1、引言

现实城市复杂系统中存有大量无尺度（Scalefree）现象[1,2]，应用传统概率论或统计学方法无法有效量度其特征形态。分形（Fractal）被定义为系统某个层次的组织结构以某种方式与整体相似的一种形体[3]，实质上是联系着复杂网络递阶结构（CascadeStructure）的等级体系（Hierarchy)[4]，可用于隐喻城市地理系统的空间循环细分[5]。这对城市形态演变规律的探索发挥着重要作用。聚焦我国城市空间，经济文化结构和社会生产方式的不断发展推动城市逐渐走向高级阶段。然而城市空间快速扩张却带来国土空间开发利用中无序低效的问题[6,7]，这被直接映射在城市的生长与形态中[8]，解析其分形结构特征无疑就可以透射城市规模扩张下隐含的实际发展态势，进而评判其健康与否[9,10]。

相关研究至今已取得长足发展。国际研究着重于分形理论模型优化，对多分形现象已有初步涉及，并尝试将城市分形结构与系统动力学进行关联分析[11,12]。研究尺度呈两极分化，大至世界版图[13]，小至社区街道[14,15]。如Batty[16]从理论高度深入剖析，阐明城市空间紧凑布局和无序扩张现象的实质是对空间的激烈竞争，城市分形结构自下而上递阶演化的思想是更有效更现实的城市规划理论；Oppong等[15]利用分形结构解析街区布局特点，由此探索在城市设计和建筑形态中分形理论的适用性。而我国国内研究则以枚举实例为主，理论推演为辅，研究区域集中于大型城市和城市群[17,18]。如张凤等和赵静湉等[19,20]分别从径向维数和双分形特征着手，探讨京津冀城市群空间形态格局及其演变特征；陈彦光等[9,21]为理论模型中的统计标准、标度区识别、分形类别划分厘清了思路；秦静等[22]提出了一种三维盒维数计算方法，尝试将城市形态分形维数扩展到三维空间。

值得肯定的是，城市生长与形态演化的模拟量测一直是城市地理研究学者关注的重点内容[23]，产生的大量阶段成果确实为整治和预防我国城市无序扩张蔓延提供了帮助[24,25]。然而由于应用分形理论相关模型测算分析的门槛较高，经验判别仍是确定半径法标度区范围的主要处理手段[17,19]。如何精确识别该范围的界线是当前模型应用的一大瓶颈。此外，数据获取与测算的复杂性导致以往研究大多仅应用单一分形模型测度，城市职能用地分类层面的计算也较少进行[20,22,24]。限于上述问题的制约，分形模型的应用成果总是较为宏观，当指导具体实践层面的城市规划管理时经常感到乏力[26]。基于此，本文以城市分形理论的模型优化为核心，借表征城市空间形态的径向维数与网格维数的双重解析，形成针对城市职能用地形态演变的完整逻辑框架。通过对城市生长演化典型代表郑州市的实证案例测算分析，验证本文提出的二阶导数自动识别半径法标度区范围方法的有效性。由此探讨城市发展演进过程隐含的结构性及功能性问题，为探寻分形城市系统的综合优化方案给予理论参考和方法启示。

2、研究方法

2.1分形标度律模型

分形维数（FractalDimension）是一种描述不规则几何形态对象的自相似层次结构的特征指数，学界常用于判断城市空间结构。基础分形模型可表示为：

式中：M(r)为测度；r为对应尺度；D为分维值。若研究区域存在一组特定标度律（ScalingLaw），其标度之间服从负幂律分布关系——即对确定尺度r，存在相应于该尺度的唯一测度M(r)，则可以推断该测量体具有分形特征：其空间结构不随尺度变化而变化。

(1）半径法分形模型

半径法分形模型基于距离衰减律定义，从密度特征的统计自相似角度描述系统要素向心聚集的程度[17]，所得分维称为径向维数。该方法测算分维需要以城市中心为圆心作系列同心圆，确定每个定义的半径r的相应测度，即圆内城市职能用地面积A(r)。若存在面积—半径标度关系，以双对数形式处理，可得：

式中：A(r)为累计面积；A0为比例系数。利用最小二乘法对测量尺度r与相应测度A(r)进行线性回归，其斜率的绝对值|-D|就是径向维数。径向维数表征城市职能用地密度从中心向周边衰减的相对速率。对应城市中心到外围趋向，其维数值大小意义为：D>2表明密度递增；D=2表明密度无变化；D<2表明密度递减[19]。

(2）计盒法分形模型

计盒法分形模型反映复杂形体占有空间有效性信息，以此对研究区城市职能用地空间布局的均衡度、复杂性做出判别[22]。本文空间度量以网格形式处理，所得分维称为网格维数。其基本思想是以不同尺度r的盒子对研究区域进行覆盖，统计最佳完全覆盖下对应的标尺数量，即非空盒子数N(r)，如表1。假定该研究区域形态具有标度性，将计盒法模型也变化为双对数形式：

式中：N0为比例系数。同用最小二乘法处理，可获得对应网格维数|-D|。二维欧式维数（D0=2）为网格维数上限值，测得分维值愈高表明其空间分布愈均匀，越低表征其聚集性越强[5]，对应功能区分异越明显。

值得注意的是，城市空间并不是数学意义的标准自相似分形结构。人为规定的前几步与末尾几步常因尺度过大或过小而使标度关系失效[18]，相应地会使得测量体与分形体的吻合不理想。为了克服由此导致的拟合结果的不稳定，目前学界普遍认为城市空间形态的分形结构仅存在于相应标度区内[9]。再者，因为可能具有多分形（Multi-fractal）或自仿射（Self-affine）性质，现实城市空间大多具有双标度甚至更多特征[21]。在半径法模型中称靠近圆心部分为第一标度区，为城市形态演化特征识别有效区域；外围部分为第二标度区，代指城乡过渡地带。本文中仅识别其第一标度区，下文以标度区简称。

表11982—2020年郑州总职能用地不同尺度下非空网格数汇总

2.2模型改进

理论上针对某一确定研究区域，其网格维数和径向维数应数值相同，其演进规律可互为参照[8]，但实际测算中经常存有一定差异，这主要是由于多分形和自仿射性质。在已有研究中，计盒法相关模型被广为研讨，量测方法已较为清晰，半径法测度结果则因标度区界限确定不清而存有差异。仅就本文数据，网格维数的拟合优度R2普遍较高，径向维数则总是不尽人意。为寻求其半径法标度区范围，本文尝试参照以往文献中密度—半径双对数处理方法[17,19]，结果稍有提升但仍不显著。

为更客观准确判断半径法标度区界线，本文中应用lnr-lnA(r)二阶求导方法进行自动识别[27]。将标度r与相应测度A(r)进行双对数处理，在坐标轴显示近似为一条直线。对其拟合后直线求一阶导数，得（lnri,lnA(ri)）点的局部斜率ln'A(ri)，各点局部斜率均在一定范围内存在波动，如式(4)。对其再次求取二阶导数ln"A(ri)以确定其波动幅度。因二阶导数为一阶导数的变化率，数值实际在0值上下微幅变化，如式（5）。

式中：ri+1和ri-1分别为尺度ri对应的前一个和后一个尺度；n为lnr-lnA(r)曲线中点列总数。因标准分形结构中lnr-lnA(r)曲线为一条直线，即（lnri,lnA(ri)）点局部斜率变化率均为0。实际上可将问题聚焦于如何能够使lnr-ln"A(r)曲线在限制各点波动程度的基础上包含尽可能多的点列。计算二阶导数与x轴合围面积可以很好实现上述要求。

具体识别方法如下：设标度区从第j个点起始(3≤j≤n-m-1)，共计m组点列(3≤m≤n-5)，对应点列坐标为(lnri,lnA(ri))(i=j,j+1,…,j+m-1)，则上述m个点合围x轴的面积S(m,j)如式（6）。显然，若固定m值，S(m,j)值愈小表明相应点列组合愈近似理想分形。换言之，当预设S(m,j)最大不得超过阈值μ时，尽可能大的点数m对应的连续点列即为标度区。本文选取阈值μ=1。

以郑州各时段总数据为例，其识别效果如图1显示。实际测算中可能出现几组点数均为m的点列同时满足条件，此时应参照线性拟合优度R2值的高低进行二次判别。在后续研究中亦可参照此方法进行第二标度区的界定工作。

2.3实验区概况与数据源

郑州是河南省省会城市、中原经济区的核心城市和中部地区重要的工业城市，更是交汇陇海铁路、京广铁路，贯穿京港澳高速公路、连霍高速公路等诸多线路的国家重要交通通讯枢纽和九大国家中心城市之一，现已跃升成为国家新一线城市。其地处中国地理中心区域，人口数量及密度常年居全国前列，城市发展在改革开放后的40年也有着剧烈变化。1978—2018年郑州市生产总值从20.3亿元升至10143.3亿元，人口数量从437.9万人升至1013.6万人，是极具我国城市生长及形态快速演化特征的典型地区[28]。因其人口快速增长和经济发展的需求，在过去的几十年间郑州城市用地面积不可避免的持续增加，各类开发区等新建城区不断涌现，城市景观日趋致密。其与全国规模相近的大、中城市普遍存有着人口城镇化滞后空间城镇化的发展无序性问题[29]，本研究具有普适借鉴意义。

故本文选取郑州市城市建成区作为研究区域，研究时段为1982—2020年。影像数据来源包括从地理空间数据云（http://www.gscloud.cn/）获取的1988年、2004年Landsat5TM、2018年Landsat8OLI＿TIRS的郑州景30m空间分辨率卫星遥感图像，通过监督分类解译处理以获取基础城区范围。职能用地分类数据来源包括《郑州市区规划总图（1982—1995年）》、《郑州城市总体规划图（1996—2010年）》、《郑州市城市总体规划（2011—2020年）》[30,31,32]，以及通过Python在高德地图中爬取（Crawl）的2018年兴趣点（PointofInterest,POI）数据[33]。实际测算主要基于ArcGIS环境进行，以遥感影像为基础底图，裁取具有职能用地分类数据的城市建成区为研究范围[24]。其中2011—2020年时段数据经2018年POI数据校正，与城区现状相符，边界与郑州市四环范围大致相同，这可同此前2个时段形成完整研究时序。职能用地类型统一聚合为6类：商业服务业用地、公共设施用地、绿地广场用地、工业用地、居住用地、物流仓储用地，如图2。

图11982—2020年郑州总职能用地半径法分形结构双对数拟合效果对比

3、结果及分析

3.1模型测算结果

本文测算所得数据中，半径法全部点列的拟合优度R2值均在0.920以上（表2），而二阶导数方法自动识别所得标度区的拟合优度R2值均在0.996以上（表3），拟合效果较前者有显著提高。因点列数据过少，1982—1995年的物流仓储类用地不计入参考。由于半径法下的判别标准未定，本文参照Benguigui在2000年根据计盒法所提城市形态分形结构判别标准——R2>0.996[13]对所选标度区进行验证。结果显示二阶求导的半径法标度区界线确定方法在郑州实证应用中验证有效。该方法提供了一种新的标度区识别思路——以往研究均从全部标度序列的首个点开始记入测算。

对比分析标度区精确界定前后结果（表2、表3），可以发现：(1)仅总数据和居住用地类型数据径向维数在全部序列和标度区测算中差距较小。这是由于其面积足够大，其占全部职能用地面积中较大比重的标度区分布情况冲破了双对数序列中边缘个别点对拟合效果的限制，进而使测算所得径向维数差异不大。(2)绿地广场和工业两类用地的径向维数在各个时段的全部序列和标度区范围内测算中均产生较大差异，商业服务业、公共设施和物流仓储3类用地的径向维数也在部分时段的2组测算下有明显区别。其最大差值高达2.44，这对于以欧式维数D0=2为基准的分维测算无疑造成了巨大影响。(3)各类用地标度区范围与全部职能用地范围存在很大出入，实际上仅在不足总面积1/2的比重下拟合有效。这隐含着可能反向判定城市生长与形态演变趋势的弊病。在郑州实践测算中，公共设施、绿地广场和物流仓储3类用地均产生上述反向结果，即同组数据在经典全部序列测算和改进标度区范围测算下的分维值与D0=2的差值分别呈现正、负2种结果。这再次佐证了标度区界线识别工作的必要性，尤其在城市空间分析中，演化方向的准确性是研究开展的首要条件。

图21982—2020年郑州城市建成区职能用地空间分布

表21982—2020年郑州职能用地全部序列径向维数测算结果

表31982—2020年郑州职能用地径向维数测算结果及对应标度区范围

注：表中标度区范围并不从中心原点起算。以1982—1995年总数据为例，其范围为从距离圆心1.5km的区域开始至距离圆心5.5km的区域为止的圆环中包含的全部地块。

计盒法全部点列的拟合优度R2值均大于0.996。同样以R2>0.996的标准进行判别，可验证该组网格维数均可接受。针对计盒法测算结果值无需二次标度区识别的情况，可能是设定网格参数未达城市分形体的上下限尺度所导致的，即所测标度序列均属标度区范围内部，网格维数可直接应用。

总数据的分维数值在径向维数和网格维数中差别较小，集中分布于1.92～1.99之间，随时间推进呈增加态势。参考Batty等[8]的大量研究测算结果，D=1.71左右被认为是二维城市形态的分维期望数值，该数值表征的实际城市结构最为健康，是其反复波动演化的最终理想状态[13]。若明显高于1.71代表研究区域布局混乱无序，功能分异程度过小，各类用地实际利用率不高；若显著低于1.71代表研究区域用地分布高度聚集，空间大程度分异，牺牲了城市整体的有机联系。由此可进行初步判断：郑州大体为中心蔓延模式扩张，中心区域活动密度较大，城市演化过程活跃，而同时其职能用地空间布局均匀度偏高，功能分区现象不显著。其中心区域用地高度利用的城市形态无疑会存在缺乏缓冲的空地与待开放地区的隐患，进而导致其应对外来冲击的回旋余地和缓冲能力受限，间接制约后续城区结构改进、生态环境修复、抗灾防护设施修建等工作的进行[34]，这是今后需重点规划优化的区域。

3.2径向维数时空演化特征

3.2.1职能用地向心聚集演化趋势分析

仅观测表3各时段下径向维数数值：在整体层面，用地分布总是较为均衡，且其均匀程度呈缓慢增强趋向。在局部各职能用地层面，各类型密度演变的态势则大有不同。商业服务业用地的径向维数大幅减少，从大于二维欧式维数的3.28直降至1.41，空间布局由分散逐渐向极化形态转变。相应的商务办公与购物休闲产业为了与市场需求协调发展而愈发趋向中心布局。绿地广场用地的径向维数先显著上升后显著下降，反映郑州的绿化建设在原本的均匀分布基础上首先增加了大量外围生态绿地，近年又开始注重城市中心的生态改善工作，总体呈现较好的发展态势。工业从上世纪末至21世纪初一直是郑州的主要发展要素之一。在1982—2010年其分维值由1.98明显变化至1.18，分布有向心趋势。然而在近年城市规划等的用地类型和面积的限制下，近乎全部工业设施搬离至外围城区甚至其他地区，该用地呈现明显边缘分布形态。物流仓储职能用地则多数沿交通线路廊道布局，依附郑州市的交通枢纽城市功能呈轴线式扩张。在1982—2010年物流仓储行业仅在郑州火车站、客运站等大型运输中心周边集中分布，为中心集聚。而2011—2020年由于郑州东站、新郑机场等兼具货运功能的流通中心陆续建成升级，以及快递邮政行业的极速兴起，其实际形态演变为城区内部零散分布。公共服务、居住用地的径向维数无明显变化，其中公共服务职能用地稍向中心集聚，居住用地略有外围分布倾向。与全国其他大中型城市相似地是，郑州市地价房价呈明显持续增幅的现实是居住外迁的最大可能原因。

3.2.2职能用地标度区空间布局演化趋势分析

在径向维数所表征的密度分布时间演化基础上，将其标度区空间范围要素列入考虑：郑州市最中心区域在各类型用地中均未与半径法分形模型达成较好拟合。这可能与其经济活动密度的持续增长有密切关联，由此产生的系统复杂度高值使其超出自相似分形结构的规律适用范围[28]。半径法模型实际仅在“城市中心边缘—建成区内侧”的环状范围拟合有效，且不同职能类型标度区范围差异显著。以2011—2020年数据为例，其标度区范围如图3所示。

在整体层面，随时间推进，标度区界线的上限数值大幅增加，即城市生长扩张趋势明显。而且在其扩张形成的新城区范围内，总体用地面积仍呈均匀分布。在局部层面，各类型标度区范围差异较大。(1)1982—1995年和2011—2020年的各职能用地标度区均包含于总体用地的标度区范围内部，表明在上述2个时段内城市整体发展与各类型发展步伐较为一致。而1996—2010年时段工业用地的标度区部分超出总体标度区范围。结合其径向维数数值能够发现其虽有向心聚集趋势，但实际布局区域已溢出城区重点发展地区，仅是其在向外围迁移过程中希望尽可能靠近城市中心定址行为的表现结果。(2)标度区范围随时间呈增加趋势。公共服务、居住和绿地广场用地标度区范围增加显著，商业服务业和物流仓储用地的标度区范围大小虽无明显变化，距中心距离有所增加，但均分布在总数据标度区范围内。上述5类用地皆追随城市生长扩张进行同步发展。而工业用地标度区范围波动较大，最终稍有减少。这暗示着郑州工业的发展空间受限，但考虑到其固有的生产特性极可能产生对环境的负效应，这种发展形式是可以接受的。

图32011—2020年郑州职能用地标度区空间范围

3.3网格维数时空演化特征

3.3.1职能用地分时段空间分异特征

观察表4网格维数，城市中各职能类型的网格维数均小于总体用地所测算值，符合已被广为验证的城市空间形态分维包容原理[1]。初步证明其存有功能分异现象，各类用地显现不同程度的集约分布。

1982—1995年绿地广场用地与物流仓储用地的聚集倾向最为显著，其它类型亦有集中迹象但不明显，总体看来较为合理。这是郑州市原始城区框架下的功能空间配置状态的直观反映。1996—2010年商业服务业用地与物流仓储用地聚集性稍强。在此期间诸多商厦、购物广场和写字楼等休闲和商务产业在郑州三环范围内集中布局扩建，连锁消费效应持续累加，形成二七广场、万达广场等少数几处大型购物中心；物流仓储用地依旧强力依附于交通设施，形态呈现为区域分布。2011—2020年物流仓储用地显示为高度聚集，工业用地的聚集程度也较高，公共服务用地则在一定程度上均匀分布。限于城市规划协调，工业行业多建址于河南郑州出口加工区、郑东新区等工业园区和开发区中，这在一定程度提高了其系统效率。而物流仓储因大型储物库所的必要需求和多分区独立运行的固有模式，使得其在小区域内部集聚，总体则为区域布局形态。

3.3.2职能用地空间分异动态演化特征

从整体角度分析，总职能用地主要以建成区边缘填充的扩张方式为主，其网格维数始终过高且呈增加趋势，城市空间演化至接近欧式几何形态。其城市体系相应地有结构性的均匀分布倾向，长期存有功能紊乱无序的隐患。

表41982—2020年郑州职能用地网格维数测算结果

从各职能用地角度分析：工业和物流仓储用地的网格维数呈下降趋向，其中物流仓储用地的变化非常明显。这反映出在政府政策引导下，这两类产业的相关企业为收获聚集所附加的乘数效应，大多自发推动其集群分布。但从2011—2020年的最终分维值结果看来，其分异程度已明显过度，这种模式是在以牺牲系统内在联系为代价获取一定短期收益。若想要长远稳定发展，则应避免职住分离等系列现实问题，从空间联系和协作关系角度着手进行系统再优化[35]。绿地广场用地的网格维数从偏小数值逐步回升至1.7左右。此演化趋势揭示了郑州生态绿植工作的稳步开展，其产业经济效益与人地关系和谐发展之间在不断进行协调权衡。现阶段其绿化分布维持在较为合理的范围内，这可以为后续城市结构和功能优化提供强大支撑。公共设施、居住、商业服务业类型用地网格维数基本持平，对应空间配置情况均属合适范畴。而以演变趋势分析，则前二者布局偏均匀，复杂度稍高，而商业服务业用地布局集聚现象略明显，交互联系稍弱，系统结构均可进一步提升。

4、讨论

在郑州城市生长与形态的分维测算及分形特征分析过程中以下问题值得探讨：

(1）数据质量的有效性。首先，本组数据所达极限并不意味着达到该城市分形结构体的尺度极限，如果获取高分辨率遥感影像继续细化基础地块数据，该尺度完全可以再进行一定发展，直至分形结构最小单元界限。其次，本文中城市建成区的选取标准主要基于遥感图像中连绵城区叠合城市中心用地规划图，带有一定主观色彩，这部分可参考城市中心区域识别方法进行改进。此外，城市扩张存有大量不规则生长现象，这无疑使得测算结果会与现实社会存有差异。元胞自动机模型和城市演化树等[36]前沿方法中基于递阶结构和集群状态的思想也聚焦于空间要素的组织秩序，与城市分形结构有异曲同工之意。这些方法的集成综合深入探究城市空间结构提供可能。

(2）模型改进的实践意义。以郑州市测算为例，城市最中心区域活动密度居高不下，空间形态复杂性明显偏高，其径向维数测算的双标度趋势验证了这一观点。中心区域与半径法分形模型的吻合效果并不理想，实际在第一标度区中仅“城市中心边缘—建成区内侧”的环状范围拟合有效。而该现象隐含着城市内部布局不协调的现实问题，城市中心布局的优化改进是重中之重。值得注意的是，半径法分形模型的适用范围不应是以往研究中简单概述的从圆心起算的城市建成区范围。标度区上下区间的确定是研究开展的首要任务，而余下区域的模型拟合可结合复杂系统多分维谱等信息继续构建[21]。二阶导数自动识别半径法标度区界线的方法目前仅就郑州市展开实践验证，是否可推广至普遍适用还待继续探索。

(3）郑州城市生长和形态演变机理。综合上述研究结果和郑州城市发展现实，其空间格局背后的成因机制可归并为土地城镇化、经济城镇化、人口城镇化及城市规划导向的协同效应。土地城镇化带来城市空间的持续扩张，城市演化呈现中心蔓延模式，这是分形结构总体框架的根源。经济城镇化趋势与中心城区“退二进三”等导向叠合作用，导致城市产业空间频繁且剧烈地发生演变，用地布局随之变动。这集中反映在商服和工业用地分维数值变化中。人口城镇化是人们对生活品质舒适度和发展需求紧迫度做出响应的必然结果，也促进了城市规划中对于城市格局公平与效率的重新思考。这在与民生紧密关联的公共设施、绿地广场和居住用地中表现最为强烈。后续可在此基础上以定量研究方式详细探究其影响程度。

(4）分形理论可用于评判城市健康状况，进而指导国土空间规划优化。具体提出以下政策建议：(1)重构结合现实需求和人地关系的用地分类。边缘新建城区广泛存在大面积同类地块或空地，可考虑完善其基础服务设施和生态绿地，联合优惠政策共同牵引，缓和中心主城区建筑拥堵、无序近域扩张现象。(2)全域预先留有一定冗余区域，保证后续韧性城市改建、抗灾、生态修复的可能。城市空间高度紧凑会加重城市视觉景观紊乱，使得生境发生破碎，产生严重的生态负效应，更在无形中降低城市的适应力和恢复力[34]。(3)平衡功能分区与综合多功能区，有效衔接职住用地。确定一个地块的主导职能作为其发展主导力量，并尝试增设更多关联行业及基础生活设施，使其共同形成良性循环，互相促进。

5、结论

论文解决了分形模型在实际应用中存在的标度区界定模糊的问题，并在此基础上以半径法和计盒法结合的双维分形结构改进模型对郑州城市空间生长形态做出推演，进而探讨如何实现城市体系中整体有机健康发展与局部职能效率提升的最好协调。但这实际上是相互制约的两种系统结构优化思路。若各职能类型的空间发育呈明显集群状态，城市自组织关系就相应变得薄弱，各方位联系减少，城市活力受到抑制。反之若仅追求综合效能，功能分异程度过小，常会使得城市形态表现为高度均匀，系统趋于混沌与无序，表现为用地粗放、功能空间紊乱。理想的城市系统应维持在混沌与有序之间，存有功能分异，又能在每个小功能区域中发现其他职能类型的“缩影”，形态维数趋向并波动于1.71左右。但城市自组织过程常缓慢并缺乏共性，适当的政府干预和宏观调控则可使其事半功倍。这就要求政府相关决策规划人员拥有一定系统学基础，能够理解应用分形理论思想指导实践。具体而言，论文主要结论如下：

(1）引入二阶导数方法实现半径法下标度区界线的自动精准识别，优化分形模型拟合效果。此方法应用在城市生长模拟，特别是城市空间结构演变时具有明显优势，可以评判其扩张速度及方式，进而评价城市的健康性。这对半径法分形模型中拟合精度难以提升的应用瓶颈作出了突破性尝试，其识别所得各时段标度区与以往研究测算范围有所区别，并非从圆心起算。所得标度区的拟合优度R2均大于0.996，远高于全部点列对应数值0.920，与分形体吻合效果有显著提升，方法验证有效。

(2）城市空间结构存有双标度现象。现实城市系统演化过程中，由于发展需求与步调不一致，在不同方向、不同区域、不同层次结构上经常存有不同生长概率和速度，即交织有自仿射生长或随机多分形等特征，郑州市径向维数测算的双标度为表现之一。实测中，其仅在“城市中心边缘—建成区内侧”的环状范围与半径法模型契合，城市中心与外围呈现二元化分布格局，系统间交互联系不平衡。这会间接造成城市健康状况的隐患，郑州城市空间结构仍可进一步细化升级。

(3）借助改进的分形标度律双维模型从综合视角分析郑州城市生长演变。在1982—2020年郑州城市形态演化总体为明显的中心蔓延模式，职能用地类型布局虽有功能分异，但整体趋向于逐渐均匀，系统效率不高。商业服务业的发展态势在逐步向中心转移，集群产生的乘数效应是其重大推力之一。公共设施安置略有向心聚集的特征，居民住宅则在城市中环密度较大，这两类用地的空间布局均匀度皆可与居民需求形成良好互动。绿地广场分布的集群现象在逐渐削弱，这可以更公平地满足人们生活实际需要，但在城市边缘区域建设仍有不足。工业的发展特性导致其选址呈现强烈的外围布局趋势，并且和物流仓储用地一样存在着区域布局的集聚态势。

参考文献：

[1]陈彦光,刘明华.城市土地利用结构的熵值定律[J].人文地理,2001,16(4):20-24.

[2]宋长青,程昌秀,史培军.新时代地理复杂性的内涵[J].地理学报,2018,73(7):1204-1213.

[5]李亚桐,张丽君.基于三维盒维值算法的城市空间形态分形研究[J].现代城市研究,2019,34(4):92-99.

[7]姚士谋,张平宇,余成,等.中国新型城镇化理论与实践问题[J].地理科学,2016,34(6):641-647.

[9]陈彦光.城市形态的分维估算与分形判定[J].地理科学进展,2017,36(5):529-539.

[10]杨清可,段学军,王磊,等.基于"三生空间"的土地利用转型与生态环境效应:以长江三角洲核心区为例[J].地理科学,2018,38(1):97-106.

[17]姜世国,周一星.北京城市形态的分形集聚特征及其实践意义[J].地理研究,2006,25(2):204-212.

[18]宋辞,裴韬.北京市多尺度中心特征识别与群聚模式发现[J].地球信息科学学报,2019,21(3):384-397.

[19]张凤,陈彦光,李晓松.京津冀城市生长和形态的径向维数分析[J].地理科学进展,2019,38(1):67-78.

[20]赵静湉,陈彦光,李双成.京津冀城市用地形态的双分形特征及其演化[J].地理科学进展,2019,38(1):79-89.

[21]陈彦光.城市地理研究中的单分形､多分形和自仿射分形[J].地理科学进展,2019,38(1):40-51.

[22]秦静,方创琳,王洋,等.基于三维计盒法的城市空间形态分维计算和分析[J].地理研究,2015,34(1):85-96.

[24]刘勇洪,徐永明.利用分形的北京城市空间拓展分析[J].测绘科学,2015,40(10):30-36.

[25]段非,王钧,蔡爱玲,等.重庆两江新区空间结构演变驱动机制分析与过程模拟[J].地球信息科学学报,2019,21(8):1254-1264.

[26]田达睿.复杂性科学在城镇空间研究中的应用综述与展望[J].城市发展研究,2019,26(04):25-30.

[27]王成栋,凌丹,苗强.分形无标度区的一种自动识别方法[J].计算机工程与应用,2012,48(6):9-12.

[28]魏建飞,刘晓阳,丁志伟.中国中部地区城镇体系规模结构演变[J].地域研究与开发,2019,38(2):66-72.

[29]安俞静,刘静玉,刘梦丽,等.河南省人口—空间城镇化耦合协调的多尺度时空格局研究[J].现代城市研究,2018,33(5):115-123.

[30]郑州市人民政府.郑州市区规划(1982-1995年)[EB/OL].[1984-01-11].

[31]郑州市人民政府.郑州城市总体规划(1995-2010年)[EB/OL].[1998-12-13].

[32]郑州市人民政府.郑州市城市总体规划(2010-2020年)[EB/OL].[2010-08-19].

[34]修春亮,魏冶,王绮.基于"规模—密度—形态"的大连市城市韧性评估[J].地理学报,2018,73(12):2315-2328.

[35]张丽英,裴韬,陈宜金,等.基于街景图像的城市环境评价研究综述[J].地球信息科学学报,2019,21(1):46-58.

李亚桐,张丽君,叶士琳,祁新华.城市生长与形态双维分形模型改进及应用[J].地球信息科学学报,2020,22(11):2140-2151.

基金:国家自然科学基金项目(41901138､41671536);教育部人文社会科学研究青年基金项目(19YJCZH225).