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浅谈运用微积分的思路解答变力做功问题
摘要：利用动能定理来解决变力做功的问题是常规的解题思路，微积分的引入不仅可以激发学生的学习兴趣，还能为以后大学的学习奠定坚实的基础。
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在计算变力做功的问题中，大多数思路还是利用动能定理。利用微积分的思路解题，可提升学生的学习兴趣，为进入大学的学习打下基础。下面来看几个例题。
例1.物体悬挂在长度为L的绳子末端，物体可当成质点，质量为m，用水平向右的拉力，缓慢拉动物体，直到绳子和竖直方向成θ角。求在此过程中，求水平向右的拉力做的功。（重力加速度为g）
解析：因为是缓慢拉动物体，所以在任何一个位置，都可以近似认为物体处于平衡状态，即
为绳子与竖直方向夹角，从该位置开始，取一小段时间
，小球经过的弧长近
似为一小段直线段
，拉力做的功为:
，从0~θ 积分，可得:
例2.木板长为L，其右端放置一个质量为m的小物块，缓慢抬高右端，小物块在竖直平面内随木板右端缓慢转动，当木板转到与水平面的夹角为θ时，停止转动木板。该过程中小物块没有相对木板向下滑动。求该过程中木板对小物块做的功。（重力加速度为g）
解析：木板给小物块的力有支持力和静摩擦力，静摩擦力时刻垂直于小物块速度方向，不做功，只有支持力做功。因为是缓慢转动，所以在任何一个位置，都可以近似认为小物块处于平衡状态，即
,取 一 小 段 位 移
，则支持力做功为
即
，所以:
例3.有个质量为M的质量分布均匀的天体，位于O点，一个宇宙飞船质量为m，从A点飞到B点，如图所示。求该过程中，飞船所受天体的引力做的功。（已知万有引力常量为G，A距天体中心的距离为r A，B距离天体中心的距离为r B）
解析：飞船在A、B轨迹中的任一位置，受到的万有引力为
，经过一段极小的位移
，万有引力做功为
，即
，从r A到r B积分，
题外话：上式也可以写成
，万有引力做功导致引力势能的变化，从而定义出引力势能
，规定无穷远处引力势能为零。
下面的例子非做功问题，也是微积分思路解题的典型。
例4.空间有垂直纸面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，一个长为L的金属杆，以左端为支点，在垂直于磁感线的平面内转动，如图所示。杆转动的角速度为ω，求杆两端的电势差。
解析：任取金属杆上一小段导体长
，让
足够小，可以认为
上的各点线速度相同。该小段导体距离旋转中心距离为
，那么该段导体两端的电动势为
，对金属杆上每一小段导体切割磁感线产生的电动势进行积分，可得到杆两端的电动势为
，或者写成电势差
题外话：也可以按照E = BLV的格式去理解，这里的
，可以取金属杆中点的线速度代替公式中的V。
彭松.微积分在变力做功问题中的应用[J].试题与研究:教学论坛,2019(30):0103-0103.
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拓扑优化是一种根据给定的负载情况，约束和性能指标，优化给定区域中的材料分布的数学方法。拓扑优化的出现最初只是为了解决一般的机械设计问题。但是，随着对拓扑优化的深入研究，其已被广泛用于许多物理学科，包括固体力学、流体力学、热传导、电磁学等。此外，拓扑优化也已用于许多工程领域，例如运输、建筑设计、复合材料等。
2020-08-10
检查市场上目前可见的各种BMS拓扑的优缺点，很明显，方案之间的差异主要涉及以下问题：这是否应该是模块化BMS(即1个IC监视多个电池元件串)(图1)，或电池级BMS(即1个IC监视单个电池元件)；应该使用有线还是无线网络；并且涉及微控制器或状态机。尽管每种可用的拓扑都应该存在，但如果有解决这所有问题的硅标准可用，将加速市场采用。
2020-07-11
针对无人机编队飞行高精度相对位置感知应用，考虑通信网络时延对GNSS载波相位相对定位实时性的影响，本文分析了GNSS高精度相对定位的信息交互需求，基于图论方法优化设计了无人机编队飞行网络拓扑并设计了通信信道接入机制，对16机编队通信网络及相对位置感知进行了仿真。
2020-07-11
伴随大数据时代的到来，基于地理空间数据的拓扑分析也因其数据采集方式的改变、数据类型的多样性、数据分析目标的不同而需要采用有别于传统地理空间拓扑分析的策略．本文旨在分析大数据环境下地理空间拓扑分析的变革与特点，并结合多个实例探讨大数据环境下如何设定拓扑判定规则和分析策略，为地理空间大数据分析与应用提供一些有益的参考．
2020-07-11
关于轻量化的研究在结构工程领域已广泛开展，采用诸如拓扑优化、起筋优化、尺寸优化等一系列优化方法，可快速获取符合期望的设计方案，缩短设计周期。其中，拓扑优化的方法，是在给定的材料空间内，得到满足约束条件又使目标函数最优的材料布局方式[1]，其更多地应用于初期概念设计阶段，之后再根据材料布局，结合具体要求进行详细设计[2]。
2020-07-11
GadishDA提出了基于规则约束的方法[8]。这些方法基于拓扑关系规则和目标间语义关系，可以确定目标之间是否存在空间冲突，但具有一定的不确定性，难以准确检测，易造成漏查和误查。因此，本文将以交通网线性目标间拓扑冲突为例，通过对线目标间拓扑关系进行一致性检测，来检测已有方法造成的漏查和误查。
2020-07-11
出于环保及改善燃油耗的需求，各大车企正在快速推进汽车车体的轻量化。为实现轻量化，汽车白车身更倾向于使用高强度钢板。随着高强度钢板的应用，相应降低了板材厚度，使整个车体的刚度也随之降低。作为相关对策，使用质量最轻的材料以弥补由此降低的刚度是必不可少的。目前，可通过拓扑学最优化方法实现改良[1,2]。
2020-07-11
在5G时代来临，自动驾驶和车联网日益普及的今天，车载以太网必将得到更加广泛的推广和应用。汽车维修从业人员，有必要研究车载以太网的特性，为维修车载以太网相关故障打下良好的基础。
2020-07-11
ANSYS对结构进行了分析以及拓扑优化设计，通过拓扑优化设计可以获得初步阶段的轮廓布局，之后再重复优化步骤，可以得到较为理想的结果。本文最终优化结果体积与重量为初始体积与重量的30%左右，大大削减了复合材料的用料，同时说明了复合材料作为结构构件参与桥梁建设成为了可行的方案。
2020-07-11
社会关系是社会网的基础,编织社会的结构与功能。1社会网络被视作关系预期的动态构造,在传播中发生与发展,并且引导传播序列的进一步变化。本研究扫描当前国内大众人群的网络使用心理与行为,试图以事件传播的方式折射互联网空间的社会生态,具有推动网络安全的现实意义。
2020-07-11
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期刊名称：应用数学和力学
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专业分类：科学
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2020-03-28
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