传染病[1]1]是因受到各种病原体(微生物、寄生虫等)侵入而产生的,能在人和人、动物和动物或人和动物之间互相流行,长期危害着人类的生命安全.传染病属于感染性疾病,具有传染性,而传染的发生一般具备三个环节,分别为传染源、传播途径、易感人群,只要切断其中一个环节,就能治疗或预防传染病的发生及发展,故研究传染病的流行因素从而控制疾病的传播显得异常重要,而数学建模为分析传染病提供了有利支撑.潜伏期的存在是传染病流行病学中一个重要的特征,潜伏期是指感染某种传染病后一直到疾病出现的时期,不同的传染病潜伏期时间不一样,同种传染病潜伏期也不相同[2,3,4]2-4],而疾病的复发和年龄结构也经常在传染病的传播过程中存在,有些疾病如手足口病、登革热和肺结核等被治愈后会有较高复发率,同时麻疹、肺结核和血吸虫病等感染进程跟年龄有关.因此在传染病的数学建模中要考虑上述情况亦为建立更加贴合疾病的数学建模.长期以来,有关年龄结构的文章在分析上较为复杂,而2010年Magal等[5]5]研究了年龄依赖模型,通过线性化和构造Lyapunov函数等证明平衡点的全局稳定性,至此以后开启了年龄结构模型的建立分析.由于考虑到染病者的潜伏期与疾病的复发都会与年龄有关,这些关系都会影响疾病的整个流行趋势,故建立年龄结构模型研究分析已经是很多学者都在考虑的问题.

1、模型的建立

本节建立了具有潜伏、复发年龄依赖的SEIR传染病模型.将所考虑的人群分为症状互不重合的5类,设S(t),e(t,a),I(t),r(t,b)分别表示t时刻的易感人群的数量、处在a年龄潜伏期的潜伏人群的密度、感染疾病的人数和处在b年龄又病情复发的移出者人群的密度,N(t)为t时刻的总人口,常数Λ表示输入人群总量且进入到易感仓室.时刻t处在潜伏仓室和处在移出仓室的总数量分别为∫∞0e(t,a)da和∫∞0r(t,b)db,而从潜伏仓室移出到染病仓室和从移出仓室复发到染病仓室的年龄依赖比率分别为ω1(a)和ω2(b),则时刻t从潜伏仓室和从移出仓室进入染病仓室的总量分别为∫∞0ω1(a)e(t,a)da和∫∞0ω2(b)r(t,b)db,根据如上叙述则可建立如下的数学模型:

dSdt=Λ-βSΙ-μS,∂e(t,a)∂t+∂e(t,a)∂a=-(ω1(a)+μ)e(t,a),dΙdt=∫0∞ω1(a)e(t,a)da+∫0∞2(b)r(t,b)db-(μ+δ+k)Ι,∂r(t,b)∂t+∂r(t,b)∂b=-(ω2(b)+μ)r(t,b),e(t,0)=βSΙ,r(t,0)=kΙ,S(0)=S0,e(0,a)=e0(a),Ι(0)=Ι0,r(0,b)=r0(b).}         (1)

其中S0,I0∈R+=[0,+∞),e0(·),r0(·)∈L1+,L1+=((0,∞),R+)为映φ:(0,∞)→R+的一切Lebesgue可积的函数类所构成的空间,而L1=((0,∞),R).正常数β,μ,δ,k分别表示感染率、人群的自然死亡率、因病死亡率和恢复率.按照模型的生物意义作出如下假设:

A1)参数a∈[0,a^],b∈[0,b^],其中a^,b^表示处在潜伏仓室和移出仓室的最大年龄;

A2)函数ωi(·)∈L1+具有几乎处处的上界ωi¯,Lipschitz连续且Lipschitz常数为Mωi(i=1,2);

A3)存在常数u0>0,使得ωi(·)≥u0(i=1,2)成立.

2、解的适定性

给出如下记号和表达式

εi(l)=ωi(l)+μ,ρi(l)=e-∫l0εi(τ)dτ,

θi=∫∞0ωi(l)ρi(l)dl,i=1,2.

由假设可以推出0≤θi≤1,0≤ρi(s)≤1和

dρi(s)ds=-εi(s)ρi(s),∀s≥0,i=1,2.         (2)

另外对所有的λ≥0,i=1,2,定义如下函数

θi(λ)=∫∞0ωi(l)e[-(λ+μ)l-∫l0ωi(τ)dτ]dl,i=1,2.

得到θi(λ)≤θi(0)=θi.进一步再定义函数

πi(l)=∫∞lωi(τ)exp(-∫lτεi(s)ds)dτ,i=1,2.

可知πi(l)=0,πi(0)=θi和

dπi(l)dl=πi(l)εi(l)-ωi(l),∀l≥0,i=1,2.

应用Volterra公式,沿着特征线t-a=const求解模型(1)中的第2,4个方程可得

e(t,a)={e(t-a,0)exp{-∫0aε1(s)d s}=β S(t-a)Ι(t-a)ρ1(a),t>a≥0,e0(a-t)exp{-∫a-taε1(s)d s}=e0(a-t)ρ1(a)ρ1(a-t),a≥t>0.         (3)

r(t,b)={r(t-b,0)exp{-∫0bε2(s)d s}=kΙ(t-b)ρ2(b),t>b≥0,r0(b-t,0)exp{-∫b-tbε2(s)d s}=r0(b-t)ρ2(b)ρ2(b-t),b≥t≥0.         (4)

命题1将模型(1)中的第1,3个方程以及(3),(4)放在一起,即模型(1)能够被写成Volterra型积分方程.

2.1解的存在唯一性

利用Magal等[6]介绍的方法,将问题(1)转化成非密抽象的柯西问题来确定其解的存在性.先定义以下状态空间:X=R×R×L1×R×R×L1和X+=R+×R+×L1+×R+×R+×L1+,其上的范数为各子空间通常范数的乘积.

令集合X0=R×{0}×L1×R×{0}×L1和X0+=X0∩X.

以模型(1)为基础定义线性算子Α:Dom(Α)⊂X→X.

以模型(1)为基础定义非线性算子Β:Dom(Α)¯→X.

Dom(Α)=R×{0}×W1,1((0,∞),R)×R×{0}×W1,1((0,∞),R).W1,1((0,∞),R)可以表示为Sobolev空间,注意到Dom(Α)¯=X0在X中是非密的.

令u(t)=(S(t),(0e(t,⋅)),Ι(t),(0r(t,⋅)))Τ,将模型(1)改写为如下的抽象柯西问题,

{d u(t)d t=Αu(t)+Β(u(t)),u(0)=u0∈X0+,t≥0.

模型(1)的像空间选取为Y=R+×L1+×R+×L1+,对任意(x1,x2,x3,x4)∈Y,其范数定义为‖x1,x2,x3,x4‖Y=|x1|+∫∞0|x2(a)|da+|x3|+∫∞0|x4(b)|db.这个模指各仓室的人口总和,模型(1)的初始条件x0=(S0,e0(·),I0,r0(·))∈Y,由兼容性条件得到:e(0,0)=βS0I0=e0(0),r(0,0)=kI0=r0(0).

由文献[6]的定理5.1.1,以及文献[7]的结论,知模型(1)在X0+上生成的半流{F(t,x0)}t≥0存在唯一.模型(1)生成的连续解半流F:R+×Y→Y定义为F(t,x0)=Ft(x0)=(S(t),e(t,·),I(t),r(t,·)),t≥0,x0∈Y.即有如下结论:

命题2模型(1)存在唯一的强持续解半流F:X0+→X0+,使得对每个x0∈X0+,由x0=Fx0定义的线性算子x∈C((0,∞),X0+)是模型(1)的广义解,也就是说,这里的x满足:

∫xt(s)ds∈Dom(A),x(t)=x0+A∫0tx(s)ds+B∫txx(s)ds,∀t≥0.

将模型(1)的满足初始条件F(0,x0)=x0∈Y且t≥0的唯一解表示为F(t,x0)=(S(t),e(t,·),I(t),r(t,·)),则

‖F(t,x0)‖Y=S(t)+∫∞0e(t,a)da+I(t)+∫∞0r(t,b)db.

2.2解的有界性

定义集合Π:{(S,e(⋅),Ι,r(⋅))∈X:S+∫0∞e(a)d a+Ι+∫0∞r(b)d b≤Λμ}.

引理1i)Π是模型(1)的正向不变集,即若x0∈Π,则对所有的t≥0,F(t,x0)∈Π.

ii)解半流F(t,x0)一致有界而且吸引Y中的每个点.也就是说,对任意x0∈Y,limt→∞ sup∥F(t,x0)∥Y≤Λμ.

证取x0∈Y,对模型(1)的任意解F(t,x0),求‖F(t,x0)‖Y的导数:

∫0∞∂e(t,a)∂td a=∫0∞[-(ω1(a)+μ)e(t,a)-∂e(t,a)∂a]d 

a=∫0∞-ε1(a)e(t,a)d a+β SΙ,  

∫0∞∂r(t,b)∂td b=∫0∞[-(ω2(b)+μ)r(t,b)-∂r(t,b)∂b]d b=∫0∞-ε2(a)r(t,b)d b+kΙ,

则可得

d∥F(t,x0)∥Yd t=d Sd t+∫0∞∂e(t,a)∂td a+d Ιd t+∫0∞∂r(t,b)∂td b=Λ-β SΙ-μS-∫0∞ε1(a)e(t,a)d a+β SΙ+∫0∞ω1(a)e(t,a)d a+∫0∞ω2(b)r(t,b)d b-(μ+δ+k)Ι-∫0∞ε2(a)r(t,b)d b+kΙ=Λ-μS-μ∫0∞e(t,a)d a-μ∫0∞r(t,b)d b-(μ+δ)Ι≤Λ-μ∥F(t,x0)∥Y.

进一步得到

∥F(t,x0)∥Y≤Λμ-e-μ t(Λμ-∥x0∥Y).         (5)

当x0∈Y,由(5)对所有的t≥0,可得F(t,x0)∈Π,这表明集合Π是模型(1)的正向不变集.由(5)对任意的x0∈Y,limt→∞∥F(t,x0)∥Y≤Λμ成立,这表明F(t,x0)一致有界而且吸引Y中的任何点.引理得证.

2.3解半流的渐近光滑性

定义1[8]对任何非空有界闭集B⊂Y,如果F(t,B)⊂B,则存在B0⊂B,使得B0吸引B,对所有的x0∈B,当t→∞时F(t,B)→B0,那么解半流F(t,x0):R×Y→Y被称为渐近光滑的.

引理2令x0∈Y,如果‖x0‖Y≤M成立,此处Μ≥Λμ,那么对所有的t≥0有如下结论:

i)0≤S(t),∫∞0e(t,a)da,I(t),∫∞0r(t,b)db≤M;

ii)e(t,0)≤βM2,r(t,0)≤kM.

证对结论i):若∥x0∥Y≤Λμ,则∥F(t,x0)∥Y≤Λμ≤Μ.

若Λμ≤∥x0∥Y≤Μ,设

f(t)=Λμe-μt(Λμ-∥x0∥Y),  

f′(t)=μe-μt(Λμ-∥x0∥Y)≤0,  

f(t)≤f(0)=Λμ-(Λμ-∥x0∥Y)=∥x0∥Y≤Μ,  

∥F(t,x0)∥Y≤Μ.

即证.

对结论ii):有i)可得e(t,0)=βSI≤βM2,r(t,0)=kI≤kM.

引理3[9]令D⊆R,fj:D→R,j=1,2是2个有界和莱布尼茨连续的函数,其界是Lj,莱布尼茨常数是Mj,那么它们的乘积函数f1,f2是莱布尼茨连续的,莱布尼茨常数为L1M2+L2M1.

引理4假设解半流F(t,x0)=ϕ(t,x0)+φ(t,x0),如果下述条件成立:

i)若存在函数u:R+×Y→R+使得t→∞时u(t,h)→0成立,而且当‖x0‖Y≤h时,有‖ϕ(t,x0)‖Y≤u(t,h)成立.

ii)对任意t≥0,φ(t,x0)完全连续,那么解半流F(t,x0)在Y上是渐近光滑的.

通过引理4证明解半流F(t,x0)的渐近光滑性.先将解半流F(t,x0)分解成2个算子ϕ(t,x0),φ(t,x0):R+×Y→Y且F(t,x0)=ϕ(t,x0)+φ(t,x0),令

ϕ(t,x0)=(0,x2(t,⋅),0,x4(t,⋅)),  φ(t,x0)=(x1(t),x˜2(t,⋅),x3(t),x˜4(t,⋅)),

其中:x2(t,a)={0,t>a≥0,e(t,a),a≥t≥0,x4(t,b)={0,t>b≥0,r(t,b),b≥t≥0,         (6)  

x˜2(t,a)={e(t,a),t>a≥0,0,a≥t≥0,x˜4(t,b)={r(t,b),t>b≥0,0,b≥t≥0.

那么对于模型(1),任意的t≥0,有F(t,x0)=ϕ(t,x0)+φ(t,x0).

命题3若h>0,令u(t,h)=hexp{-(μ0+μ)t},那么limt→0 u(t,h)=0且如果‖x0‖Y≤h,那么‖ϕ(t,x0)‖Y≤u(t,h).

证由(2)～(4)对任意x0∈Π,当‖x0‖Y≤h时,得

∥ϕ(t,x0)∥Y=|0|+∫0∞|x2(t,a)|d a+|0|+∫0∞|x4(t,b)d

b=∫t∞|e0(a-t)ρ1(a)ρ1(a-t)|d a+∫t∞|r0(b-t)ρ2(b)ρ2(b-t)|d

b=∫0∞|e0(s)ρ1(t+s)ρ1(s)|d s+∫0∞|r0(s)ρ2(t+s)ρ2(s)|d s=∫0∞|e0(s)exp{-∫st+sε1(τ)}d τd s+∫0∞|r0(s)exp{-∫st+sε2(τ)}d τd s.

注意到对所有的a,b≥0,ε1(a)≥μ0+μ和ε2(a)≥μ0+μ成立,进一步得

‖ϕ(t,x0)‖Y≤exp{-(μ0+μ)t}(|0|+∫∞0|e0(s)ds+|0|+∫∞0|r0(s)ds)=

exp{-(μ0+μ)t}‖x0‖Y≤hexp{-(μ0+μ)t}.

鉴于考虑的状态空间是无穷维巴拿赫空间Y=R+×L1+×R+×L1+,在无穷维的状态空间中,由空间的有界性推不出它的准紧性,那么,应用以下的结论来证明子空间L+1的紧性.

引理5[10]设K⊂Lp(0,∞)是闭且有界的,此处常数p≥1,如果下述条件成立:

i)lims→0∫0∞|h(z+s)-h(z)|pd z=0对h∈K,

ii)lims→0∫s∞|h(z)|pd z=0对h∈K一致成立,

那么K是紧的.

命题4φ(t,x0)对任意t≥0完全连续.

证由引理4知任何闭的有界集D⊂Y,φ(t,x0)都是紧的.由引理2知S(t)和I(t)存在于紧集[0,Λμ]⊂[0,Μ],其中常数M满足Μ>Λμ.因此需要验证x˜2(t,a),x˜4(t,b)存在于L1+的准紧子集,其存在性与x0∈Π选取无关.在引理5的启发下构造次准子集,由(3)和(6)得

0≤x˜2(t,a)={β S(t-a)Ι(t-a)ρ1(a),t>b≥0,0,b≥t≥0.

由引理2的结论i)得x˜2(t,a)≤β Μ2exp{-(μ0+μ)a},

这表明引理5中结论ii)成立.

下面证明条件i)成立,对充分小的s∈(0,t),得

∫∞|x˜2(t,a+s)-x˜2(t,a)|d a=∫0t|e(t,a+s)-e(t,a)|d a=∫0t-s|e(t-a-s,0)ρ1(a+s)-e(t-a,0)ρ1(a)|d a+∫t-st|0-e(t-a,0)ρ1(a)|d a≤B1+B2+B3,

其中:B1=∫0t-se(t-a-s,0)|ρ1(a+s)-ρ1(a)|da,

B2=∫0t-sρ1(a)|e(t-a-s,0)-e(t-a,0)|da,

B3=∫t-st|e(t-a,0)ρ1(a)|da.

由引理2中结论ii)以及ρ1(a)是变量a的非增函数,得

B1=∫∞0e(t-a-s,0)|ρ1(a)-ρ1(a+s)|da≤βM2(∫0t-sρ1(a)da-∫0t-sρ1(a+s)da)=

βM2(∫0t-sρ1(a)da-∫st-sρ1(a)da-∫t-stρ1(a)da)=βM2(∫0sρ1(a)da-∫t-stρ1(a)da)≤βM2s.

由引理2中的结论i),得到d S(t)d t,d Ι(t)d t均有界且界分别为MS=Λ+βM2+μM和ΜΙ=ω¯1Μ+(μ+δ+k)Μ+ν¯Μ,因此S(·),I(·)在[0,∞)上莱布尼茨连续且莱布尼茨常数分别为MS,MI,有引理3知S(·)I(·)在[0,∞)上莱布尼茨连续且莱布尼茨常数为MSI=M(MS+MI).因此

B2=∫0t-sρ1(a)|e(t-a-s,0)-e(t-a,0)|da≤βMSI∫0t-sexp{-(μ0+μ)a}da≤βMSIs,

B3=∫t-st|e(t-a,0)ρ1(a)|da≤βM2s.

那么,得

∫0∞|x˜2(t,a+s)-x˜2(t,a)|d a≤β(2Μ2+ΜSΙ)s,  ∫0∞|x˜2(t,a+s)-x˜2(t,a)|d a.

在s→0时一致收敛于0,综上可得对任意的x0∈D上述不等式均成立,因此x2(t,a)存在于L1+的准紧子集Bx˜2中,类似可知x˜4(t,b)也存在于L1+的准紧子集Bx˜4中,那么φ(t,D)⊆[0,Μ]×Bx˜2×[0,Μ]×Bx˜4在Y中是紧的.由上述讨论和引理5得到φ(t,x0)是完全连续的.结论得证.

由命题3和4,以及引理5,最终得到如下论断:

定理1由模型(1)生成的解半流{F(t,x0)}t≥0是渐近光滑的.

3、平衡点的稳定性

定理2如果R0<1,则E0是局部渐近稳定的;如果R0>1,则其不稳定.

证令x1(t)=S(t)-S0,x2(t,a)=e(t,a),x3(t)=I(t),x4(t,b)=r(t,b),将模型(1)在E0线性化可得

{d x1(t)d t=-μx1(t),(∂∂t+∂∂a)x2(t,a)=-ε1(b)x2(t,a),d x3(t)d t=∫0∞ω1(a)x2(t,a)d a+∫0∞ω2(b)x4(t,b)d b-(μ+δ+k)x3(t),(∂∂t+∂∂b)x4(t,b)=-ε2(b)x4(t,b),x2(t,0)=β(x1(t)+S0)x3(t),x4(t,0)=kx3(t).

设x1(t)=x10(t)eλt,x2(t,a)=x20(a)eλt,x3(t)=x30(t)eλt,x4(t,b)=x40(b)eλt是上述方程的解,其中x10,x20(a),x30,x40(b)和λ见下述证明,则

λx10=-μx10,(7)

λx20(a)+d x20(a)d a=-ε1(a)x20(a),x20(0)=β S0x30,         (8) 

λx30=∫0∞ω1(a)x20(a)d a+∫0∞ω2(b)x40(b)d b-(μ+δ+k)x30,         (9) 

 λx40(b)+d x40(b)d b=-ε2(b)x40(b),x40(0)=kx30,         (10)

将(8)和(10)积分后将其代入(9)中可得

λx30=β S0x30∫0∞ω1(a)e-(μ+λ)a-∫0aω1(τ)d τd a+kx30∫0∞ω2(b)e-(μ+λ)b-∫0bω2(τ)d τd b-(μ+δ+k)x30,  (λ+μ+δ+k-β S0∫0∞ω1(a)e-(μ+λ)a-∫0aω1(τ)d τd a-k∫0∞ω2(b)e-(μ+λ)b-∫0bω2(τ)d τd b)x30=0.

设

H(λ)≜λ+μ+δ+k-βS0∫∞0ω1(a)e-(μ+λ)a-∫a0ω1(τ)dτda-k∫∞0ω2(b)e-(μ+λ)b-∫b0ω2(τ)dτdb=0,

显然H(λ)是连续可微且

H′(λ)=1+aβS0∫∞0ω1(a)e-(μ+λ)a-∫a0ω1(τ)dτda+bk∫∞0ω2(b)e-(μ+λ)b-∫b0ω2(τ)dτdb>0.

由于limλ→-∞Η(λ)=-∞,limλ→+∞Η(λ)=+∞,因此H(λ)=0有唯一的实根.

注意到H(0)=(μ+δ+k-kθ2)(1-R0),如果R0<1,则λ¯<0;如果R0>1,则λ¯>0.

现令λ=α+iβ是方程H(λ)=0的复根,则H1(α)≤0,这表明λ¯>α,则当且仅当R0>1时H(λ)=0至少有1个正实部的根,当且仅当R0<1时H(λ)=0的所有根具有负实部.定理得证.

定理3如果R0<1,则E0是全局渐近稳定的.

证选择Lyapunov函数如下

V0(t)=θ1S0((S0S-1-lnS0S)+∫0∞π1(a)e(t,a)d a+Ι(t)+∫0∞π2(b)r(t,b)d b.  d V0(t)d t=θ1(d Sd t-S0S d Sd t)+∫0∞π1(a)∂e(t,a)∂td a+d Ιd t+∫0∞π2(b)∂r(t,b)∂td b=θ1[Λ-βSΙ-μS-S0S(Λ-βSΙ-μS)]-∫0∞π1(a)∂e(t,a)∂ad a-∫0∞π1(a)ε1(a)e(t,a)d a+∫0∞ω1(a)e(t,a)d a+∫0∞ω2(b)r(t,b)d b-(μ+δ+k)Ι-∫0∞π2(b)∂r(t,b)∂bd b-∫0∞π2(b)ε2(b)r(t,b)d b=θ1(Λ-βSΙ-μS-S0SΛ+βS0Ι+μS0)-π1(a)e(t,a)|∞+π1(0)e(t,0)-∫0∞ω1(a)e(t,a)d a+∫0∞ω1(a)e(t,a)d a+∫0∞ω2(b)r(t,b)d b-μ+δ+kΙ-π2(b)r(t,b)|∞+π2(0)r(t,0)-∫0∞ω2(b)r(t,b)d b=-θ1Λ(S0S+SS0-2)-π1(a)e(t,a)|∞-π2(b)r(t,b)|∞+θ1βS0Ι+θ2kΙ-(μ+δ+k)Ι.

由于

θ1βS0I+θ2kI-(μ+δ+k)I=[θ1βS0+θ2k-(μ+δ+k)]I=(μ+δ+k-kθ2)(R0-1)I,

则当R0<1时,有d V(t)d t≤0,并且d V(t)d t=0表明E=E0,因此由LaSalle不变集原理[11],平衡点E0是全局渐近稳定性的.

定理4如果R0>1,则E*是局部渐近稳定的.

证令x1(t)=S-S*,x2(t,a)=e(t,a)-e*(a),x3(t)=I-I*,x4(t,b)=r(t,b)-r*(b),将模型(1)在E*线性化可得

{d x1(t)d t=-β Ι*x1(t)-β S*x1(t)-μx1(t),(∂∂t+∂∂a)x2(t,a)=-ε1(b)x2(t,a),d x3(t)d t=∫0∞ω1(a)x2(t,a)d a+∫0∞ω2(b)x4(t,b)d b-(μ+δ+k)x3(t),(∂∂t+∂∂b)x4(t,b)=-ε2(b)x4(t,b),x2(t,0)=β Ι*x1(t)+β S*x3(t),x4(t,0)=kx3(t).

设x1(t)=x10(t)eλt,x2(t,a)=x20(a)eλt,x3(t)=x30(t)eλt,x4(t,b)=x40(b)eλt是上述方程的解,其中x10,x20(a),x30,x40(b)和λ见下述证明,则

λx10=-βI*x10-βS*x30-μx10,(11)

λx20(a)+d x20(a)d a=-ε1(a)x20(a),x20(0)=β Ι*x10+β S*x30,         (12)  λx30=∫0∞ω1(a)x20(a)d a+∫0∞ω2(b)x40(b)d b-(μ+δ+k)x30,         (13)  λx40(b)+d x40(b)d b=-ε2(b)x40(b),x40(0)=kx30,         (14)

将(11),(12)和(14)积分后将其代入(13)中可得

λx30=∫0∞ω1(a)(β Ι*x10+β S*x30)e-(μ+λ)a-∫0aω1(τ)d τd a+kx30∫0∞ω2(b)e-(μ+λ)b-∫0bω2(τ)d τd b-(μ+δ+k)x30,  λx30=(β Ι*x10+β S*x30)θ1(λ)+kθ2(λ)x30-(μ+δ+k)x30,  (λ+μ+δ+k-β S*θ1(λ)-kθ2(λ))x30=β Ι*θ1(λ)-β S*λ+μ+β Ι*x30.

由于x30不为0,则

λ+μ+δ+k=β Ι*θ1(λ)-β S*λ+μ+β Ι*+β S*θ1(λ)+kθ2(λ),         (15)

假设(15)的解λ满足Reλ≥0.由θi(λ)≤θi,其中θi=θi(0),i=1,2,则(15)右边可变形为

|β Ι*θ1(λ)-β S*λ+μ+β Ι*+β S*θ1(λ)+kθ2(λ)|≤|β S*θ1(λ)+kθ2(λ)|≤β S0θ1+kθ2=μ+δ+k.

由于R0=β S0θ1μ+δ+k-kθ2>1,从而与上式矛盾.因此(15)的任何解满足Reλ<0,所有E*在R0>1是局部渐近稳定的.定理得证.

定理5如果R0>1,则E*是全局渐近稳定的.

证选择Lyapunov函数如下

V*(t)=θ1S*Φ(SS*)+∫0∞π1(a)e*(a)Φ(e(t,a)e*(a))d a+Ι*Φ(ΙΙ*)+∫0∞π2(b)r*(b)Φ(r(t,b)r*(b))db.

其中:

Φ(u)=u-1-lnu;

d V*(t)d t=θ1(1-S*S)dSdt+∫0∞π1(a)e*(a)(1e*(a)-1e(t,a))∂e(t,a)∂tda+(1-Ι*Ι)dΙdt+∫0∞π2(b)r*(b)(1r*(b)-1r(t,b))∂r(t,b)∂tdb.

由于ea(t,a)=∂∂ae(t,a),

注意到∂∂aΦ(e(t,a)e*(a))=(e(t,a)e*(a)-1)(ea(t,a)e(t,a)+ε1(a)),则

∫0∞π1(a)e*(a)(1e*(a)-1e(t,a))∂e(t,a)∂td a=∫0∞π1(a)e*(a)(1e*(a)-1e(t,a))(-ε1(a)e(t,a)-∂e(t,a)∂a)d a=-∫0∞π1(a)e*(a)(e(t,a)e*(a)-1)(ε1(a)+ea(t,a)e(t,a))d a=-∫0∞π1(a)e*(a)∂∂aΦ(e(t,a)e*(a))d a=-π1(a)e*(a)Φ(e(t,a)e*(a))|∞+π1(0)e*(0)Φ(e(t,0)e*(0))-∫0∞ω1(a)e*(a)Φ(e(t,a)e*(a))d a=-π1(a)e*(a)Φ(e(t,a)e*(a))|∞+θ1β S*Ι*Φ(SΙS*Ι*)-∫0∞ω1(a)e*(a)Φ(e(t,a)e*(a))da.

同理可得

∫0∞π2(b)r*(b)(1r*(b)-1r(t,b))∂r(t,b)∂tdb=-π2(b)r*(b)Φ(r(t,b)r*(b))|∞+θ2kΙ*Φ(ΙΙ*)-∫0∞ω2(b)r*(b)Φ(r(t,b)r*(b))db.

统一代入可得

d V*(t)dt=-θ1ΛΦ(S*S)-π1(a)e*(a)Φ(e(t,a)e*(a))|∞-π2(b)r*(b)Φ(r(t,b)r*(b))|∞+∑l=13Bl.

其中:

B1=θ1βS*Ι*(SS*-SΙS*Ι*+SΙS*Ι*-1-lnSΙS*Ι*)-θ1ΛΦ(SS*)=θ1β S*Ι*(SS*-1-lnSΙS*Ι*)-θ1ΛΦ(SS*)=θ1β S*Ι*(Φ(SS*)-lnΙΙ*)-θ1(β S*Ι*+μS*)Φ(SS*)=-θ1β S*Ι*Φ(SS*)-θ1μS*Φ(SS*);

B2=∫0∞ω1(a)e*(a)[e(t,a)e*(a)-ΙΙ*-Ι*e(t,a)Ιe*(a)+1-e(t,a)e*(a)+1+lnΙ*e(t,a)Ιe*(a)+lnΙΙ*]d a=-∫0∞ω1(a)e*(a)[Φ(ΙΙ*)+Φ(Ι*e(t,a)Ιe*(a))]d a;

B3=∫0∞ω2(b)r*(b)[r(t,b)r*(b)-ΙΙ*-Ι*r(t,b)Ιr*(b)+1-r(t,b)r*(b)+1+lnΙ*r(t,b)Ιr*(b)+lnΙΙ*]d b=-∫0∞ω2(b)r*(b)[Φ(ΙΙ*)+Φ(Ι*r(t,b)Ιr*(b))]d b.

则有d V(t)d t≤0.因此由LaSalle不变集原理,平衡点E*在集合Y上是全局渐近稳定性的.

图1潜伏期的年龄依赖性转化率

4、数值模拟

现在对上面模型进行数值模拟.由文献[12]可知,一般在疾病潜伏仓室待得时间越长,被感染的机率增大.假设模型中的年龄依赖转化率ω1采用如下形式[13,14,15,16]13-16]:ω1=0.011+5exp(-0.05x),见图1,即随着年龄的增加潜伏仓室进入染病仓室的概率会越来越大.一些疾病如流感,尽管病人在前期已经康复,但在后期治愈的人随时有可能由于保护措施不当而重新感染,模型中的年龄依赖转化率ω2采用如下形式:ω2=0.0451+50exp(-0.05x),见图2,即随着年龄x的增长,康复仓室进入染病仓室的概率会越来越大.

由文献[17,18,19],固定模型中的一些参数:S0=75,θ1=0.2801,θ2=0.3739,μ=0,01,δ=0.09,如果选择R0中的β,k为未知,探索其对R0进而对疾病消亡或爆发的影响.由图3可知,不同的感染率和恢复率都会得到不同的R0,大致趋势是传染病会随着感染率的减少、恢复率的增加而逐渐消亡.

图2恢复期的年龄依赖转化率

图3B,k对R0的影响

5、结论

本文中,笔者建立了具有潜伏、复发年龄依赖的SEIR传染病模型.且得到了模型的基本再生数:

R0=βS0θ1μ+δ+k-kθ2.

经过分析得到了该模型解半流的适定性,并且当R0<1时,无病平衡点E0全局渐近稳定;当R0>1无病平衡点E0不稳定且唯一的正平衡点E*全局渐近稳定.最后进行简单数值模型,探索了年龄分布对潜伏、恢复仓室进入感染仓室的影响,并绘制热图研究了β,μ对疾病消亡或爆发的影响.

参考文献：

[1]马知恩,周义仓,王稳地,等.传染病动力学的数学模型与研究[M].北京:科学出版社,2004.

[17]李盈科.年龄结构传染病模型与血吸虫病的动力学行为研究[D].乌鲁木齐:新疆大学,2018.

[18]孙丹丹,张太雷.一类具有2次接种的麻疹模型的稳定性分析[J].河北师范大学学报(自然科学版),2019,43(3):190-200.

[19]苏细容,刘胜.一类具有年龄结构的SEIQR传染病模型[J].南昌大学学报(理科版),2010,34(2):120-123.

孙丹丹.具有年龄结构的SEIR传染病模型的定性分析[J].河北师范大学学报(自然科学版),2020,44(05):380-389.

基金:新疆维吾尔自治区高校科研项目(XJEDU2018Y021)