一、引言

18世纪，偏微分方程的诞生不仅受到振动弦问题研究的影响，还得益于另一类物理问题研究的推进，即确定一个物体对另一个物体产生的引力大小。[1]1785年拉普拉斯在《球状体的引力理论及行星形状》一文中引入势函数V，将求解三个引力分量问题转化成求解关于V的位势方程问题。19世纪，随着物理科学研究范围的扩展，在数学物理的各个领域中都出现了确定满足位势方程的函数V及其级数形式中各项系数的问题，而V的具体形式取决于实际问题中物体的边界形状及条件，这称之为数学物理中的边值问题。[2]球调和分析正是在这一历史背景下产生的求解偏微分方程的数学方法，与勒让德多项式、三角函数一样，球调和函数可将满足边界条件的偏微分方程的函数解表示出来，是求解偏微分方程的重要工具。

汤姆森（WilliamThomson,1824-1907），即开尔文勋爵（LordKelvin），是19世纪的应用数学家之一，人们往往把他看作物理学家而忽视了他在数学方面的工作。（[3],p.42）他将早期英国作者所谓的拉普拉斯系数称为球调和函数，是第一位命名“球调和分析”并给出“球调和函数”定义的人，球调和分析的目的是对于涉及球面上任意数据的一大类物理问题，寻找适当形式的球面调和函数来表示含有两个独立变量的任意周期函数，推导出空间每个点的解。（[4],p.171）如果把这一目的比喻成一座高山，为了达到这个目标而构建的一套理论的发展历史，就是历代数学家前仆后继登顶的过程，而汤姆森就是众多登山者中的登顶者。[5]数学史研究的一个重要任务就是对历史上的一些重要数学工作找寻根据，我们不但要弄明白历史上的相关数学问题是怎么做出来的，而且还要进一步对数学家们当时是如何提出新问题，引入新方法以及创造新概念的过程进行较为全面系统的研究。[6]

那么，汤姆森为什么要寻找适当形式的球面调和函数表达式？怎样建立起球调和函数？解决了哪些问题？这一切的思想起源是什么？目前有关汤姆森在球调和函数方面的工作描述，大都只是提到汤姆森曾将拉普拉斯系数称为“球调和函数”，未对其形成过程和相关物理应用进行讨论。鉴于此，本文拟在研读原始文献的基础上，对这些问题进行探析，进而使我们更好地理解19世纪数学物理的特征及意义。

二、前人的铺垫

1.拉普拉斯系数

拉普拉斯系数最早起源于引力理论，由勒让德（Adrien-MarieLegendre,1752-1833）和拉普拉斯发明，其目的是为了寻找收敛级数来表示近似于球体的物体产生的引力。勒让德在1785年发表的文章中为了证明麦克劳林定理的广泛适用性，通过二项式定理将两质点之间的距离扩展成了带有勒让德系数Pn(cosθ)的收敛级数。随后勒让德还给出了连带勒让德多项式，是早期英国作者所谓的拉普拉斯系数，或被汤姆森称作带调和函数。受到勒让德的激励，拉普拉斯在球坐标下将系数Pn变为关于两个变量θ,φ的函数，即拉普拉斯系数，并在其著作《天体力学》中提出了定理：关于θ,φ的任意函数都可以用拉普拉斯系数的级数和表示。[7]这是后来汤姆森的球调和函数思想的雏形。

那么汤姆森是在什么背景下学习拉普拉斯的数学方法，为后来的球调和函数打下坚实的基础的？这要追溯到18世纪末与19世纪初，随着拉格朗日利用数学方法将力学和动力学分析化，以及拉普拉斯《天体力学》中将牛顿的运动原理和引力理论推向一个新的高度，剑桥大学于1812年成立了剑桥分析学会，通过引入欧洲大陆这些新的分析方法对旧的教学方法与课程进行改革，进一步激励英格兰的数学改革。（[3],p.42）因此在1820s-1840s期间，拉普拉斯的物理天文思想及数学方法通过各个领域传入英国，对当时的自然哲学领域产生了深远影响，而汤姆森于1841年进入剑桥学习，正好处于这一变革的成熟时期，无疑熟练掌握了拉普拉斯的思想及研究方法。[8]

2.傅立叶级数

继拉普拉斯的《天体力学》之后，傅里叶的《热的解析理论》是第二大对汤姆森产生巨大影响的著作，可以说，是傅立叶创造了汤姆森。[9]1838年，在进入剑桥之前汤姆森已经在格拉斯哥大学跟随威廉·米科勒姆教授学习自然哲学；1840年春天，天文学家约翰·普林格·尼科尔将傅里叶的《热的解析理论》推荐给了汤姆森，他仅用了两个星期便掌握了这部著作中的内容。[10]

为了追溯傅立叶对汤姆森在球调和函数方面的影响，我们先对傅立叶的偏微分方程求解工作给予回顾。傅立叶在1822年的著作《热的解析理论》中讨论的第一个问题是处理半-无限矩形平板中的稳态温度分布。在温度稳态分布情况下，傅立叶发现温度函数满足拉普拉斯方程，通过变量分离法给出了稳态热传导方程的三角级数形式解，即傅里叶级数。傅立叶在书中试图说服读者，在更一般情况下，三角级数形式的解同样成立，即任意函数都可以表示成为傅立叶级数形式，但关于一个函数表示成傅立叶级数的充分条件及更严格的证明，在七年后由狄利克雷（JohannDirichlet,1805-1859）给出。针对这一结果，傅立叶的方法是：第一，分离变量，求特征值问题的解，特解可叠加的思想；第二，这种方法的一般性通过以下事实来确保：任意函数可用傅立叶级数展开；第三，在正交关系的基础上确定傅立叶系数。[11]那么，有没有一种比傅立叶的结果更一般，且能将傅立叶分析推广到球体的好方法？汤姆森在物理问题的刺激下，将傅立叶的方法类比到了拉普拉斯方程的求解中，其中创新的数学方法对这一问题进行了回答。接下来看看是哪些物理问题促使他给出更一般的数学结果？

三、物理问题的刺激

1.背景

为了搞清楚哪些物理问题激发汤姆森对球调和函数进行研究，我们需要对他在1862年至1863年期间的三篇文章进行梳理。

19世纪初期，地质学家和物理学家之间就地球内部结构进行了激烈的争论。地质学家解释了火山和山脉的形成，而这些解释都建立在地球有一个融化核心的假设之上，并且这一核心被20到50英里的地壳所包围。但在维多利亚时期，这一观点被以霍普金斯为代表的自然哲学家基于天文理由而反对，其学生汤姆森更是从物理和数学角度讨论了地球的内部刚性。[12]同时，基于早期对傅立叶热的解析理论，及热力学基本原理的研究，1860s初期汤姆森对地球年龄的估计产生了浓厚的兴趣。

第一篇文章是于1862年4月向皇家学会(伦敦)作的报告《关于地球的冷却》，他试图根据地球温度梯度来确定地质历史的初始时间，进而确定地球的年龄，由于地球表面的温度又与地球内部刚性有关，因此在文章结尾汤姆森说道：

“……关于现在地球内部的状况，我在最近的一篇文章中进行了解释，不是通常认为的所有液体包含在30至100英里厚的薄固体外壳中，但总的来说它比一个相同直径的连续实心玻璃球更加坚硬，或许比钢更加坚硬。”（[13],p.169)

在这样的背景下，汤姆森考虑到地球弹性对潮汐的影响，根据潮汐变化判断地球刚性，再判断地球温度；第二篇文章是1862年11月的报告《弹性球壳和不可压缩液体球的动力学问题》，其中讨论了固体弹性平衡方程的求解，目的是想找到应用于判断地球刚性的数学结果；第三篇文章即上面提到的“最近的一篇文章”，是于1862年3月在皇家学会会议上题为《关于地球刚性》的报告，文章目的是根据前两篇文章的结果，判断地球刚性的大小。

虽然三篇文章的发表时间顺序与问题解决的逻辑顺序不同，但通过分析这三篇文章之间的关系，可以清晰地看出汤姆森要解决的问题及解决问题的思想脉络。刺激汤姆森提出球调和函数的物理问题可归结为以下两方面。

2.固体弹性平衡方程的求解

当物体受到给定外力或者表面牵引力的作用时，其内部会发生位移，直到物体达到平衡时位移结束，此时确定物体内部的应力和压力状态的问题就简化成寻找表示位移分量的函数的解析问题，且函数需要满足弹性平衡方程及物体表面的边界条件。[14]为了解决这一问题，斯托克斯（GeorgeStokes,1805-1859）在1845年文章《论运动中流体的内摩擦理论和弹性体平衡和运动的理论》的第三节给出了弹性固体平衡方程：[15]

汤姆森在其第二篇文章中为了研究弹性球壳和不可压缩液体球的动力学问题，借助斯托克斯的这一方程组，并将它转换成拉普拉斯方程：

其中α,β,γ是任意点(x,y,z)沿三个轴方向的位移分量，δ是位移分量的散度，是弹性固体刚性。（[16],p.583）为了解决方程(5)：首先，需要找出方程的一般解；其次，通过添加特解找出完全解；最后，用完全解确定任意函数的形式，进而得到第三篇文章所需的判断地球刚性的数学结果，而这一过程必须借助球调和函数完成。

3.潮汐与地球刚性

由于地球所受引力及自身弹性的原因，常产生两个问题：月球和太阳的引力势作用而产生的潮汐力使地球表面产生潮汐形变；地球旋转使地球形状的椭圆率发生变化。而地球表面潮汐的高度及其形状变化又与地球刚性有关，因此汤姆森在第三篇文章中的前两节就霍普金斯的结论进行了总结，并在第三节说道:

“……我想到了赋予地球形状刚性时引力及弹性的相对值，令我惊讶地发现，除非地球具有非常高的刚性，否则引力在这种效应中的影响大于弹性……因此很明显，除非地球的平均物质比钢更坚硬，否则它的形状必须屈服于月亮和太阳的扭曲力.......为了说明这个结论，我已经研究了在任意给定的扰动力的影响下均匀弹性球体所经历的形变……”([17],p.573)

汤姆森关于潮汐的工作通常是指比较早期的平衡潮汐理论，由于月球吸引产生的潮汐就像围绕在地球表面的一条带，它将跟随月亮绕地球旋转，其中地球被假定是由海洋覆盖且具有完全刚性的完美椭球体。因此基于以下事实:当一个与地球等质量、同大小的不可压缩液体球，或者一个被无穷小密度的海洋覆盖着的完美刚性球体，受到潮汐力时，其表面产生的潮汐高度被称之为“真正的平衡高度”，即相对于陆地的最高水位与最低水位差，记为H，但由于地球刚性及地理等因素的影响，实际潮汐高度与真正平衡高度并不一致。为了寻找实际高度、平衡高度及刚性这三者之间的关系，汤姆森提出两种假设：地球为均匀不可压缩固体球，只受到自身弹性影响；地球为均匀不可压缩流体球，只受到内部分子之间的引力影响。且这两种情况下球体长轴与短轴之差分别为h'、h，并假设具有完美刚性的地球被密度为地球平均密度1/N的海洋覆盖时，产生的“真正平衡潮汐高度”为H'。然后，通过对比观测到的潮汐高度与真正平衡高度来推断地球刚性大小。（[17],pp.575-578）这是导致汤姆森球调和函数产生的第二个因素。

可以看出汤姆森的思路，是将物理问题转化成数学问题，再用数学结果解决物理问题。所用工具就是在物理问题的刺激下产生的球调和函数。接下来，我们讨论汤姆森是怎样用自己的创新方法将拉普拉斯系数、勒让德多项式扩展，与傅立叶级数一起构成表示偏微分方程解的完全球面调和函数。

四、汤姆森的数学工作

汤姆森作为数学物理学家，他的主要目标是发展求解重要的数学物理问题的有效及一般的数学方法，而他手中的主要武器就是偏微分方程。（[3],p.42)1861年末，汤姆森邀请泰特编写自然哲学课程教材《自然哲学》。尽管这部著作是汤姆森与泰特合著，但从他们的通信及原始文献中可知，球调和分析的内容属于汤姆森。（[9],p.364）在本书第一章附录中，汤姆森基本完成了关于球调和函数的所有数学工作。

在附录开头，汤姆森这样说道：

“英国作家通常称之为拉普拉斯系数的数学方法，在这里称为球调和分析，其目的是以适当的形式表示两个自变量的任意周期函数，进而推导出空间中任一点处的解......为了解决一大类物理问题。”（[4],p.171)

紧接着给出了球调和函数的定义：

“一个关于(x,y,z)的n阶齐次函数，若满足拉普拉斯方程则称之为球调和函数，其中齐次是指函数各项次数相同，解析意义如下，

n可以是任意正整数或负整数，或分数，或虚数”（[4],p.171;178)

汤姆森解释道：

“上述这些方程的一般积分的各种解析形式并不难找到，但对我们而言，这一切研究的价值取决于解的结果是否满足物理问题所呈现的边界条件……在空间边界为完全球面、两个同轴球面，或者椭球面等一大类且非常重要的物理问题中，这样的解极其重要……”([4],p.178)

为了寻找数学物理中满足边值条件的方程的解，汤姆森给出了如下几个关键的关系式。

首先，给出一套关于两个球体调和函数之间的互逆关系，以及球体调和函数与球面调和函数的数学关系式：

“如果Vn是满足上述定义的n阶球体调和函数，则rmVn也是满足拉普拉斯方程的-n-1阶球体调和函数，当且仅当m=-2n-1,

汤姆森将-n-1阶和n阶的球调和函数称为互逆，且任意阶球面调和函数Sn(θ,ϕ)与球体调和函数的关系为Vn=rnSn(θ,ϕ),V-n-1=r-n-1Sn(θ,ϕ)。同傅立叶所采用程序中的分离变量一样，汤姆森将球体调和函数分离成半径与球面调和函数的乘积。因此，只要球面调和函数的一般表示式Sn知道，球体调和函数及任意函数就可以表示出来。

其次，给出球调和函数的另一个重要性质，即拉普拉斯方程已知解的任意次微分结果仍是方程的解。汤姆森这样描述：

“如果函数u是拉普拉斯方程2u=0的解，那么同样有，……以-1阶的球调和函数1/r为例，则对1/r求i阶导之后仍是拉普拉斯方程的解……”（[4],p.180)

也就是说，每一个球调和函数解都可以用1/r的微分来表示。

第三，在此基础上汤姆森将任意球调和函数Vi按1/r的微分形式展开，将其中的直角坐标转换到对应的虚数坐标，并借助莱布尼兹定理，将每一微分项展开；再将虚数坐标转换为极坐标，得到i阶完全球面调和函数的三角扩张表示形式：

其中就是拉普拉斯系数。同时，汤姆森借助格林定理证明了两个不同阶且不互逆的球面调和函数的正交性质。如同在傅立叶级数表达式中的作用一样，正交性是级数表达式中各项系数的重要性质。

第四，有了球面调和函数的表示，将任意函数表示成球面调和函数级数和形式就不难实现了。在附录B的(p)部分，汤姆森利用球调和函数性质，重新考虑了球面情况下的格林问题，并给出了任意函数F(P)的球面调和函数级数和形式，如下：

其中P为空间任意一点，Si为球面调和函数，F(E)为球面上的给定值。

上述就是汤姆森利用创新数学方法将完全球面调和函数表示成三角级数和的形式，再用球面调和函数表示任意函数过程。他借用傅立叶所采用的程序，给傅立叶级数添加了一个特殊的系数，即拉普拉斯系数，进而将结果命名为球调和函数，正如他在书中所说：

“不熟悉傅里叶方程理论的读者，可以毫不费力地验证，傅立叶那部令人钦佩的作品中所形成的原理在当前运算中的应用。它对分数或虚数阶的解释非常有趣，并且对部分球调和函数的物理应用具有明显的价值。”([4],p.198)

接下来，我们看看汤姆森是如何应用球调和函数，解决本文第二部分的物理问题：求解弹性平衡方程、判断地球刚性。

五、物理问题的解决

在本文第二节方程(2)的基础上，汤姆森在第二篇文章中借助球调和函数的相关结果(3),(4)式,及(5),(6)式，求得了(1)式的一般解，即，

其中Vi,V'i即为球调和函数。将ui,u'i分别替换成vi,v'i及wi,w'i，即为β，γ，这六个变量同样为球调和函数。接下来他说：

“仍然需要说明如何确定ui,u'i，……,且满足表面条件，我们假设边界面上的每一点的位移分量给定……近而确定完全解α，β，γ…….”（[16],p.588)

结合他在文章第一节所说的：

“目前弹性平衡固体理论存在如下一般问题，给定一个任意形状的固体，若作用在其表面的任意外力或者边界面位移给定,则需要找出其中每个点的位移。本文的目的是针对由各向同性弹性材料构成,并由两个同心球所构成的壳体情况，给出这一问题的解…”([16],p.583)

可以看出汤姆森想从两个方面寻找弹性固体发生形变时任一点处位移分量的完全解，即给定物体表面位移或给定物体表面所受外力。第一种情况，当球体表面任意点处的位移分量Ai,Bi,Ci给定，(7)式可写成α=∑Ai,β=∑Bi,γ=∑Ci，同时求解满足边界约束条件的特解ui,u'i……，最终确定α,β,γ的微分形式完全解；第二种情况，当球体表面所受外力给定，以同样的步骤可确定位移分量的完全解。这一过程是按照本文第二部分第二小节提到的三个步骤完成的。接着汤姆森借助球体的轴对称性质考虑了球体沿轴半径方向的位移，并给出了球体在赤道半径方向产生位移的代数表达式

文章结尾，汤姆森希望将α，β，γ及代数表达式(8)应用在地球的刚性判断中，他这样说道：

“……我希望未来在与皇家学会交流时，将这些结果应用到太阳与月球对天体的影响中，如地球被许多地质学家假设为一个坚固的厚度小于100英里，内部充满流体的球壳。这一不可靠的假设在1862年5月的文章中被充分证明......上述代数式被应用在这篇文章的第三十四节……”（[16],p.606;p.608)

很显然，数学结果(8)式即第三节中的h'，根据H、H'、h'之间的关系，可推导出h'与h的关系：

其中n为刚性，w为单位体积质量，g为球体表面单位质量处的万有引力，r为球体半径，同时汤姆森借助其哥哥詹姆斯关于铁的刚性的实验数据，分别计算了当n为钢或玻璃的刚性时，球体长轴与短轴之间的比例关系，h=0.41h',h=0.78h'。因此汤姆森在1862年3月的文章中说道：

“如此小的形变很难直接通过地质或者天文观测而获得，但它如果存在，则必然会影响到潮汐的实际现象……”（[17],p.575）

在此基础上，汤姆森根据球体椭圆率之间的关系及H'=h',(N=1，即地球为均匀不可压缩固体球），给出了不完美刚性球体表面实际观测到的潮汐高度与完美刚性假设下“真正的平衡高度”H之间的关系，推测出地球的刚性一定比玻璃大，甚至比钢的刚性还要大。最后给出与刚性对应的实际潮汐高度的数量关系，当地球是完美刚性时，潮汐高度为36英寸；当地球刚性如钢或者玻璃一样，高度分别为3英寸或1英寸。

六、结语

汤姆森早期研究内容主要集中在地球形状，地球年龄和地球刚性等一大类关于边界面为完全球面、两个同轴球面、椭球面以及不完全球面的物理问题，勒让德、拉普拉斯的势理论、傅立叶的热的解析理论为汤姆森判断地球年龄奠定了数量基础。为了寻找适当形式的函数解，汤姆森引入了球调和函数并给出其性质，并将一般函数表示成球面调和函数的级数和形式，这不仅成为拉普拉斯方程求解的重要工具，促进了微分方程的数学发展，而且成了当时判断地球刚性、地球年龄的物理权威。汤姆森还根据球调和函数的不同阶数和次数，分类了带调和函数、扇形调和函数、扇形调和函数。

英国数学家拉弗、物理学家麦克斯韦等人都受到了汤姆森的影响，尤其是麦克斯韦在发展了球调和函数的极点，用极点来表示一般的球体调和函数及球面调和函数；达尔文在其1882年发表的文章中依据汤姆森关于弹性平衡方程的解，讨论了均匀不可压缩弹性球的内部压力及应力状态等问题，并将结果应用到了地球的情形。关于汤姆森对地球年龄的估计，后来被认为是维多利亚时期最为著名的错误，[18]但这一过程中，汤姆森所创造的球调和函数方法及计算是准确无误的，他的助手约翰·佩里于1895年在《自然》上发表的文章《关于地球的年龄》已证明了这一点。[19]

参考文献：

[1]莫里斯·克莱因.古今数学思想[M].第二册,石生明､万伟勋､孙树本等译,上海:上海科学技术出版社,2014,99,249.

[3]李文林.剑桥分析学派[J].科学､技术与辩证法,1985,(1):34-46.

[5]曲安京.近现代数学史研究的一条路径——以拉格朗日与高斯的代数方程理论为例[J].科学技术哲学研究,2018,35(6):67-85.

[6]曲安京.中国数学史研究范式的转换[J].中国科技史杂志,2005,26(1):50-58.

穆蕊萍,曲安京,赵继伟.关于汤姆森在球调和函数方面的工作之历史探析[J].自然辩证法通讯,2020,42(04):55-61.

基金:国家自然科学基金项目“代数方程之Galois理论的若干历史问题研究”(项目编号:11571276)