工字钢在实践中应用非常广泛,又因为工字钢材料分布合理且对称,所以具有较好的力学性能。近些年来,有许多学者对其进行了研究,比如张秋霞通过采用25b#工字钢加强带式运输机的机尾大梁强度,保证了煤矿开采的顺利进行[1]。郭吉坦等采用有限元屈曲方法分析了正弦波纹腹板工字钢梁的各项性能,对波纹腹板钢梁设计有一定参考意义[2]。田林杰等用Rayleigh-Ritz法精确分析了工字钢梁在预弯阶段的侧向失稳规律[3]。唐锐等通过有限元软件分析了工字钢的轧制过程并对表面孔型进行了优化设计[4]。李建莉使用ANSYS软件对工字钢梁的静力学特性进行了理论计算和研究,得出了工字钢梁弯曲最严重的部位[5]。冯然等对使用不同金属材料开孔工字钢梁进行了弯曲试验研究,分析出孔洞对工字钢梁的整体性能影响会有不同程度的降低[6]。周家来等利用ANSYS软件对荷载作用下的悬臂工字钢梁进行了静力分析与研究[7]。陈瑜等通过Workbench有限元软件对单轨吊工字钢进行了数值分析与优化设计,既提高了材料的利用效率同时也节约了工字钢的制造成本[8]。由于工字钢具有较好的实用性能与力学性能,为了进一步研究工字钢的特性,本文主要通过采用有限元法对一桁架的工字钢梁进行了在几种不同工况下的有限元模拟与数值分析,再通过拓扑优化设计,以工字钢梁结构柔顺度作为目标函数,特定部位的许用应力、许用挠度、质量百分比为约束条件,求出合理的空间几何材料配置,计算出优化设计结果,并为更复杂的结构优化与设计提供有价值的参考。

1、有限元建模及数值分析

选取在实际工程中一般长度为2.4m的工字钢梁结构作为研究对象,首先通过有限元法建立三维模型划分网格,设置施加载荷、目标函数、约束条件,求出结果对其结构进行静力学分析。其结构如图1所示,钢梁采用Q235钢,表1为工字钢梁结构尺寸参数及材料参数。

图1工字钢梁结构示意

表1工字钢梁结构尺寸参数及材料参数

1.1有限元模型的建立

工字钢梁结构主要由翼缘、腹板、长度组成。腹板在翼缘的上下两端,长度则起到延伸翼缘与腹板使之成为几何结构的作用。工字钢梁结构有限元模型全部采用六面体单元,为提高有限元模型计算精度,三维模型网格划分尺寸大小为每34mm划分一个单元,通过格网划分模型。结构三维模型云图与网格划分分别如图2、3所示。

图2工字钢梁三维模型云图

图3工字钢梁网格划分

1.2设置边界条件与施加载荷

在工字钢梁结构两端工字形截面处施加固定端约束,为确保钢梁在应用过程中的实用性,钢梁承受自重荷载,同时在其上部翼缘顶面处施加永久载荷。重力加速度设为9.8m/s2,方向为Z轴负方向,根据设计规范设置一般永久载荷为0.7MPa,均布载荷方向为Z轴负方向,同时在其上部翼缘顶面D/2、D/4、D/4+3D/4处精准施加集中节点载荷,一般实际工况下施加的集中节点载荷均为6kN,方向为Z轴负方向。其一般载荷与几种不同工况下的荷载施加如图4～7所示。

图4一般情况下载荷

图5D/2工况下载荷

图6D/4工况下载荷

图7D/4+3D/4工况下载荷

1.3结构数值分析与结果验算

由相关设计规范可知,Q235钢许用应力[σ]=160MPa,由于钢梁跨度与截面高度之比I/D>5,因此设计公式基本满足要求。工字钢梁横截面主要由7部分组成,截面形心轴中点处的惯性矩为

把式(2)代入式(1)可求出工字钢梁整体横截面关于中间腹板形心轴的惯性矩为I=0.0025m4,可近似计算出工字钢截面系数W为

由上式可求出Mmax=71.2kN·m,在几种工况下条件均满足设计规范要求。钢梁垂直重力方向形变挠度可通过如下公式近似计算:

由上式可得出,几种不同工况均满足挠度设计要求。

通过有限元法模拟分析计算得出不同工况下工字钢梁的应力与变形云图,分别如图8、9所示。

图8不同工况下应力云图

图9不同工况下变形云图

因为一般工况荷载对称,所以从分析可以看出:一般工况下的钢梁结构应力主要集中在固定端截面上部翼缘上表面位置,最大应力为107.96MPa,最小应力集中在跨梁中部腹板位置;形变也主要集中在跨中截面中部腹板对称形心位置,最大形变为1.1002mm,最小形变发生在固定端处,由于两端受到约束基本没有形变。D/2工况比一般工况多了一个6kN跨中集中节点载荷,即施加在工字钢梁的荷载是对称载荷,故最大应力主要分别集中在两侧固定端截面上部翼缘上表面位置,最大应力为111.68MPa;形变也主要集中在跨中截面中部腹板对称形心位置,最大形变为1.1549mm,与一般工况下的最大应力与变形位置基本一致。D/4工况比一般工况多了一个6kN跨中左侧位置集中节点载荷,其应力主要集中在左侧固定端截面上部翼缘上表面位置,最大应力为112.03MPa;最大形变也主要集中在跨中右侧截面中部腹板对称形心位置,最大形变为1.1258mm。D/4+3D/4工况比一般工况多了2个6kN跨中两侧位置各施加的集中节点载荷,其应力主要集中在左侧固定端截面上部翼缘上表面位置,最大应力为113.52MPa,最小应力集中在钢梁中部腹板位置;形变也主要集中在跨中,中心截面中部腹板对称形心位置,最大形变为1.1514mm,结构固定约束端处基本无形变。

通过几种不同工况可以看出,随着施加载荷的数量增多,其形变也趋向于增大。工字钢梁最大应力主要集中在两侧固定端上部翼缘上表面延伸位置;最大结构形变主要集中在跨中中部腹板中心轴线位置;在这几种不同工况中,D/4+3D/4工况在最大应力与变形条件中均为最危险工况。同时,最大应力113.52MPa≤[σ],最大形变1.1514mm≤[ω],均满足钢结构设计要求。有限元法数值模拟出的结果基本与理论分析一致,得出的数值模拟结果基本符合力学规律一般特性,有限元法对工字钢梁结构不同工况荷载状态下静力分析与数值分析具有一定合理性和可靠性。

2、变密度法拓扑优化设计

2.1拓扑优化设计

拓扑优化主要是对给定结构内材料分布进行合理优化的数学方法。结构优化可分为尺寸优化、形状优化、拓扑优化几种,其中又以拓扑优化在几个优化中最为复杂、难度最高。同时,拓扑优化又有其他两种优化难以达到的效果,在结构材料利用率与经济效益上最为明显。近些年来,越来越多的专家与学者参与到拓扑优化领域并取得了许多成果,例如戴睿婕等对外置式耐压液舱实肋板结构进行了拓扑优化和开孔尺寸优化设计,使得耐压液舱实肋板结构在满足约束条件下重量可得到较好的优化[9]。赵清海等通过对热传导拓扑优化设计,使得热载荷作用下散热结构多相材料拓扑优化设计问题具有良好的有效性与可行性[10]。杨旭东等采用ABAQUS对试验台底座的性能进行了数值分析,并在对底座拓扑优化的基础上对底座的筋板进行了尺寸优化,使得底座质量得到极大提高[11]。占金青等提出了一种基于最大应力约束的柔顺机构拓扑优化设计方法,优化柔顺机构使应力分布更加均匀[12]。赵立杰等建立了多相材料柔性机构拓扑优化模型,实现了材料机翼前缘柔性机构能够最大9.1°的连续偏转[13]。戴护民通过对成型机轴承座的拓扑优化,不但使得轴承座的动态特性得到提高,还实现了构件的轻量化设计[14]。在连续体拓扑优化方法中,变密度法发展得最为成熟,在设计与实践中得到了非常广泛的应用。本文采用拓扑优化变密度法(SIMP)对工字钢梁结构进行优化设计,以目标结构柔顺度为目标函数,许用应力、许用挠度、质量百分比为约束条件;采用局部优化方式对工字钢梁结构在D/4+3D/4工况下进行拓扑优化。

2.2变密度法(SIMP)模型

变密度法(SIMP,solidisotropicmaterialwithpenalization)模型是将连续体离散为有限单元的模型,同时SIMP模型假设结构材料的单元密度可设计变量,通过控制设计变量达到拓扑优化效果,并认为单元密度与材料的宏观物理属性之间存在着某种函数关系,然后建立材料差值模型,密度大小一般在区间[0,1]之间变化[15]。采用惩罚因子使中间密度向0或1靠近,从而达到精确拓扑优化目的。SIMP不仅可以把结构柔顺度设置为目标函数,还能用于其他目的的优化,通过建立相应的目标函数。基于SIMP材料差值的数学模型如下式所示:

SIMP差值拓扑优化通过分析改变设计变量在[0.001,1]范围内取值,设定约束条件的上下限范围,求出目标函数的最优解,完成拓扑优化。

2.3SIMP拓扑优化流程

首先通过有限元法建立三维模型,其次根据实际规范标准设置材料参数、目标函数、约束条件,然后建立拓扑优化数学模型。将模型连续介质离散为有限单元,对模型施加相应载荷及其约束,得出有限元与数值分析结果,拓扑优化后,验证结果是否满足基本约束条件要求σmax=[σ],ωmax=[ω];若满足要求则进行下一步解,如果不满足约束条件则重新设计优化方案。再对满足条件的优化模型进行目标函数验证,检验不通过则重新设置参数,直至满足为止;如满足则进行最终优化校核,如满足结束拓扑优化。运用SMIP法对工字钢梁结构拓扑优化的具体步骤如图10所示。

图10拓扑优化流程

2.4工字钢梁拓扑优化

以钢梁结构的柔顺度为目标函数,许用应力[σ]、许用挠度[ω]、质量百分比为约束条件;采用SIMP对工字钢梁展开拓扑优化。由于工字钢梁上下侧某些特定位置在现实工况中需要保留,因此只能对一些可优化部位进行拓扑优化。建立拓扑优化数学模型,其工字钢梁拓扑优化数学模型如下:

通过以上对工字钢梁有限元的几种不同工况分析,选择最危险工况作为优化模型。建立三维拓扑优化模型,施加约束条件,设置拓扑优化区域模块。设计优化区域是满足钢梁功能与力学合理的最大区域,其结构优化设计部位如图11所示。因为上下部位翼缘主要承担在整体结构中的弯矩作用与固定端约束位置,不宜作为设计区域,所以设计区域主要是在钢梁结构中部腹板部位。设置设计区域质量约束百分比为3.3%,迭代次数最大值为35次,默认收敛迭代容差为0.1%,惩罚因子设置为2,目标函数为结构柔顺度;对工字钢梁结构展开拓扑优化,计算结构拓扑优化结果,拓扑后的钢梁结构经过圆润化处理如图12所示。由图可以看出,拓扑优化部位主要集中在腹板中心位置,由于钢梁是对称载荷作用,因此得出对称式开孔获得其密度的降低。可分析出,拓扑结构优化模型符合力学一般规律。再通过迭代质量关系曲线,得出其结构质量随迭代次数的变化情况,具体如图13所示。从图中可以分析出,在经过多次迭代后得到优化结果,当迭代到第2次时优化基本趋于收敛,上下波动幅度不大,表明拓扑优化效果良好。

图11优化设计区域示意

图12结构拓扑优化

图13目标函数迭代

3、优化结果与讨论

由结果分析可知,拓扑优化后的工字钢梁的质量得到了很好的降低,结构材料的利用率得到了较大提高,各项性能趋于合理。其质量相对设计区域降低了25%,总质量降低了5.93kg,其结构拓扑优化后的应力、变形云图分别如图14、15所示。由图可看出:最大应力主要集中在两固端边缘接触位置,最小应力在两端下翼缘下表面处;最大形变发生在钢梁中间顶部翼缘上表面位置,最小形变在固定约束处。同时,由数值模拟可知,拓扑优化主要是集中在结构设计区应力较小位置。由此可知,拓扑优化主要是对在整体结构作用区域单元发挥效能最低处的优化,把效能低的单元剔除,以提高结构的整体性能与力学特性。优化后结构最大应力与挠度均满足结构设计要求,结构还有一定的拓扑优化空间。可见,SIMP拓扑优化提高了工字钢梁材料性能。优化前与优化后的工字钢梁结构各项性能参数对比见表2。结构优化前的质量为173.91kg,优化后的质量为167.98kg,总体质量下降了3.41%。优化后最大形变仅提高了0.1847mm,形变提升不大。优化后最大应力基本无变化,其最大应力主要集中在孔洞外侧处,最大形变集中在梁跨中位置。应力与变形均满足钢梁结构设计要求,优化效果良好;SMIP拓扑优化对工字钢梁结构优化效果比较合理。

图14优化后应力云图

图15优化后变形云图

表2工字钢梁优化前后性能参数对比

4、结论

运用有限元法建立了工字钢梁有限元模型,通过分析几种不同工况下的数值模拟与静力分析,并利用SIMP对钢梁设计区域进行了拓扑优化,得出优化后的钢梁有限元模型,再对优化后的拓扑模型进行了验证。得出以下结论:

1)利用有限元分析了结果与理论模型的合理性,对于钢梁质量的拓扑优化提供了一种可行的方案。对于钢梁的设计具有一定的现实意义。

2)模拟结果表明,几种不同工况下的应力、形变在两侧施加集中节点载荷有较大危险,其最大形变一般在钢梁跨中腹板中心位置。

3)本文针对腹板位置进行拓扑优化设计,使用SIMP优化,该方法会导致跨中变形增大,未考虑到对孔洞边缘的影响,故应对其展开进一步研究。

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