滚动轴承健康状态对机电设备的性能、稳定性和使用寿命有巨大影响,若其发生故障将影响设备的正常工作,造成巨大的经济损失甚至人员伤亡。近年来,随着设备不断趋于智能化、复杂化,准确识别轴承故障及严重程度变得非常重要。传统的定期维修需消耗大量的人力物力,且难以实现设备的实时监控。因此实时监测、识别、轴承故障类别、判断故障严重程度对保障设备长期安全可靠运行,具有重要意义。

随着AI的兴起,智能故障诊断方法逐渐成为故障诊断领域的主流算法[1]。Ali等[2]对轴承振动信号进行经验模态分解(EmpiricalModeDecomposition,EMD),提取得到的固有模态函数(IntrinsicModeFunction,IMF)的特征,再用人工神经网络进行故障诊断;姚亚夫等[3]使用EMD对轴承振动信号进行处理,提取瞬时能量熵作为特征,结合支持向量机(SupportVectorMachine,SVM)实现轴承故障诊断。Zhang等[4]使用集合经验模态分解(EnsembleEmpiricalModeDecomposition,EEMD)处理轴承振动信号,并提取分解得到的IMF的置换熵作为输入特征,训练SVM实现对轴承的故障诊断。Fu等[5]使用变分模态分解(VariationalModeDecomposition,VMD)处理轴承振动信号,提取精细散布熵作为输入特征,结合改进的SVM模型对不同载荷下不同故障尺寸的轴承进行故障诊断。上述结果表明这类方法能够有效地识别轴承正常状态、内圈故障、外圈故障以及滚珠故障,在少量样本下也能进行训练分类。近年来深度学习已引入到机械设备故障诊断领域,Tamilselvan等[6]提出了基于深度置信网络(DeepBeliefNetwork,DBN)的故障诊断方法,验证了深度学习方法在故障诊断方面的优势。Lu等[7]提出了一种基于卷积神经网络(ConvolutionalNeuralNetwork,CNN)的轴承故障诊断方法,诊断不同载荷下的轴承故障,且该方法具有较好的鲁棒性。Sadoughi等[8]结合卷积神经网络和轴承振动信号的相关物理参数及特征参数构建一种基于物理的卷积神经网络(Physics-BasedConvolutionalNeuralNetwork,PCNN)诊断方法,诊断结果表明该方法能实现不同转速下的故障诊断,但该方法需要预先计算故障特征频率并将其作为预定输入馈送到PCNN模型中。李恒等[9]对轴承振动信号进行短时傅里叶变换(Short-timeFourierTransform,STFT)得到包含时域及频域信息的特征谱,并将其作为CNN的输入训练轴承故障诊断分类模型,诊断结果表明该方法能在大数据集下对变转速工况下的轴承进行故障识别。这类基于深度学习的轴承故障诊断方法据有一定的鲁棒性,能实现复杂工况下的轴承故障诊断,但需要大量的故障样本进行特征学习,且模型训练更新耗费时间较长,同时无法保证在小样本下仍具有良好的特征学习能力。此外上述方法均是对内圈,外圈和滚动体上的单点故障进行诊断分类,而未对多点故障及复合类型故障进行诊断分类研究。

基于上述研究现状,本文提出一种基于广义回归神经网络-柔性最大值(GeneralRegressionNeuralNetwork-SOFTMAX,GRNN-SOFTMAX)分类模型的滚动轴承故障诊断方法。广义回归神经网络(GeneralRegressionNeuralNetwork,GRNN)是一种具有良好的逼近能力,分类能力,学习速度的神经网络模型,且在样本数据相对较少时,预测效果也比较好[10],常用于建立回归预测模型。将GRNN神经网络与柔性最大值归一化结合,构建GRNN-SOFTMAX分类模型,在此基础上引入灰狼优化算法(GreyWolfOptimizer,GWO),优选模型关键参数,实现轴承故障特征有效诊断与分类。结果表明,本文所提方法不仅在小样本训练集下有较高的分类准确率,且兼具较好的鲁棒性,适用于实际工况下的轴承故障识别与诊断。

1、GRNN-SOFTMAX分类模型

1.1 广义回归神经网络

GRNN神经网络是径向基神经网络的一种,网络结构如图1所示。它由四层构成,分别为输入层、模式层、求和层和输出层。对应网络输入为R维向量X,输出为K维向量Y。

输入层神经元的数目等于学习样本中输入向量的维数,各神经元直接将输入变量传递给模式层。模式层神经元数目等于学习样本的数目,各神经元对应不同的样本。求和层中使用神经元进行求和。输出层中的神经元数目等于学习样本中输出向量的维数。

图1GRNN神经网络结构图

GRNN神经网络的理论基础是非线性回归分析,其具体的公式如式(1)所示,式(1)中Xi和Yi(i=1,2,…,n)表示训练样本的输入与输出,Yˆ(X)Y^(X)为神经网络对输入向量X所对应输出向量的预测值,σ为平滑因子。当σ非常大时,Yˆ(X)Y^(X)近似等于所有训练样本的平均值,预测效果较差。当σ趋向于0时,Yˆ(X)Y^(X)与训练样本非常接近,当训练样本集中包含输入向量X时,预测值较为准确,但当训练样本集中不包含输入向量X时,预测效果会变差,这种现象说明网络的泛化性能会变差。因此GRNN神经网络建立过程中需要选取合适的σ。

Yˆ(X)=∑i=1nYiexp[−(X−Xi)T(X−Xi)2σ2]∑i=1nexp[−(X−Xi)T(X−Xi)2σ2]         (1)Y^(X)=∑i=1nYiexp[-(X-Xi)Τ(X-Xi)2σ2]∑i=1nexp[-(X-Xi)Τ(X-Xi)2σ2]         (1)

1.2 柔性最大值归一化

柔性最大值(SOFTMAX)归一化层通常连接在反向传播神经网络,卷积神经网络的输出端,参与到网络训练中,用来构建多分类模型。SOFTMAX归一化层的结构示意图如图2所示。

SOFTMAX函数表达如式(2)所示,其中K为分类问题的类别数,Z为SOFTMAX的输入向量,P为输出向量,P中的每个元素值pi为输入向量隶属于类别i(i=1,2,…,K)的概率,由式(2)可知,K个pi的和为1,输出向量P为输入特征向量属于对应类别的概率分布,当给定输入时,输出向量的哪个pi最大,对应的输入向量就属于第i类。

图2SOFTMAX归一化层结构

pi=P(i)=exp(zi)∑k=1Kexp(zk)         (2)pi=Ρ(i)=exp(zi)∑k=1Κexp(zk)         (2)

1.3 GRNN-SOFTMAX分类模型建立

GRNN神经网络具有很强的非线性映射能力和柔性网络结构以及高度的容错性和鲁棒性,有一定的抗噪声干扰能力,并且在样本数据较少时,预测效果较好。然而GRNN神经网络在故障诊断领域常用于趋势预测,在故障诊断分类问题中运用较少,为使GRNN神经网络更好地用于故障类型分类问题中,提出一种GRNN-SOFTMAX分类模型。

将SOFTMAX归一化层连接在GRNN神经网络的输出层后,构建GRNN-SOFTMAX分类模型,将GRNN的非线性映射能力用于分类识别中。SOFTMAX归一化层参与到该分类模型的训练及参数寻优过程中,具体描述如下:

由式(1)可知GRNN神经网络的输出Y的值主要取决于训练样本以及平滑因子σ的选取,模型训练完成后,给定某一输入向量X,GRNN神经网络的输出向量可表达为式(3)

Y=f(X,σ)         (3)Y=f(X,σ)         (3)

将GRNN神经网络的输出Y作为SOFTMAX归一化层的输入Z,此时Z=Y=f(X,σ),Y、Z均为K维向量,K是类别数,由式(2)和式(3)可得分类模型输出向量P中的每个元素pi如式(4)所示,pi表示输入向量X隶属于类别i(i=1,2,…,K)的概率。

pi=P(i)=exp(fi(X,σ))∑k=1Kexp(fk(X,σ))         (4)pi=Ρ(i)=exp(fi(X,σ))∑k=1Κexp(fk(X,σ))         (4)

由上述内容可看出平滑因子σ是影响模型分类准确率的关键参数,搜寻σ是训练模型的关键。

在训练模型前,对数据集进行提取特征和归一化处理,并对每一类别进行one-hot编码构建类别标签。将数据分为训练集,验证集和测试集。训练集用来构建模型,验证集在模型构建过程中用于评价模型分类准确率以自适应调整参数,测试集用来评估最终模型的泛化能力。

以模型对验证集的预测输出和验证集的类别标签之间的均方误差值(验证误差M)作为评价模型分类准确率的指标,用以搜寻最合适的σ。计算公式如式(5)所示,式(5)中N表示验证集数据个数,K表示类别数,p(σ)表示给定参数σ值下模型的预测输出,q表示类别标签。验证误差越小,预测输出与类别标签就越接近,表明模型对验证集的分类准确率越高。

M(p(σ),q)=∑j=1N∑i=1K(pij(σ)−qij)2N×K         (5)Μ(p(σ),q)=∑j=1Ν∑i=1Κ(pij(σ)-qij)2Ν×Κ         (5)

综上,GRNN-SOFTMAX分类模型参数寻优数学模型如式(6)所示,σ为自变量,M为目标函数,约束条件为给定的自变量取值范围,数学模型的本质是搜寻最小目标函数所对应的自变量值。对于上述参数寻优问题,传统的网格寻优方法在处理这类问题时需要对每个网格点进行计算,且精度受到网格大小的影响。本文采用灰狼优化算法解决上述参数寻优问题,减少计算次数,避免遗漏最优解,实现全局寻优。

Find:[σ]

min:M(p(σ),q)=∑j=1N∑i=1K(pij(σ)−qij)2N×KΜ(p(σ),q)=∑j=1Ν∑i=1Κ(pij(σ)-qij)2Ν×Κ

s.t:σ>0(6)

2、灰狼优化算法

灰狼优化算法(GreyWolfOptimizer,GWO)是一种种群智能优化算法,它通过模拟灰狼群体追踪、包围、追捕、攻击等捕食行为特性达到优化搜索的目的[11]。

在GWO算法中,将距离猎物最近的前三个灰狼个体被定义为α,β,δ,在种群中它们具有最优适应度值,命名为fitness。α,β,δ领导剩余狼群向搜索区域中有希望的空间搜寻[12]。算法的三个定义如下:

定义1:灰狼与猎物间的距离。GWO算法中,需要确定灰狼个体与猎物之间的距离D,式(7)中t为当前的迭代次数,c=2·r1,r1为[0,1]之间的随机数,Hp为猎物的位置向量,H为灰狼的位置向量。

D=|c⋅Hp(t)−H(t)|         (7)D=|c⋅Ηp(t)-Η(t)|         (7)

定义2:灰狼个体位置的更新。灰狼位置更新如式(8)所示,其中A=2·a·r2-a,a从2逐渐减小到0,r2为[0,1]之间的随机数。

H(t+1)=Hp(t)−A⋅D         (8)Η(t+1)=Ηp(t)-A⋅D         (8)

定义3:猎物位置定位。在抽象搜索空间中,猎物位置未知。因此令前三个最优灰狼个体的位置代替猎物位置,迫使其他灰狼个体根据这三个最优灰狼个体的位置进行位置更新。

灰狼个体跟踪猎物方位的数学描述如下:将α,β,δ的位置Hα,Hβ,Hδ分别代替式(7)和(8)中的Hp(t)计算出Hα(t+1),Hβ(t+1),Hδ(t+1),然后由式(9)综合判断出灰狼个体的位置更新。

H(t+1)=Hα(t+1)+Hβ(t+1)+Hδ(t+1)3         (9)Η(t+1)=Ηα(t+1)+Ηβ(t+1)+Ηδ(t+1)3         (9)

综上,GWO算法寻优的流程如下:

步骤1对GWO算法参数初始化。给定种群个体数,迭代次数以及个体位置范围,同时初始化参数c,a和A;

步骤2计算每个个体的适应度值;

步骤3找出当前种群具有最优适应度值α,β,δ的3个灰狼个体。依据式(7)～(9)对当前种群的所有个体的位置进行更新,迭代次数加1,比较当前α狼适应度值与上一代α狼适应度值,选取最小的作为当前最优适应度值并保存其位置;

步骤4如果达到终止条件(适应度值小于设定阈值或迭代次数达到设定值),则结束并把当前最优适应度值的位置作为最优解,否则转到步骤2。

3、GRNN-SOFTMAX分类模型参数GWO寻优算法

GWO优化方法解决式(6)的参数寻优问题。令适应度值fitness等于参数寻优问题的目标函数,个体位置H为参数寻优问题的自变量平滑因子,实现对模型的参数寻优。

流程如图3所示,具体过程如下:

步骤1建立GRNN-SOFTMAX数学模型,设置基本参数,输入训练集开展训练;

步骤2对GWO算法的参数进行初始化:设置种群数,迭代次数和个体位置范围,令灰狼个体的位置等于GRNN-SOFTMAX模型的平滑因子即H=σ;

步骤3训练GRNN-SOFTMAX模型并计算适应度值:依据式(10)和式(5)计算每个个体的适应度值;

fitness=M(p(σ),q)         (10)fitness=Μ(p(σ),q)         (10)

步骤4进行参数寻优:依照适应度值越小的灰狼位置越好的原则对灰狼种群进行排序确定前3个最优狼,并依据式(7)～(9)对灰狼位置进行更新。迭代次数加1,比较当前α狼适应度值与上一代α狼适应度值,选取最小的作为当前最优适应度值并保存其位置;

步骤5终止条件判断:判别是否达到终止条件(适应度值小于设定阈值或迭代次数达到设定值),若满足终止条件则循环结束并把当前最优适应度值的位置作为最优平滑因子,否则返回步骤3);

步骤6以最优参数建立GRNN-SOFTMAX模型。

图3GWO优化GRNN-SOFTMAX模型流程图

4、基于GRNN-SOFTMAX模型的滚动轴承故障诊断

4.1 数据采集

轴承型号为NU1010EM和N1010EM的单列圆柱滚子轴承,轴承参数如表1所示。

表1滚动轴承参数

采用合肥工业大学摩擦所航空发动机主轴轴承试验机采集不同类别故障轴承故障振动数据。试验装置结构如图4所示。

图4轴承信号采集试验装置

现有轴承故障诊断分类方法常使用的数据集为内圈,外圈和滚动体在单点损伤下的故障模式信号,而轴承在实际工况下还会出现多点损伤和复合类型的故障,因此加工如表2所示的9种故障参数的轴承。

表2滚动轴承故障参数

采集上述故障类型的轴承在实际工况下的振动信号,采样频率为20.48kHz,分别测试轴承在载荷2kn和4kn下转速分别为2000r/min、3000r/min、4000r/min稳定转速和2000～4000r/min变转速的运行工况下的轴承振动信号,各工况描述如表3所示。

表3工况参数

平稳转速下不同载荷的工况1与工况5以及变转速下的工况4的轴承振动信号时域图如图5所示,可看出正常轴承振动信号受工况影响较小,而故障轴承振动信号会因工况改变发生一定的变化。

图5轴承振动信号时域图

4.2 滚动轴承振动信号故障特征数据集构建

采集上述9种故障模式的时域信号构建样本集;单个样本长度为1000个采样点,采用变分模态分解(VariationalModeDecomposition,VMD)[13]对样本进行分解,VMD是一种自适应信号处理新方法,能有效改善EMD的模态混叠现象同时采样效应也远小于EEMD,具有更好的噪声鲁棒性。分解后得到多个有限带宽固有模态函数(Band-limitedIntrinsicModeFunctions,BLIMF)[14],并统计每个BLIMF的特征作为输入数据。

首先需确定分解层数K:对正常轴承样本信号进行VMD分解得到K个BLIMF分量,根据式(11)计算各BLIMF的谱相关系数:ρ1,ρ2,…,ρk,并找出其中的最小值ρmin,若小于设定阈值0.1,则确定最小分解层数K=K-1;否则令K=K+1,重复上述循环直到找到满足要求的K值,式中|Uk||Uk|和|V||V|分别为第k个BLIMF分量和原始信号的傅里叶变换的模,n是频域离散值序列号。

ρk=∑j=1n|Uk|⋅|V|∑j=1n|Uk|2⋅∑i=1n|V|2⎷         (11)ρk=∑j=1n|Uk|⋅|V|∑j=1n|Uk|2⋅∑i=1n|V|2         (11)

按照以下步骤进行数据集构建:

步骤1对各故障类别的样本进行VMD分解,分解层数均为K,本文所用数据集中K=3,工况1下的轴承振动信号经VMD分解的结果如图6所示。

步骤2统计每个BLIMF的平均值、峰值、均方根、波峰因子、裕度因子、脉冲系数、形状系数、偏度、峭度这9个特征参数,对得到的27个特征参数Tm(m=1,2,…,27)按照式(12)归一化至[-1,1]区间范围内,消除特征数量级的影响,得到输入向量Xm(m=1,2,…,27)。式(12)中的Tmmin和Tmmax分别为数据集中该特征参数的最小值和最大值。

Xm=2⋅(Tm−Tmmin)Tmmax−Tmmin−1         (12)Xm=2⋅(Τm-Τmmin)Τmmax-Τmmin-1         (12)

步骤3对不同的故障类别构建类别标签,采用one-hot编码,即每种类别对应一个向量,其维数与类别相同,各类别对应的故障种类与类别标签和关系如表4所示。

表4数据集故障种类和对应标签

将每个工况下的样本集均划分为训练集验证集和测试集三个部分,依照上述步骤依次对采集到的不同载荷和转速工况下的样本进行处理,构建各个工况下的故障特征数据集。

4.3 数据集选取

数据集选取如表5所示。选取平稳工况1、2、3下每种故障种类的20个样本共3(9(20组数据作为小样本训练集1,3×9×100组数据作为大样本训练集2,3×9×10组数据作为验证集。测试集1为与训练集的工况相同的平稳工况数据。测试集2和测试集3分别为载荷改变和变转速工况下的数据,模拟实际复杂工况下采集到的轴承振动信号数据。

图6轴承振动信号单个样本VMD分解图

表5方法验证数据集

4.4 GRNN-SOFTMAX分类模型参数GWO寻优方法验证

为验证GWO优化方法对GRNN-SOFTMAX模型参数的优化以及该方法在轴承故障诊断上的适用性,在训练上述GRNN-SOFTMAX诊断分类模型时,同时使用GWO优化方法与网格寻优法优化模型的参数选取。

对于GRNN神经网络,当σ大于一定值时,输出值近似等于所有训练样本的平均值,此时GRNN-SOFTMAX的验证误差将会不变,整体的诊断效果也会较差。因此采用网格法初步确定平滑因子σ的寻优范围,搜索范围依据经验选为(0,50],网格大小为1。验证误差与σ的关系如图7所示,可看出在σ大于6时验证误差逐渐趋向极大值不再改变,因此确定σ的搜索范围为(0,6]。

图7验证误差与平滑因子关系图

GWO优化方法的灰狼种群数量5,迭代进化次数为30。网格寻优法的网格大小为0.04,σ的搜索范围均为(0,6]。两种方法分别进行训练,验证误差(目标函数)与训练次数的关系如图8所示,可看出GWO优化方法在30次训练模型(6次迭代)后趋于收敛,而网格寻优法需要对所有网格点对应模型参数进行训练,在相同训练次数下GWO优化方法得到的最低验证误差低于网格寻优得到的最低验证误差。

图8两种方法验证误差与训练次数关系图

4.5 GRNN-SOFTMAX分类模型诊断效果验证

为验证本文所提方法在小样本下的诊断分类能力,使用小样本训练集1训练GRNN-SOFTMAX分类模型。采用分类混淆矩阵的形式表达模型对测试集的分类结果,混淆矩阵是评判分类模型结果的指标,混淆矩阵的行表示数据所属的真实类别,列则表示分类模型对数据的预测类别,因此对角线上的元素表明模型分类正确的概率,而其他元素则表明分类混淆的概率。

验证模型对滚动轴承平稳工况下的故障诊断分类能力,测试集1使用工况1、2、3下的3×9×30组数据,模型对测试集1的分类混淆矩阵如图9所示。混淆矩阵的第1行和第1列不存在混淆,表明对是否故障的诊断准确率为100%,仅在类别2,类别7,类别8这三种故障模式下出现少量的分类错误,表明在平稳工况下,模型仅仅需要很小的训练集就能得到较好的诊断分类模型。

图9测试集1分类混淆矩阵

为验证方法的鲁棒性,使用上述所训练的模型,分别对载荷发生改变的测试集2和变转速工况下的测试集3进行诊断分类。

测试集2使用工况5、6、7下的3×9×30组数据,模型对测试集2的诊断分类混淆矩阵如图10所示,其中可看出对是否故障的诊断准确率依然为100%,主要分类错误出现在类别8和类别9这两种复合故障模式之间,但整体的分类准确率依旧较高,表明该模型对不同载荷下的数据仍有着较好的诊断分类效果。

图10测试集2分类混淆矩阵

测试集3使用工况4和工况8的2×9×30组数据,模型对测试集3的诊断分类混淆矩阵如图11所示,由图11可知,模型对类别1的正常轴承数据的识别效果较好,对类别2至类别7的轴承单一故障下的数据存在着少量的故障分类错误,而对类别8和类别9这两种复合故障的诊断分类效果则变得很差,这是由于变转速工况下复合故障的轴承信号更易受到转速改变的干扰,因此更加难以识别。

图11测试集3分类混淆矩阵

为进一步验证本文所提方法的适用性,使用训练集1训练小样本下常用的轴承故障诊断模型SVM;同时选取与训练集1相对应的3×9×20组轴承振动时域信号样本,依照文献[9]提出的基于短时傅里叶变换和卷积神经网络的轴承故障诊断方法训练卷积神经网络诊断分类模型。本文方法与上述2种方法对测试集1、2、3的诊断准确率及分类准确率如表6所示,诊断准确率表示正确判断轴承是否故障的准确率,分类准确率表示正确识别轴承故障类别的准确率。对比表6中三种方法的诊断分类准确率可知在小样本训练集下GRNN-SOFTMAX对平稳工况和复杂变转速工况下的数据有更好的诊断分类效果。

表6使用训练集1的三种方法对数据的预测准确率

选取大样本训练集2的3×9×100组数据,同样分别训练GRNN-SOFTMAX分类模型,SVM模型以及结合短时傅里叶变换的CNN模型。3种方法对测试集1、2、3的诊断准确率及分类准确率如表7所示。与表6中数据对比可发现当训练集样本数据量增加时,CNN对3类测试集的诊断分类效果都有较大的提升,这是由于CNN模型得到了大量的样本进行特征学习,表现出较好的诊断分类能力。而GRNN-SOFTMAX和SVM对测试集3的诊断分类效果提升较低,这是由于GRNN-SOFTMAX分类模型将平稳工况下的故障特征作为输入向量送入到模式层中,其对复杂变转速工况具有一定诊断分类能力是由于该模型本身对数据具有一定的容错性和鲁棒性,增加平稳工况下的数据量并不能使其具有更好的特征学习能力来更加准确的诊断复杂工况下的数据。而SVM的训练过程是从故障特征数据中寻找几个能够构建分类超平面的支持向量,因此增加平稳工况下的数据量也不能明显提升其对复杂工况数据的诊断能力。

由上述结果可知,本文所提方法在小样本下相比另外两种方法具有更好的诊断分类能力。

表7使用训练集2的三种方法对数据的预测准确率

5、结论

采用变分模态分解对轴承振动信号进行处理,同时提取特征构建数据集,训练GRNN-SOFTMAX分类模型实现滚动轴承故障诊断分类,分析诊断分类结果得到以下结论:

(1)本文提出一种GRNN-SOFTMAX分类模型,引入灰狼优化方法优化模型参数的选取,快速准确地获得GRNN-SOFTMAX模型的关键参数平滑因子,减少参数寻优时模型的训练次数。

(2)本文提出的方法能够在小样本训练集下建立滚动轴承单一故障及复合故障的诊断分类模型,实现较高的诊断分类准确率,且本文方法具有一定的鲁棒性,对复杂工况下的轴承故障数据仍具有较好的诊断效果,更适用于工程实际。

参考文献：

[1]余路,曲建岭,高峰,等.基于改进稀疏编码的微弱振动信号特征提取算法[J].仪器仪表学报,2017,38(3):711-717.

[3]姚亚夫,张星.基于瞬时能量熵和SVM的滚动轴承故障诊断[J].电子测量与仪器学报,2013,27(10):957-962.

[9]李恒,张氢,秦仙蓉,等.基于短时傅里叶变换和卷积神经网络的轴承故障诊断方法[J].振动与冲击,2018,37(19):132-139.

[10]景涛.基于改进广义回归神经网络的雷达故障预测[J].科学技术与工程,2009,9(15):4492-4494.

[14]汤杰,陈剑,杨斌.基于IVMD的单通道盲源分离方法及其应用[J].组合机床与自动化加工技术,2018(7):25-30.

陈剑,吕伍佯,庄学凯,陶善勇.基于广义回归神经网络-柔性最大值分类模型的轴承故障诊断方法[J].振动与冲击,2020,39(21):1-8+16.

基金:安徽省科技重大专项(17030901049).