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含参数线性方程组解的判别方法注记

2021-01-20 767 上传者：管理员

摘要：当线性方程组中含有未知参数时,线性方程组解的情况往往需要进行讨论.本文给出了在非齐次线性方程组系数矩阵中含有未知参数且系数行列式等于零的情况下,判定对应参数值下方程组的解是无解还是有无穷多解的两个判定定理.和以前的方法比较,本文提出的讨论方法更直接.

关键词：
几何重数
应用数学
矩阵的秩
系数行列式
线性方程组
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1、引言

讨论含有未知参数的线性方程组解的情况是线性代数中一种常见的题型.这类题通常的解法是将非齐次线性方程组的增广矩阵经过行初等变换化为阶梯形矩阵,然后再由解的判定定理讨论未知参数取何值时方程组有唯一解、无解还是有无穷多组解[1,2,3].特别地,当线性方程组的系数矩阵为方阵且包含所讨论的未知参数时,还可以用系数行列式进行讨论[4].本文给出一种新的讨论方法,在系数行列式D(λ)=0的情况下,可以直接判定参数λ取何值时方程组有无穷多组解、取何值时方程组无解.

设有n元线性方程组A(λ)X=b,其中λ为未知参数,A(λ)为n阶λ-矩阵[3,5],D(λ)=|A(λ)|,b为n维非零列向量(可含参数).Dj(λ)是将D(λ)中第j列的元素换为b后得到的行列式,简记为Dj(j=1,2,…,n);Aj(λ)是将A(λ)中第j列的元素换为b后得到的矩阵.若D(λ)在实数范围内可分解为

D(λ)=a(λ-λ1)k1…(λ-λs)ks(λ2+p1λ+q1)l1…(λ2+ptλ+qt)lt,

其中a为常数,k1,…,ks,l1,…,lt为正整数,λ2+piλ+qi(i=1,2,…,t)为二次质因式.则当D(λ)≠0时,即λ≠λ1且λ≠λ2,…,且λ≠λs时,方程组有唯一解;当D(λ)=0时,即λ=λi(i=1,2,…,s)时方程组要么有无穷多组解,要么无解.下面给出D(λ)=0时,根据参数λ判断方程组解的情况的判定定理.

2、主要结果及证明

定义[6]设P(λ)为n阶λ-矩阵,若λ=λ0时矩阵P(λ0)的秩为n-k(记为R(P(λ0))=n-k),则称λ0对应于P(λ)的几何重数为k(记为g[P(λ)]λ0=k).

定理1设有n个方程的n元线性方程组A(λ)X=b,已知D(λ)=0.如果λ=λi(i=1,2,…,s)时g[A(λ)]λi=1,且每个非零的Dj(λ)(1≤j≤n)中皆含有因式(λ-λi),则λ=λi(i=1,2,…,s)时方程组有无穷多组解;否则λ=λi(i=1,2,…,s)时方程组无解.

证已知D(λ)=0时,λ=λ1,或λ=λ2,…,或λ=λs.

因为g[A(λ)]λi=1,故R(A(λi))=n-1.又因每个非零的Dj(λ)(1≤j≤n)皆含有因式(λ-λi),所以λ=λi时有D1=D2=…=Dn=0,则此时必有

R(A(λi),b)=R(A(λi))=n-1

成立.(否则,若R(A(λi),b)=n,由于D(λ)=0,那么就一定存在某个j使得Dj≠0,与已知矛盾).所以,当λ=λi(i=1,2,…,s)时方程组一定有无穷多组解;否则λ=λi(i=1,2,…,s)时方程组无解.

将定理1的结论推广到更一般的情形,可证明如下定理.

定理2设有n个方程的n元线性方程组A(λ)X=b,已知D(λ)=0.如果λ=λi(i=1,2,…,s)时g[A(λ)]λi=k(k≥1),且对任意的j(1≤j≤n)皆有g[Aj(λ)]λi≥k,则λ=λi(i=1,2,…,s)时方程组有无穷多组解;否则λ=λi(i=1,2,…,s)时方程组无解.

证已知D(λ)=0时,λ=λ1,或λ=λ2,…,或λ=λs.

因为g[A(λ)]λi=k(k≥1),故R(A(λi))=n-k<n.又因为对任意的j皆有g[Aj(λ)]λi≥k,所以

R(Aj(λi))≤n-k(1≤j≤n),

则此时必有

R(A(λi),b)=R(A(λi))=n-k.

(否则,若R(A(λi),b)≠R(A(λi)),那么就有R(A(λi),b)=n-k+1[7,8],则一定存在某个j,使得R(Aj(λi))=n-k+1,与已知矛盾).所以,当λ=λi(i=1,2,…,s)时方程组有无穷多组解;否则λ=λi(i=1,2,…,s)时方程组无解.

对下面给出的例题用两种方法求解,一方面验证本文结论的正确性,另一方面与常见的初等变换法作比较.

例[9]设线性方程组

⎧⎩⎨⎪⎪3λx1+(2λ+1)x2+(λ+1)x3=λ,(2λ−1)x1+(2λ−1)x2+(λ−2)x3=λ+1,(4λ−1)x1+3λx2+2λx3=1.

问当λ取何值时,此方程组(i)有唯一解;(ii)无解;(iii)有无穷多解?

解1首先用矩阵的初等行变换对方程组的增广矩阵化简,则

(A,b)=⎛⎝⎜3λ2λ−14λ−12λ+12λ−13λλ+1λ−22λλλ+11⎞⎠⎟∼r1−r3r3−r2⎛⎝⎜λ2λ−12λλ2λ−1λ+1−1λ−2λ+22λλ+1−λ⎞⎠⎟ ∼r3−2r1r2−2r1⎛⎝⎜λ−10λ−1−λ+1−1λλ+42λ−3λ+1−5λ⎞⎠⎟∼(−λ)r1+r2r2↔r3(−1)r2r2↔r1⎛⎝⎜1001−λ+10−λλ+4λ2−13λ−1−5λ3λ−3λ2⎞⎠⎟.

根据方程组有解的判定定理,可见

(i)当λ2-1≠0时,即λ≠±1时,R(A)=R(A,b)=3,此时方程组有唯一解;

(ii)当λ2-1=0但3λ-3λ2≠0时,可得λ=-1,此时2=R(A)<R(A,b)=3,方程组无解;

(iii)当λ2-1=0且3λ-3λ2=0时,可得λ=1,此时R(A)=R(A,b)=2,方程组有无穷多组解.

解2方程组的系数行列式D(λ)=(λ-1)2(λ+1).

(i)当D(λ)≠0时,即λ≠±1时,方程组有唯一解.且可由

D1=(λ-1)(4λ+1),D2=λ(λ-1)(2λ-7),D3=-3λ(λ-1)2

得唯一组解.

当D(λ)=0时,即有λ=1或λ=-1,此时方程组或无解,或有无穷多解;

(ii)当λ=-1时,因为Dj(1≤j≤3)中至少存在D1不含因式(λ+1),故由定理1知,λ=-1时方程组无解;

(iii)当λ=1时,由于R(A(1))=2,所以g[A(λ)]1=1.又因每个Dj(1≤j≤3)中皆含因式(λ-1),故由定理1知,λ=1时方程组有无穷多组解.

注(i)两种方法比较可见,本文的方法对系数矩阵为方阵且含未知参数的方程组的讨论求解更加简单、便捷.

(ii)此题解的判定也可用定理2.

3、应用举例

例1设有非齐次线性方程组

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(2−λ)x1+x2+x3+x4=1,x1+λx2+x3+x4=λ,x1+x2+(1+λ)x3+x4=λ2,x1+x2+x3+(1−λ)x4=λ3.

讨论λ的取值与方程组解之间的关系.

解方程组的系数行列式D(λ)=(λ-1)2λ2.

(i)当D(λ)≠0时,即λ≠0且λ≠1时,方程组有唯一组解.

(ii)当D(λ)=0时,即有λ=0或λ=1,此时方程组或无解,或有无穷多组解.

因λ=0时R(A(0))=3,故g[A(λ)]0=1.同理,由

R(Aj(0))=3(j=1,3,4),R(A2(0))=2,

得

g[Aj(λ)]0=1(j=1,3,4),g[A2(λ)]0=2,

所以有g[Aj(λ)]0≥1(1≤j≤4).由定理2可知,λ=0时方程组有无穷多组解.

又因λ=1时R(A(1))=3,故g[A(λ)]1=1.同理,由

R(A1(1))=R(A2(1))=3,R(A3(1))=R(A4(1))=2,

得

g[A1(λ)]1=g[A2(λ)]1=1,g[A3(λ)]1=g[A4(λ)]1=2,

所以有g[Aj(λ)]1≥1(1≤j≤4).由定理2可知,λ=1时方程组也有无穷多组解.

可见,此方程组没有无解的情况.

注从例题可以看出,当方程组中所含参数个数较多或参数出现的频数较高时,用初等变换方法讨论其解的情况计算量往往较大,而在系数行列式计算较为方便的前提下,本文的方法具有一定的优越性.在D(λ)=0时,它不需要将参数再代入到原方程组中去对增广矩阵进行化简,只要计算方阵A(λ)及Aj(λ)的秩就可以直接判定方程组解的情况.

4、结论

由以上的主要结果及分析可见,本文给出的定理在讨论某些含参数线性方程组A(λ)X=b的解时更方便、更直接,它免去了用初等变换将其增广矩阵(A(λ),b)化成阶梯形的繁琐过程,同时也为求解线性方程组的讨论题提供了新的思路和方法.本文不足之处在于仅讨论了有n个方程、n个未知量且系数矩阵中含有参数的方程组的情形,对于其他情形可考虑对此结果作进一步的研究和推广,此外该方法也受制于系数行列式的难易程度.

参考文献：

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[4]杨子胥.高等代数习题解[M].济南:山东科学技术出版社,1984:394-400.

[5]刘宏锦,周金森,刘利敏.λ-矩阵的等价和矩阵多项式秩的恒等式[J].大学数学,2016,32(3):97-101.

[6]张英伯,王恺顺.代数学基础:上册[M].北京:北京师范大学出版集团,2012:202.

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基金:中国地质大学(北京)2020年度本科教育质量提升计划建设项目(JCJXZZ202007)