首页 >
论文范文 >
自然科学论文 >
数学论文 >
数论论文 >
初等数论中同余理论的思考探究
0
给我们留言吧!
摘要：同余理论是初等数论课程的核心内容。结合在初等数论课程教学实践中的体会,针对数学与应用数学专业学生的特点,对初等数论中同余理论的教学进行一些思考.
加入收藏
初等数论是数学与应用数学专业的一门专业基础课程,该学科主要研究整数的基本性质,其中心内容是整除理论和同余理论。该学科的特点是理论易懂,习题难做,其理论和方法已广泛应用于现代密码学、算子理论、最优设计、组合代数及信息科学等诸多领域[1,2,3]。通过该课程的学习,有助于学生提高推理能力、思辨能力和创造能力。同余作为数论中最基本的概念,在数论中占有极为重要的地位。本文结合课堂教学实践中的体会,给出一些优化同余理论课堂教学的方法。
一、根据学生的认知能力,精讲关键概念的定义和性质
初等数论的教学总课时是定量的,分配到同余理论的课时更少.教师要在有限的时间内将同余这一关键概念的定义及其体现的深层次的数量关系讲解清楚,并通过讲解例题阐述其本质属性[4]。在定义中,整数a与b对模m同余等价于整除关系式m|(a-b)。同余的很多基本性质也是根据同余的定义及整除的性质推导出来的.在教学过程中紧扣两者之间的联系,将已学知识与新知识有机结合起来.如今的大学生接触的新事物多而广,数学与应用数学专业的学生接受能力和探究能力普遍较强,在教学中可以合理运用学生的特点,设计一些典型例题.有些题目学生是可以通过探究能自主解决的,对于同一类型的稍微复杂一些的问题,由于计算量变大,学生再沿用原来的方法不容易计算出结果.此时运用同余理论的知识和方法解决会起到事半功倍的效果,有助于引导学生加强对知识点的理解.试看下面的例子.
例1求3407的个位数字。
分析该问题等价于求3407被10除所得的余数,即求满足条件3407≡x(mod10)及0≤x<10的未知数x.
解法1由于31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561,…通过归纳发现,这些数的个位数字按照3,9,7,1的顺序循环.又因为407=4×101+3,所以3407的个位数字为7.
解法2因为(3,10)=1,φ(10)=4,由欧拉定理可得34≡1(mod10).
而且3407=34×101+3≡33(mod10)≡27(mod10)≡7(mod10).故3407的个位数字为7。
注意:从学生思考问题的角度来看,解法1是他们比较容易想到的归纳方法,即使没有学习同余理论也能解决.但是对于求解形如bn的正整数用模m去除所得的余数这类问题中较为复杂的题目来说,再用该方法求解较为费时,需要学生进一步掌握并运用新知识,即解法2中提到的欧拉函数和欧拉定理来解决整类问题.欧拉函数是同余理论中的重要函数,它在RSA公开密钥体制中有着重要的应用[5].因此在讲解这部分内容时要注重其应用背景,实现交叉学科之间的相互渗透。
二、在教学过程中加强实践环节
在教学过程中教师要以提高学生的学习兴趣、学习积极主动性为导向。通过动手实践、自主探究、合作交流的学习方式,让学生最大程度地参与到课堂中。学生可以把所在团队的讨论成果展示出来,教师再对整个问题作出总结,引导学生探究学习、合作式学习.同余理论就是一个挖掘学生发展潜力的好课题,通过教学实践,根据学生的课堂表现、作业完成情况以及期末考查情况来看,有效地提高了学生分析问题和解决问题的能力。
(一)让学生自主设计练习题
针对同余的基本性质,结合一题多解的题目,可以让学生自主设计练习题,同学之间相互练习,教师根据学生设计的题目进行点评。从而激发学生去发现和创造的欲望,加深学生对所学知识的理解,锻炼学生思维的广度。让学生在练习的过程中领悟关键概念的理论指导作用,逐步提高数学思维能力。教学过程是动态的,不仅是师生互动,也要做到生生互动。然而这种学习方式必须建立在独立学习的基础上,教师要针对教学内容提前精心准备,指导学生课前预习,将不理解的地方进行标记并反馈给教师。这样学生在听课时就会有针对性地去学习。对于课上讲的例题也能更好地掌握,深刻地理解知识点之后再去设计练习题,才能达到良好的效果.我们来看一个求解质数模的一次同余方程的例子.
例2求解一次同余方程8x≡9(mod11).
解法1由于(8,11)=1,可知该同余方程有唯一解.由欧拉定理得8φ(11)≡1(mod11),
由同余的性质可得8·(89·9)≡9(mod11),所以x≡89·9(mod11)≡8(mod11)为其解.
解法2由于9和20关于模11属于同一个剩余类,所以原同余方程等价于8x≡20(mod11).由于8和20的最大公约数4与模11互质,根据同余的性质可得,2x≡5(mod11).同理,该同余方程等价于2x≡16(mod11).再次运用同余的性质可得x≡8(mod11).
解法3由于8和-3关于模11属于同一个剩余类,所以原同余方程等价于-3x≡9(mod11).由于-3和9的最大公约数3与模11互质,根据同余的性质可在同余符号的两边约去-3得方程的解x≡-3(mod11)≡8(mod11).
解法4由于模11是质数且0<8<11,则
注意:解法1属于解决这类问题的一般方法。解法2和解法3在本质上来说并无不同,只是选取的剩余类中的代表元不同,解决问题的快慢就会不同。解法4虽然可以视为公式法,但是该方法具有一定的局限性,未知数前面的系数必须是小于质数模的正整数。这就需要学生熟悉解决问题的常用方法,针对不同的题目,选择适合的解题方法,必要的情况下将这些方法结合起来使用,才能快速有效地解决问题。学生可以根据求解方法,设计出一些练习题,让学生体会数值的大小是影响题目的复杂度的重要因素。
(二)适量加入计算机实验课程,培养学生的逻辑思维能力
同余理论中有些题目计算量较大,手算较为耗时并且容易出错。为了让学生能够更好地掌握计算机软件以及增强学习兴趣,在教学中可适量加入计算机实验课程。实验课程的内容可选择形如bn的正整数用模m去除所得余数的求解问题,判断一个正整数是否为质数,寻找质数的最小原根等问题,这些问题都涉及同余理论.在密码学中关于bn(modm)的计算方法叫做模重复平方计算法[7],此方法是先将n写成二进制n=n0+n1·2+…+nk-1·2k-1,其中ni∈{0,1},i=0,1,…,k-1.再把bn(modm)的计算归纳为bn≡bn0(b2)n1…(b2k-2)nk-2(b2k-1)nk-1(modm).RSA的加密解密运算使用的就是此方法。模重复平方计算法的递归实现,思路简单清晰,对于数值相对较小的和,便于让学生动手操作计算。计算机技术与所学知识的有机结合,让学生感受数学的魅力,体会解决实际问题的成就感和满足感,提高学习初等数论课程的兴趣.对于数学与应用数学专业的学生来说,增加计算机实验课程还可以提高他们的计算机水平,增强动手操作能力。通过实践学生熟练使用计算机软件,如MATLAB、C++等,这些软件都具有强大的计算功能和数据分析功能,对学生将来参加数学类竞赛很有帮助。
三、结束语
同余理论在密码学、计算机科学等学科中有着广泛的应用,在数学竞赛中有着举足轻重的地位,并且在思想方法上跟中小学数学有着密切的联系[8]。数学与应用数学专业的学生毕业后主要有两个发展方向,一是去高等院校攻读硕士学位,继续深造,二是去中小学从事教育教学工作.针对不同发展方向的学生在讲解时侧重点可以略有不同,学生在教学过程中既能理解并掌握基础知识,又能做到对知识的灵活运用是教学的基本目标.通过学习学生具备扎实的理论知识,具有初步的教学能力和一定的教学研究能力,为其以后的发展打下夯实的基础.总之在以后的教学中培养和激发学生的学习兴趣,培养学生运用同余理论,乃至初等数论学科中的知识解决实际问题的意识和能力,最终达到良好的教学效果。
参考文献：
[1]闵嗣鹤,严士健.初等数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]胡典顺,徐汉文.初等数论(第二版)[M].北京:科学出版社,2017.
[3]王进明.初等数论[M].北京:人民教育出版社,2002.
[4]李玉慧.高校初等数论课程概念教学探讨-以小学教育专业为例[J].天中学刊,2018(33):150-152.
[5]余黄生,苏又.关于《初等数论》的教学体会[J].课程教育研究,2015(4):126.
[6]王婧哲.《初等数论》课程教学改革研究[J].内蒙古财经大学学报,2019(17):115-117.
[7]陈恭亮.信息安全数学基础(第二版)[M].北京:清华大学出版社,2014.
[8]徐进.《初等数论》教学方法探究[J].淮南师范学院学报,2015(3):133-135.
[9]李玉慧.高校初等数论课程教学中详讲､略讲和让学生自学相结合的几点思考——以小学教育专业为例[J].教育现代化,2018,5(36):312-315.
赵操.关于初等数论中同余理论的教学思考[J].教育现代化,2019,6(92):125-126.
分享：
2008年应用Kuromoto-like模型对电网进行了深入的研究,同时得到了有效的电网动力学模型,并且得出:电网必须保持同步,很小的扰动会引起级联故障,导致大规模停电事故发生,这就表明电网的控制尤为重要.本文中,笔者基于反馈控制的思想,实现了对电网同步能力的改变,分析了反馈增益的取值对同步能力的影响.
2020-09-09
1、数论函数方程φ(φ(n))=S(n15)的可解性2、一个含有伪Smarandache函数的方程3、10的倍数分拆素数和的“1-9猜想”及思考4、有关数论函数φ(m)的一方程整数解的讨论5、纽结理论在数论中的应用6、用易经诠释考拉兹猜想7、数论函数方程φ2(n)=S(SL(nk))的可解性8、大学生就业当中的数学原理及其应用9、含混合型简数根函数的两个数论函数方程的解
2020-08-11
纽结理论看似与数论[1]毫不相干，但已有不少纽结方面的结果是用数论来表达的，例如文献[2]。本文将给出反向的情形，即利用纽结理论证明数论的2个结果： 定理1若m,n是互素的整数，则24整除(m2-1)(n2-1)。 定理2若m,n是互素的整数，则12整除(m-1)(n-1)(2mn-m-n-1)。 容易举例说明，若m,n不是互素，则定理就不成立。
2020-08-10
素数的判定算法是对输入的整数判定是素数还是合数，分为概率算法和确定算法。素数构造算法是输入小素数，经过若干次循环构造出大的素数。对已有的素数构造和判定算法进行梳理，给出算法的描述并编程实现Miller-Rabin素数测试算法、基于莱梅定理的素数构造算法、AKS素数测试算法及变体算法，对上述算法的效率进行比较。
2020-06-28
对于某些特殊的数学问题,即使只是简单地回答“知道”或者“不知道”,也有可能传送出一些有用的信息。考官C从区间[2,99]中选出两个整数n和m,将这两个数的和p=n+m与积q=n×m的数值分别告诉参加测试的智者B与智者A。C要求B与A说出n与m是多少,但不能将自己知道的p与q的值告诉对方。
2020-06-28
哥德巴赫猜想:任何大于4的偶数都可以用2个素数之和表示.本文对根据增殖算法得到的素数分布规律进行了深入的探讨,并在此基础上创建了素数周期循环分布表,计算出两个相邻素数的最大间隙不超过420,找出了105个位缺带对称群,并用位缺带全方位多重对称性证明了哥德巴赫猜想.
2020-06-28
文献[1,2]分别介绍了分解因子法与递归序列法在不定方程中的应用,本文介绍另一种初等方法——幂比较法,在不定方程中的应用.所谓幂比较法,是指在不定方程两边比较某因数的最高方幂,以此来导致矛盾的方法.本文利用幂比较法证明了以下定理1和定理2,并同时得到推论1、推论2和推论3.
2020-06-28
本文将研究包含了伪Smarandache函数Z(n)、简数根函数与p次幂原数函数Sp(n)的复合数论函数方程Z(n)=Sp(sim(n))(其中p=2,3,5)的可解性,并分别给出每个方程的全部解.并推广了一个关于计算p次幂原数函数Sp(n)值在n>p时,更加简易的计算公式以及证明该公式所用的方法.
2020-06-28
初等数论是小学教育专业的一门专业必修课，这门课程与中小学的联系比较紧密，学生开始学习第一章(整数的可除性)时，都觉得简单易懂，但从第二章(不定方程)开始，大部分学生就感觉上课基本能听懂，但一做练习就错，其实出现这种现象的原因就是学生没有真正理解初等数论中的数学思想方法。所以，研究初等数论的教学方法是数论教师必须要研究的一项重要课题。
2020-06-28
整数是数学研究的一个方向。组合数学中就有关于正整数在不同分部量下分拆数的研究。对于一个给定的不定方程(或方程组),它是否有解,如果有解,解是不是唯一的,能不能求出它的所有解,这是数论的一个研究方向。对每一个有基础解的方程,求解得出它的基础解,由这些基础解可以计算得到方程的多个整数解。
2020-06-28
人气：3655
人气：3315
人气：2814
人气：2690
人气：2593
我要评论
期刊名称：数学进展
期刊人气：3379
主管单位：中国科学协术协会
主办单位：中国数学会
出版地方：北京
专业分类：科学
国际刊号：1000-0917
国内刊号：11-2312/O1
邮发代号：2-503
创刊时间：1955年
发行周期：双月刊
期刊开本：16开
见刊时间：一年半以上
影响因子：0.553
影响因子：0.322
影响因子：0.352
影响因子：0.000
影响因子：0.000
学术期刊咨询、科普杂志阅读、专利申请方案、课题研究设计、专著挂名咨询、论文下载、文献查询、原创文章检测、SCI实验设计方案等多项服务。
服务热线
您的论文已提交，我们会尽快联系您，请耐心等待！
你的密码已发送到您的邮箱，请查看！
2020-06-28
1462
上传者：管理员
