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计数原理基础上推广帕斯卡法则及公式研究

2020-11-19 990 上传者：管理员

摘要：帕斯卡法则是组合数的一个基础公式，它是根据计数原理推理而得到的，但它并非更一般的结论，研究了将其推广到更一般的情况。与帕斯卡法则相关的另一个组合数的性质“Cnm=nCn-1m-1/m”也可利用计数原理推广成更一般的形式。

关键词：
基础公式
帕斯卡法则
推理
组合数
计数原理
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设1≤m≤n，把n(n≥1)个不同的元素a1,a2，…，an分成两个集合A={a1}和B={a2，…，an}。从这n个不同元素中取m(1≤m≤n)个不同元素的组合过程可以分为以下两类。第1类:在A中取0个元素，在B中取m个元素，取法有C01Cmn-1个。第2类:在A中取1个元素，在B中取m-1个元素，取法有C11Cm-1n-1个。这样根据加法原理可得:

Cmn=Cmn-1+Cm-1n-1，此即帕斯卡法则。它也可以利用组合数的定义直接计算证得，本研究将其推广成为更一般的结论。

公式1(帕斯卡法则的推广)

这里1≤m≤n,1≤k≤n,l=min{k,m}，h=max{0,m-(n-k)}。

证明:设a1，…，ak是这n个元素中的某k个元素，b1，…，bn-k是n个元素中这k个元素以外的元素。把这n个不同元素分为两个集合A={a1，…，ak}和B={b1，…，bn-k}。从这n个元素取m个元素的组合过程可以分为以下若干类。

第1类:在A中取0个元素，在B中取m个元素，取法有C0kCmn-k个。

第2类:在A中取1个元素，在B中取m-1个元素，取法有C1kCm-1n-k个。

……

第i+1类:在A中取i个元素，在B中取m-i个元素，取法有CikCm-in-k个。

……

第k+1类:在A中取k个元素，在B中取m-k个元素，取法有CkkCm-kn-k个(k≤m)。

或者:

第m+1类:在A中取m个元素，在B中取0个元素，取法有CkmC0n-k个(m≤k)。

令l=min{k,m}，那么这个最后一类可以写作:

第l+1类:在A中取l个元素，在B中取m-l个元素，取法有CmkCm-ln-k个。

同时注意到:当m≤n-k时，也有m-1，…，m-l都不超过n-k，那么Cmn-k,Cm-1n-k，…，Cm-ln-k都是有意义的，这样i从0开始取值即可。而当m>n-k时，Cmn-k,Cm-1n-k…，Cm-[m-(n-k)-1]n-k都是没有意义的，此时i从m-(n-k)开始取值。所以令h=max{0,m-(nk)}，i从h开始取值，这样由加法原理知:

若m>n-1，则只能有m=n(因m≤n)，此时右端=C01Cmn-1+C11Cm-1n-1=0+C11Cn-1n-1=1

左端=Cnm=Cnn=1，故左端=右端。

由k命题知上式右端的第一项为Cmn-1。而中间那一项为零(因其含有因数Ck+1k，而k+1>k)。

同理，当l=min{k,m}=m时，用数学归纳法也可证得结论成立。

帕斯卡法则是说:利用加法原理分类，可以把组合数Cmn表示为Cmn=Cmn-1+Cm-1n-1。那么类似地，利用乘法原理分步也能表示组合数，这就是与帕斯卡法则相关的另一个公式:。这个公式也不是一般的形式，现在把它进行推广。

参考文献：

[1]余元希.初等代数研究[M].北京:高等教育出版社,2011.

[2]单墫.解题研究[M].上海:上海教育出版社,2007.

[3]葛天如.关于组合数的一项性质[J].数学通报,2002,(05):88-89.

常大全.利用计数原理推广帕斯卡法则及其相关的一个公式[J].黑龙江科学,2020(22):22-23.