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探讨有关地图四色猜想的证明与诠释
摘要：文章基于他人的研究，通过对四色猜想证明方法进行探讨，从而证明四色猜想的成立。文中主要谈到两个解析法和一个结构分析法，并提出了地图着色的两个公理。通过对“四色猜想”的拓扑不变量进行解读，从而对拓扑不变量与大自然界有关守恒问题的内在关联进行探究。
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1、问题提出
四色猜想是1852年由英国青年学生格里斯(Guthrie)在对地图着色时提出的一个猜想。其意涵是“世界上任意的地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的地区着不同颜色”。并非“国家越多，地图越复杂所需的颜色就越多”。
四色猜想提出距今以达近170年。在长达一百多年时间里，历经多次证明但均未证明四色猜想，直到1976年才由美国伊利诺斯大学的教授哈肯与阿佩尔使用3台高速电子计算机，用了1200多个小时，终于宣告证明了四色猜想。
长期以来，人们一直期待能用人工逻辑方法即传统证明方法，证明四色猜想。这期间据不完全文献报道，仅国内就有多篇报导证明四色猜想的论文。然而，至今国内外尚未见被公认的证明论文。
本文对“四色猜想”的论述，旨在有所探索、有所前进。
2、地图着色公理
为方便地图着色归纳出两个着色公理：公理一邻(隔)点着异(同)色，对顶点着同色。
公理二k：图着2色，k，图着3色，k4图着4色。(此公理可以从公理一推出)
3、探索证明四色猜想的三个方法
3.1 四色猜想的数学表达
地图G的面着色，通过对偶关系可转化为顶点着色。因此四色猜想可用点着色x(G)表示成数学式：
x(G)≤4 (1)
3.2 解析证明方法之一
设地图G的顶点数为n，边数为E，满足地图着色要求的色数为m，文献[2]给出n、E、m三者应满足的表达式为：
E≤(m一1)(n—m／2) (2)
研究表明：当n≥3时，G是平面图的必要条件是：
E≤3n-6 (3)
地图点着色时，每条边的两端必须着不同颜色，可见边数约束着点着色数，而点数固定其边数最多的平面图就是极大平面图。因此，研究点着色，最多约束“边”就应是极大平面图的边所满足的约束条件。
E=3n一6 (4)
联立式(2)、式(3)导出含参数n的一元二次不等式方程求解，再将m=x(G)代人，根据所求解即可证明四色猜想。令：
3n一6≤(m—1)(n—m／2) (5)
式(5)化简得：m2一(2n+1)m+8n。<12(6)
式(6)表示含有参数n(n≥3)的变量为m的一元二次不等式方程。
式(6)解一元二次方程时其判别式A=(2n一7)2
所以，
经计算确认：
①当n=3，m1=3
②n--4，m1≤5，取m1=4
综合以上论述，故式(6)的解为3≤m≤4
3.3 解析证明方法之二
由(3)式E、<3n一6
此式表示由n个点组成极大平面图时，其“边”数E应满足的约束条件为E=3n一6。另一方面，n个点的图的最大点着色数应为n，此图即为k。图(完全图)，但此图的“边”数应约束在最大平面图的“边”数之下，而k。图的“边数”为n(n—1)／2，于是可得表达式：
式(7)
化简得：n2-7n+12<。0即(n一3)(n一4)≤0
解得：
3≤n≤4。因此时n=x(G)，所以x(G)≤4，四色猜想得证。3.4证明方法之三此法从分析极大平面图每个面皆为3次面的结构人手，探讨极大平面图中对顶点的特点：存在含两个对顶点的相邻(或不相邻)子图。
据此提出如下证明四色猜想的定理。
首先给出两个定义及引理一：
3.4.1 对顶点定义
所谓对顶点是指有一个公共边的两个3次面与其公共边相对的两个顶点(如图l所示)。
3.4.2 对顶点相邻定义
两个对顶点相邻是指有一个公共边的两个对顶点相邻，或者指两个顶点所相应的对顶点相邻(如图l子图A，图2子图B所示)；或者指一个顶点所对应的两个对顶点相邻(如图3子图C所示)。
3.4.3 引理一
极大平面图必含3.4.2所定义的对顶点所组成的相邻或不相邻的子图。
3.4.4 定理一
极大平面图着色数不大于4取决于所含对顶点子图情况：(1)含相邻对顶点子图着色数为4；(2)不含相邻对顶点子图着色数小于等于3。
3.4.5 引理一证明
因为极大平面图均为三次面，(即每个面皆为三角形)故总存在由两个三角形组成一个四边形，产生两个对顶点，从而形成一个由4个顶点或6个顶点分别组成的一个不相邻子图或相邻子图(子图A，B，C就是实例)，从而引理一得证。
3.4.6 定理一证明
根据引理一极大平面图必可组成一个相邻或不相邻子图，按本文中的着色公理一，邻(隔)点着异(同)色和对顶点着同色的原理，相邻子图着色数应为4而不相邻子图着色数应为3，又由着色公理一可推得极大平面图中的任意一点，无论距相邻(不相邻)对顶点子图的距离为偶数或为奇数总能着与该子图中的一个顶点着同色，这就是说要么着3色之一的色(不相邻子图)，要么着4色之一的色(相邻子图)，即任意点的着色不是子图的3色之一，就是4色之一，由此推理，该最大子图所有顶点均能着符合地图着色规定的色。
归纳起来定理一证明可分为三个判断步骤和方法。第一，判定极大平面图存在相邻(不相邻)对顶点子图；第二，对顶点子图着色(根据着色公理一)结果不是着4色，就是着3色；第三，对极大平面图之外的其它点，均可推理得出着4(3)色对顶点子图之一色。本文证明给出了在有限步骤内可给地图任意对顶点正确着色，从而对全部顶点着色，因而此证明是构造性的。
最后，值得强调的是，本文论述及证明均以极大平面图为依据，极大平面图着色能成立则对应的平面图着色必然成立。诚如许寿椿教授的论述：“含P个顶点的平面图，只要其中的极大平面图能用四种颜色着色，全部含p个点的平面图就一定能用四种颜色着色，换句话说：约束强的满足，约束弱的也一定满足，因而四色问题研究中特别注意研究极大平面图。
由此可见，含不相邻对顶点子图为3着色，含相邻对顶点子图为4着色，故x(G)≤4，从而，四色猜想得证。
3.4.7 结构性证明实例
(1)实例1，如图4所示。
解：此图为15个点的极大平面图。点2的对顶点分别为14和12两点并相邻，而由点14、13、8、2、13构成的四边形，与由2、13、12、7、2构成的四边形均为图4的子图，根据引理一和定理一判定图4为4着色如图4fiJi：示。①、②、③、④为点4着色。
(2)实例2，如图5所示。
解：此图不含对顶点相邻子图。根据引理一和定理一判定此图着3色，如图7所示。①、②、③为点3着色。
4、解读“四色猜想的拓扑不变量”
四色猜想是拓扑学问题，理应存在拓扑不变量。解读四色猜想的拓扑不变量对深刻理解四色问题的内涵，进而用拓扑学理论求证“四色猜想”就顺理成章。
以下探讨四色猜想的拓扑不变量：
(1)X(G)≤4中的“4”就是一个拓扑不变量。“4”在此的含义是无论区域的形状如何，大小如何，最多用“4”种颜色就可以将所有的区域隔开。
(2)式(6)m2- (2n-1)m+8n<12
“12”可视为正规地图，符合着色要的综合约束最大值。这从式(5)含变量n的一元(m)的2次不等式方程的解可表示出来。
5、四色猜想与“守恒”问题相关分析
“四色猜想”关注地图G的点数，点数越多，其极大平面图的边数也就越多，即点数和边数就成了地图点着色的“约束”条件。点越多着色数可能就会越多。但与此同时，点越多，存在的对顶点也会越多，因为邻点着异色，而对顶点着同色，故点数增加，色数增加。同时，也会因对顶点着同色而减少着色数。于是，着色数就会保持限制在一个拓扑不变量的数值内，亦即守恒于“4”。由此可见，“四色猜想”与“守恒”问题，密切相关。
在探索“四色猜想”的过程中，发现有必要深入研究“四色问题”中有关“守恒”问题及拓扑学中其它“守恒”问题，从而便于开展对其它自然科学乃至社会科学中的有关的“守恒”问题的深入研究。
6、结语
(1)本文与文献[2]证法的比较：
3.1的式(2)即文献[2]给出的定理4：“用m中颜色去填涂一个顶点数为n，边数E≤(m一1)(n—m／2)的连通图所有顶点，无论这些边如何分布，都能确保所有相邻顶点不具有相同的颜色”。
文献[2]的论证是将m=4代人定理4得出E≤3V一6，“表明用4中颜色填涂一个顶点数为n，边数E≤3V一6的任意连通图的所有顶点，总能保证所有相邻顶点不具有相同的颜色”。据此地图四色定理证毕。文献[2]证法可视为赋值法(m=4)，而本文则是推导出含参数n的关于m的一元二次不等式方程式。经求解得出m≤4。从而证明四色猜想。显然二者的思路和证法是不同的。笔者认为：“四色猜想”点着数的数学表达x(G)≤4的证明不但要证明出x(G)=4，还要证出，x(G)＜4，两个解合起来才能得出x (G)≤4。为此，本文令：
3n一6≤(m一1)(n—m／2)
另外，尚需说明的一个关键点是E≤(m—1)(n—m／2)既适合顶点数为n的平面连通图，也适合非平面连通图131。而E。<3n一6则为平面图的边E满足条件的必要条件。故前者边的E适用范围大于后者的边E适用范围。所以可得出：3n一6≤(m一1)(n一2)。求解这个含参数n的一元(m)2次不等式方程，从而求得m≤4，证明“四色猜想”成立。
(2)拓扑性质就是图形同胚意义下的不变性质。即本文的“守恒”性质，从而就将拓扑性质与“守恒”概念联系在一起。
(3)地图着色2个公理，是不证自明的。笔者用文献[1]的几个着色实例验证均正确，限于篇幅，验证实例均略去。
限于笔者水平，本文三个探索证明四色猜想的方法及其论述，错误与不妥之处，敬请专家学着斧正，对所参考文献的作者，顺此致谢。
参考文献：
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