摘要:针对微积分中的抽水做功相关物理问题,结合实际生活场景和工程背景,以微元法和三重积分方法,考虑容器竖直放置和倾斜放置两种情况,建立了容器竖直放置以及吸管不同位置的做功模型,容器倾斜液体未流出的做功模型,以及容器倾斜液体流出情形的做功模型,并进行数值仿真,得出的相关理论具有较强的实际应用和理论参考价值.
微积分是高等数学课程体系的基础和核心,其基本工具是极限法,研究对象是非均匀问题,基本思想是局部求近似,极限求精确,内容包含微分学和积分学,连接桥梁是牛顿-莱布尼兹公式,利用微积分解决实际问题的核心是微元法[1].比如:在工程计算中,多采用图解积分法、高斯积分法等,利用微积分的思想和方法采取少量结点进行相关的测量和计算,然后进行累加得到积分的近似值,进而计算出做功情况;在大学物理课程中的抽水做功、弹性力作功、万有引力作功、电场力作功等,其实质是部分量或更小部分量的简单叠加(矢量或数量),等等.因此,通过实际教学,学生学会把实际中复杂的物理问题化整为零、分割成局部、选取微元、再积零为整,把局部问题累积起来解决问题的思想,从而可以使学生掌握运用微积分的思想方法,能够解决一些非线性的物理问题,提高学习兴趣.
求解抽水做功、中心、重心、面积和体积等物理问题,是微积分课程重点讲解的相关应用问题,对此国内部分学者进行了深入研究.张民珍[2]指出了微元法的关键是寻找微元的近似值,需要满足近似代替量所需满足的条件,即误差应是高阶无穷小.魏嵬[3]结合实际工程,分析了柱液倾动的变化过程及变量之间的关系,确定了每个倾动角度对应情况下的液面位置和倾动重心,为工程计算重心提供了一种数学计算的分析方法.唐祥德、聂东明和杨柳[4]从定积分的定义出发,以学生的经验为基础,将“微元法”在几何中求曲线长度、面积及体积归结为“积点成线、积线成面、积面成体”,通过语言、图像直观降低了学生学习该内容的难度,达到直观性教学目的.谢俊鹏、廖大成、熊杰和马翠[5]针对储油罐的变位识别与罐容表标定问题,基于微元法的思想建立了储油罐在未变位及变位不同情况下油位高度与储油量之间的数学模型,分析小椭圆型储油罐和实际储油罐的变位问题,借助遍历搜索算法确定储油罐的变位参数,进而对变位时的罐容表进行标定,进一步对模型的可靠性、正确性及结果的误差进行分析.王东红[6]探讨了求解抽水做功问题的两种方法,旨在提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力.
在实际问题中,经常需要计算变力所作的功,譬如弹力做功;或者沿物体的运动方向的力是常力,但移动的距离是变动的做功问题,譬如抽水做功.基于上述理论,本文以微积分中的“抽水做功”相关物理问题为基础,讨论容器竖直放置以及吸管不同位置的做功模型,进一步分析液体倾动未流出的做功模型,以及溶液倾动沿容器杯顶流出情形的做功模型,最后通过数值仿真进行验证.
1、容器竖直放置的情形
该模型类似于“高等数学”课程中,对圆柱型或球型容器在竖直方向抽水做功问题.图1给出了圆筒型容器竖直放置的截面图,其实质是克服重力做功,即求解在一个常力F的作用下,物体沿力的方向作直线运动,当物体移动S时(物体上每点移动的距离不变),力F所作的功为W=F·S.在此给出微元法和等价恒距离做功两种方法的求解过程[6].
图1竖直放置情形
1.1微元法
根据《高等数学》中微元法和定积分的思想,将液体沿竖直方向分割成微元体,假设吸管漂浮在液体表面,液体是逐层被抽出来的;随着液体不断下降,吸管也随之下降,微元层的提升高度连续增加,此过程可以认为是“变距离”做功问题.如图1(a)所示,假设容器顶部所在平面为初始水平面,溶液密度为ρ,现将介于两截面y和y+dy之间一薄层的液体吸出,所经位移为y=H-h,H是容器的高度,h是液面的高度。微元体的重量为dG=ρgdV,V为液体的体积,S为微元体的横截面积,抽取该微元体所需的微功为
dW=ρgydV=ρgySdy(1)
因此,将整个容器中液体抽取出来所做的功为
W0=∫HH−hΗ-hΗρgySdy(2)
1.2恒距离做功模型
抽水做功实际上是克服重力做功,可以将容器看成质点,其重量就是容器内液体的重量,若知道液体重心的位移,可以将“变距离”转化成“恒距离”做功.如图1(b)所示,重心C点距离容器底部h2h2处,则将整个容器中液体抽取出来所做的功为
W′0=ρgV(H−h2)W′0=ρgV(Η-h2)(3)
采用该方法求解,关键是要知道不同的立体图形譬如柱体、椎体、半球体、台体等有不同的体积和几何重心,如棱柱、圆柱等柱体的重心在高的1/2处,棱锥和圆锥的重心在离底面1/4处,半球体的重心在球半径的3/8处等.通用的求解方法为悬挂法、支撑法、针顶法、铅垂线法以及微元法和祖暅原理[7]等,也可采用等体积方法转换成圆柱形进行近似求解.
在竖直放置容器抽水做功的过程中,微元法的关键在于求出容器的截面面积函数,恒距离做功法的关键在于计算容器内液体的重心位移,其中,将“变距离”转化成“恒距离”做功方式,可以得出“吸管”在不同位置(如插入杯底),做功是一样的,后面仿真可以验证此结论.
在教学过程中,通过对抽水做功问题的一题多解,并且对相关细节进一步分析研究,可以培养学生发散式思维方法,开阔解题思路,有利于提高灵活运用所学知识解决实际问题的能力,培养学生的创新思维.
2、容器倾斜液体未流出的情形
在实际问题中,容器具有多种放置方式,比如喝饮料时,杯子经常是倾斜拿在手中等.该部分以容器倾斜放置,液体并未从杯面流出为研究背景,
现在讨论该过程的抽水做功[3].由于该过程比较复杂,采用微元法和恒距离做功法的综合方法进行分析.
假设圆柱容器的高为H,底面半径为r,容器内液体的体积V,液体均匀,在任一点(x,y,z)的密度为ρ(x,y,z),液体所占的空间区域设为Ω.在此讨论三种情形:容器底面未显露、容器底面显露分界处以及容器底面显露(如图2所示).容器倾斜时容器底面与水平面的夹角为αi,αi∈(0,β1),其中,i=1,2,3,β1为容器底面显露与未显露分界状态时的倾斜角,为了方便分析,将其转变为竖直放置并建立直角坐标系(如图3所示).
图2容器倾斜液体未流出示意图
图3竖直放置的液体倾斜坐标系示意图
2.1容器倾斜液体未流出时容器底面未显露
考虑容器倾斜时,容器底面未显露的情形.如图2(a)和图3(a)所示建立坐标系,以容器底面为Oxy坐标平面,以容器底面的中心为坐标原点,竖直方向为z轴,建立空间直角坐标系.
设容器由水平位置倾斜至与x轴正方向的夹角为α1角,α1∈(0,β1),β1∈(0,π2)α1∈(0,β1),β1∈(0,π2).当容器倾斜角为α1时,液面也随之倾斜,进一步根据几何原理得液面与底面成α1角,倾斜的液面到容器底面的最高和最低高度分别是h11和h12,液面所在法向量n⇀1={−sinα1,α1,−α1}n⇀1={-sinα1,α1,-α1},过A1(r,0,h11),则平面方程为
(x-r)(-sinα1)+(y-0)0+(z-h11)cosα1=0(5)
则倾斜液面方程
z=xtanα1-rtanα1+h11(6)
容器内液体在容器底的投影区域为
则液体的体积
可求得h11=V1πr2+rtanα1h11=V1πr2+rtanα1.其重心坐标为
式中,m表示液体初始的总质量.
2.2容器倾斜液体未流出时容器底面显露分界处
考虑容器倾动角变化到β1时,液体降到容器底面交界线的情形,即B1点变化为B2点,且B2与C2(C1)点重合,如图2(b)和图3(b)所示.α1max=α2=β1,h21=2rtanβ1,从而可得,液体的体积
从而得β1=arctanV2πr3β1=arctanV2πr3.其重心坐标为
2.3容器倾斜液体未流出时容器底面显露
考虑容器底面显露时,液体降到容器底面的情形,转动倾斜角为α3∈(β1,π2)α3∈(β1,π2),如图2(c)和图3(c)所示.设液面与x轴交点的横坐标B3=C3∈(-r,r),溶液在柱底的投影区域为
则容器内液体的体积
其重心坐标为
融合微元法和恒距离做功法的思想,选取容器顶所在平面的中心坐标为(0,0,H),在上述情况下抽取液体所做的功分别为(i=1,2,3)
3、容器倾斜溶液沿杯顶流出的情形
在实际问题中,容器可以沿着杯顶面进行倾倒液体,比如炼铁的熔炉倾倒过程,端杯子喝水过程等.在此,本部分以容器倾斜放置的动态过程(如图4所示),讨论液体从杯面流出过程的做功问题[3,5].由于该过程是动态过程比较复杂,在利用每个分段点分析和整体分析相结合的方式下,融合微元法和恒距离做功法的综合方法来进行分析求解.
随着容器倾斜角度α的增大,液体开始流出,容器内液体逐渐减少,溶液的体积V是随倾斜角度α的变化而变化的减函数.在此讨论三种情形:容器底面未显露、容器底面显露分界处以及容器底面显露(如图4所示).在倾动过程中,设容器由水平位置倾斜至与x轴正方向的夹αi角,αi∈(0,β2),其中,i=4,5,6,β2为容器底面显露与未显露分界状态时的倾角;由于αi和β2角变化过程复杂,为了方便分析,将其转变为竖直放置建立直角坐标系(如图5所示).
图4容器倾斜液体沿杯面流出示意图
图5竖直放置的液体沿杯面流出的坐标系示意图
容器倾动时,考虑容器底面未显露的情形,如图4(a)和图5(a)所示建立坐标系,以柱体底面为Oxy坐标平面,以柱体底面的中心为坐标原点,建立空间直角坐标系.设容器由水平位置倾斜至与x轴正方向的夹为α4角,α4∈(0,β2).当容器倾斜角为α4时则液面也随之倾斜,且与底面所在平面平行的平面成α4角,倾斜的液面到容器底面的高度为H,推导过程与上述情形类似,则液体的体积为
其重心坐标为
当容器倾斜角变化到β2时,如图4(b)和图5(b)所示,α4max=α5=β2,H=2rtanβ1,可得液体的体积
从而得,β2=arctanV5πr3β2=arctanV5πr3.其重心坐标为
当容器倾斜角为α6∈(β2,π2)α6∈(β2,π2)时,柱体底面显露情形,如图4(c)和图5(c)所示,设液面与x轴交点的横坐标B6=C6∈(-r,r),则容器内液体的体积
其重心坐标为
由于该过程是动态过程比较复杂,在利用每个分段点分析和整体分析相结合的方式下,融合了微元法和恒距离做功法的综合方法来求解,结合在上述三种情况下抽取液体所做的功为
4、数值仿真
假设容器底面半径r=0.03m,圆柱形容器高为H=0.1m,液面高度为h=0.08m,液体密度ρ=0.9g/cm3,体积
V=π0.032×0.08=2.26×10-4m3
分析上述三种情形.
情况1,微元法和恒距离做功比较:
W0=∫HH−hΗ-hΗρgySdy=1.2×10-4J
W′0=ρgV(H−h2)=1.2×10−4JW′0=ρgV(Η-h2)=1.2×10-4J
可以看出,微元法和恒距离做功两种做法结论一致,验证了在不同位置抽水,其做功是一样的。
情况2,从图6中可以看出,液面倾斜的最大高度hmax随着倾斜夹角α的增大而增大,也就是说容器倾斜度越大,液体的最大高度越接近于容器的杯面,这与实际相符.
图6液面高度与倾斜夹角之间的关系
情况3,从图7可以看出,由于对称性重心在y方向取值为零,液体倾动未流出的情形和溶液倾动沿杯顶流出的情形的重心轨迹在Oxz平面内并且变化趋势一致,但是在x轴和z轴方向,重心夹角的变化不同,液体未流出的情形比液体流出的情形表现的更缓和一些,在z轴方向增加速度更快,其梯度更大,这也是容器倾斜液体沿容器顶流出的情形有部分液体流出造成的现象.
情况4,从图8可以看出,容器倾斜液体未流出的情形做功随角度变化更缓和一些,而容器倾斜液体流出的情形的前期做功递增速度较大,后续逐渐趋于稳定;这也是容器倾斜液体流出的情形有部分液体流出造成的现象.
通过上述仿真分析,验证了微元法和恒距离做功两种方法的一致性,进一步分析了容器倾斜液体未流出的做功模型,以及容器倾斜液体流出情形的做功模型的合理性,通过数值仿真验证了上述理论与实际情况一致性和合理性.
图7重心坐标随着角度变化的示意图
图8做功随着角度变化的示意图
5、总结
本文以微积分中的“抽水做功”相关物理问题为基础做了延伸分析,在竖直放置容器抽水做功的过程中,采用了微元法和恒距离做功法,指出“吸管”在不同位置时做功是一样的;建立了容器倾斜液体未流出的做功模型,以及容器倾斜液体流出情形的做功模型,描述了不同放置情况和动态倾斜情况下的做功情况,并通过数值仿真进行验证.在教学过程中,通过相关案例分析和延伸讲解,可以提高学生学习兴趣,激发学生学习的自觉性、主动性,提高观察问题、分析问题、解决问题的能力.
参考文献:
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基金:学院教育教学改革重大基金项目(JYYJYB2019020)和(413GZ10107)资助.
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期刊名称:高等数学研究
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