅(t)+cx˙(t)+kx+ΚpDp[x(t)]=F0cos(ωt)-f(x)(2)

式中,Dp[x(t)]为x(t)关于t的p阶导数,分数阶阶次的范围限制为0<p<2,在这里采用卡普托定义,其形式为

研究系统的主共振问题,即外部激励ω接近ω0时的共振,引入ω2=ω2002+εσ(其中σ为调谐参数)来定量表示两个频率之间的接近程度,则式(5)可整理为

利用KBM渐近法求解系统的一次近似解,设式(6a)的解满足

x=acos φ,x˙=−aωsin φx=acos φ,x˙=-aωsin φ(8)

式中:φ=ωt+θ对式(6a)右侧的式子进行傅里叶级数展开时,可以将非周期函数视为周期趋近于无穷大的周期函数。于是可以得到

仅考虑a≥d的情况,则可以设φ1=arccos(d/a)是第一象限的角。因此可以得到式(9)的第一部分的积分为

为了计算式(9)的其它部分,引入了两个基本的数学公式

根据式(12)、式(13)和式(14),可推导出当0<p<2时,式(9)的第二部分可以统一表达为式(12)。

联合式(6a)、式(10)和式(12),可以得到

系统通过参数C(p)增大了系统的线性阻尼,可以将参数C(p)定义为分数阶项引起的等效线性阻尼系数;通过参数K(p)增大或减小了系统的线性刚度,可以将参数K(p)定义为分数阶项引起的等效线性刚度系数。当d=0时,有K(a)=0,此时系统为线性系统。而当d>0时,间隙d会对应不同的K(a)值,会产生非线性刚度的效果,从而可以将K(a)定义为间隙引起的等效非线性刚度系数。因此,可以将参数C定义为系统的等效线性阻尼系数,将参数K定义为系统的等效刚度系数。

2、定常解和稳定性分析

对于系统的稳态解,令a˙=0,θ˙=0a˙=0,θ˙=0,则可以得到

式中,a¯a¯和θ¯θ¯分别为系统的定常解振幅和相位。将式(18a)和式(18b)平方后相加,消除式中的θ¯θ¯,得到幅频响应方程

以及相频响应方程

接下来研究定常解的稳定性,令a=a¯+Δaa=a¯+Δa和θ=θ¯+Δθθ=θ¯+Δθ,并代入式(16)中,线性化后得到

根据式(18)消去上式中的θ¯θ¯,得到特征方程

展开行列式(22),得到系统的特征方程

3、数值解验证

为验证近似解析解的正确性,选取一组基本参数,令m=1,k1=10,k2=5,d=0.05,c=0.1,Kp=1.5,F0=2。并且分别令p=0.55,p=1,p=1.55研究系统的主共振幅频响应特性。

当p=1时,式(2)转换为整数阶系统,可以用龙格库塔法求解系统的数值解,结果如图2所示。根据式(19)可以得到p=1时系统的近似解析解(见图2)。在近似解析解求解的过程中,为了计算方便,可以对φ1=arccos(d/a)利用泰勒公式进行展开。由图2可知,近似解析解和数值解两者具有很高的符合度。

图2p=1时数值解和近似解析解的比较

当p=0.55和p=1.55时,求解分数阶微分方程,本文采用Petras研究中介绍的幂级数方法计算式(2),式(2)可以表示为

当0<p<1时,有

z(tn)=[y(tn)]h1−p−∑j=1nC1−pjz(tn−j)z(tn)=[y(tn)]h1-p-∑j=1nCj1-pz(tn-j)(25c)

当1<p<2时,有

z(tn)=[−cy(tn)−kx(tn)−Kpz(tn−1)+F0cos(ωtn)−f(x(tn))]h2−pm−∑j=1nC2−pjy(tn−1) (25d)z(tn)=[-cy(tn)-kx(tn)-Κpz(tn-1)+F0cos(ωtn)-f(x(tn))]h2-pm-∑j=1nCj2-py(tn-1) (25d)

式中:tn=nh为时间采样点;h为采样时间步长;Cpjjp为分数阶二项式系数,并且具有下述递推关系

Cp0=1,Cpj=(1−1+pj)Cpj−1C0p=1,Cjp=(1-1+pj)Cj-1p(26)

计算过程中,时间步长设定为h=0.00314,计算时间为188.5s,并取后75.4s响应的最大值作为稳态响应振幅,当p=0.55和p=1.55时所得数值计算结果,如图3和图4所示。并根据式(19)得到系统的近似解析解,计算结果也分别显示到图3和图4中。从图3和图4可知,数值解和近似解析解具有较高的符合度。

图3p=0.55时数值解和近似解析解的比较

图4p=1.55时数值解和近似解析解的比较

4、系统参数对幅频响应的影响

4.1 分数阶项对幅频响应的影响

由于分数阶项会导致系统产生等效阻尼和等效刚度,因此对系统幅频响应有重要的影响。当p=0～2变化时,根据式(19),当得到不同分数阶阶次下系统的最大幅频响应振幅曲线和系统的主共振频率曲线,分别如图5和图6所示。图中令amax表示最大幅频响应振幅,ωr为系统的主共振频率。由图5可知,随着分数阶阶次的增大,系统的最大幅频响应振幅先急剧减小然后缓慢减小,之后缓慢的增大,当p接近于2时,又开始急剧的增大。由图6可知,随着分数阶阶次的增大,系统的共振频率先略有增大,然后逐渐减小。

图5p变化时的最大响应振幅曲线

图6p变化时的共振频率曲线

当分数阶阶次取定值p=0.55,分数阶项的系数Kp分别取0.25,0.90,1.51时,根据式(19)绘制系统的幅频响应曲线,如图7所示。从图7可知,当Kp逐渐增大时,由于等效线性阻尼在逐渐增大,因此使系统的共振振幅减小;同时,由于系统的等效线性刚度逐渐增大,系统的主共振频率也逐渐增大。

图7Kp变化时的幅频响应曲线

4.2 间隙对幅频响应的影响

当分数阶项的阶次和系数分别取定值p=0.5,Kp=1.5时,研究间隙d对主共振幅频响应特性的影响。当d的取值分别为0,0.08,0.15时,其幅频响应曲线如图8所示。随着间隙的增大,系统的主共振频率逐渐减小,同时系统的主共振振幅也有小幅度的增大。这说明分段线性系统的固有频率与间隙d相关。在实际工程应用中,例如非线性共振筛可以通过增大冲击间隙参数增大振动的幅值,以改善工作状况[30];而在复合行星齿轮传动系统中,当负载扭矩较小时,增大齿侧间隙可以使系统表现出更为明显的非线性振动特征[30]。

图8d变化时的幅频响应曲线

5、结论

本文研究了含分数阶微分的分段线性系统的受迫振动,利用KBM渐近法得到了系统的近似解析解,并用数值解的结果验证了不同阶次时近似解析解的正确性。

(1)分析了分数阶微分项对分段线性系统幅频响应特性的影响,以及间隙对系统幅频响应特性的影响。得到了分数阶阶次在0～2的最大幅频响应振幅曲线和主共振频率曲线。

(2)从理论分析的角度揭示了分数阶微分项以等效线性刚度和等效线性阻尼的形式,以及间隙以等效非线性刚度的形式影响系统的动力学特性。

(3)本文的研究方法也为其它含分数阶微分的分段线性或非线性系统的研究提供了参考。

参考文献：

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牛江川,赵志爽,邢海军,申永军.分数阶单自由度间隙振子的受迫振动[J].振动与冲击,2020,39(14):251-256+284.

基金:国家自然科学基金(11872254;11802183);石家庄铁道大学在读研究生创新能力培养资助项目(YC2019035).

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