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基于熵的纠缠演化探讨纠缠腔场和纠缠Ξ-型三能级原子的关系
摘要：文章利用一对处于纠缠态的Ξ-型三能级原子与一对处于纠缠态的单模腔场,初始时刻原子与腔场之间互不纠缠,使其中一个原子与一个腔场发生相互作用,即纠缠交换,合适选择相互作用时间就可实现原子与腔场之间产生纠缠,并研究了系统原子熵的演化特性,运用量子熵理论,讨论了原子-腔场的耦合常数对原子熵的影响,结果表明:原子与光场跃迁耦合常数对系统熵的最大纠缠度有影响.当原子与光场两种跃迁耦合常数之比k值增大时,最大纠缠度在减小;当k增大到某一程度时,系统熵随时间周期性变化,并出现双峰现象.
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1、引言
量子纠缠是量子信息和量子计算的核心,而且在量子通信领域中有着广泛而重要的应用[1].例如:量子隐形传送[2]、量子密钥[3]、量子密集编码[4]等.为了进行纠缠态的远距传送,往往需要事先让相距遥远的两地共同拥有最大量子纠缠态,但是由于受外界环境噪声的影响,就会不可避免地导致不同程度的纠缠品质下降,在此背景下就提出了纠缠交换[5],其目的是通过某些物理过程,使从未发生直接相互作用的量子系统之间产生量子纠缠.这对于建立远程非局域关联是非常有用的.
原子与光场相互作用时可表现出一些非经典效应,如:原子周期的崩塌-回复、光场的压缩特性、光场的聚束与反聚束等,这些都反映了场和原子的量子特性,但是这些效应还不能完全说明其相互作用的动力学的量子特征,熵是一个描述系统偏离纯态程度的物理量,在量子信息领域有着非常重要的应用,根据Phoenix和Knight[6,7]提出的量子约化熵理论,光场与原子相互作用时,可以通过熵随时间的演化来反映原子与场之间的关联程度,熵值越大,关联程度越大,在熵值的最大区域,若想最大限度地获得光场所包含的信息可以通过对原子的测量来实现,所以,研究反映原子与光场关联效应的场(原子)熵有很重要的实际意义.近几年,人们研究两能级原子与光场、三能级原子与光场相互作用系统熵的演化特性的较多[8,9,10,11,12],但研究原子与光场经过纠缠交换之后,两者之间产生纠缠的系统熵的演化甚少提及.本文基于纠缠的两个Ξ-型三能级原子与两个纠缠的单模腔场,初始时原子与腔场互不纠缠,让其中一个原子和一个腔场发生共振相互作用,得到了两原子与两腔场纠缠交换后的系统的熵,并利用量子熵理论,讨论了原子与腔场跃迁的耦合常数对系统熵的影响.
图1与单模腔场相互作用的三能级原子示意图
2、理论及模型
考虑一个三能级原子与一个单模腔场通过双光子J-C模型发生相互作用,在相互作用绘景中,哈密顿量可表示为
g1、g2分别表示|e〉↔|f〉、|f〉↔|g〉之间发生跃迁的耦合常数.下图1给出了原子能级示意图.其中,ωi(i=e,f,g)分别是对应于原子能级|e〉、|f〉、|g〉的频率,原子与腔场整个系统的演化可用下式表示
图1与单模腔场相互作用的三能级原子示意图
根据薛定谔方程,结合式子(3)、(4),我们可以得到下面三个耦合的微分方程
假定原子与腔场的初始态(初始时间t=0)是
Cn(0)表示任意初始场态的振幅,以及Ca(0)(a=e,f,g)是初始原子态(归一化)|χ〉=Ce|e〉+Cf|f〉+Cg|g〉的振幅,根据这些初始条件,解薛定谔方程,可得到以下系数
其中
,是拉比频率,分别在式子(8)、(9)中做代换n→n-1、n→n-2,就可得到Cf,n(t)和Cg,n(t).
假定两个原子(1,2)和两个腔场(3,4)最初分别处于态|φ〉12=α1|g〉1|e〉2+β1|e〉1|g〉2和|φ〉34=α2|2〉3|0〉4+β2|0〉3|2〉4,如图2所示,最初,两个原子之间存在纠缠,两个腔场之间存在纠缠,但是原子1,2与腔场3,4之间互不纠缠,其中|0〉表示真空态,|2〉表示双光子态,接着原子2与腔场3发生相互作用,系统态随时间的演化为
其中,C(u,v)x,y表示式子(15)中的系数,考虑到系统最初态处在(u,v),x,u代表原子所处态,y,v代表腔场所处态.
图2纠缠交换方案示意图|φ〉12表示两原子(1,2)间的纠缠;|φ〉34表示两光场(3,4)间的纠缠
3、纠缠交换
通过纠缠交换,整个系统的密度矩阵为
ρ=|φ⟩12341234⟨φ| (11)
最初原子系统与光场系统都处于纯态,并且彼此之间没有相互作用,因此,整个原子-光场系统的熵为零并保持恒定,根据Araki-lieb不等式[13],原子系统、光场系统的熵满足
|Sa−Sf|≤S≤|Sa+Sf| (12)
对于任何t>0的时刻,都有S=0,因而任意时刻光场系统的熵都等于原子系统的熵,对光场(3,4)求迹可得出原子约化密度矩阵
4、数值计算与讨论
将λ的值(15)式代入(14)式可以求出系统原子熵,图3给出了原子1,2与光场3,4最初分别处于最大纠缠态,即α1=β1=α2=β2=1/2√时,原子与光场两种跃迁耦合常数之比k=g2/g1不同时,系统熵随时间的演化情况,图3(a)～(e)显示了原子-腔场的耦合常数对系统熵的影响.由图像可知,当k=1,熵随时间出现不规则的震荡(如图a),随着k值的增大,系统的最大纠缠度在减小,熵的图像逐渐呈现出类似的双峰现象,即纠缠度先增大后减小,减小到某个值后继续增大,然后再减小到最小,并且双峰的周期明显在变短,两个峰的大小也不对称,但当k=20时,两原子的纠缠出现周期性变化,双峰现象非常明显且两峰大小对称,即纠缠度先增大后减小,减小到某个值后继续增大,然后再减小直到完全分离.可见,原子与光场跃迁耦合常数对系统熵有一定的影响.
图3原子-腔场的耦合系数对原子熵的影响.
5、结论
本文基于两个Ξ-型纠缠的三能级原子与两个纠缠的腔场双光子共振相互作用,得到了两个纠缠原子与两个腔场纠缠交换后的系统的原子熵,并利用量子熵理论,讨论了原子与光场跃迁耦合常数对系统熵的影响,结果表明:系统熵的最大纠缠度随原子与光场两种跃迁耦合常数之比k的增大而减小,当k增大到某一程度时,系统熵随时间周期性变化,并出现双峰现象.
参考文献:
[8]刘翔,方卯发.光场与级联型三能级原子相互作用时的熵特性和薛定谔猫态[J].物理学报,2000,49:1707]
[9]卢道明.级联三能级原子与相干光场相互作用场熵的演化[J].原子与分子物理学报,2006,23:912]
[10]刘素梅.非旋波近似下光场与级联型三能级原子相互作用系统场熵的演化特性[J].量子电子学报,2003,20:725]
[11]张金芳,谭磊,刘利伟,等.运动级联型三能级原子双光子过程的熵的演化[J].物理学报,2008,57:2205]
[12]李永平,刘永亮,贺金玉.失谐量对“单模真空场-Ξ型三能级原子”相互作用系统场熵压缩特性的影响[J].量子电子学报,2003,20:715]
张蕾,郝丹辉,强稳朝.纠缠Ξ-型三能级原子与纠缠腔场相互作用熵的纠缠演化[J].原子与分子物理学报,2020,37(05):734-738.
基金:陕西省教育厅科研项目(18JK025).
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2020-06-29
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主管单位：中国科学院
主办单位：中国科学院上海有机化学研究所,中国化学会
出版地方：上海
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国际刊号：0567-7351
国内刊号：31-1320/O6
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