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关于矩阵方程求解的另一点注记分析

2021-01-20 274 上传者：管理员

摘要：对任意给定的矩阵A∈Pm×n,B∈Pm×s(s≤n),探讨了矩阵方程AX=B有列满秩解,同时BY=A有行满秩解的充分必要条件,并且给出了基于矩阵的等价、齐次方程组的同解、向量组的等价及线性空间语言的推广.

关键词：
列满秩
矩阵方程
矩阵的初等变换
矩阵的等价
行满秩
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1、引言

设A∈Pm×n,B∈Pm×s(s≤n),P是一个数域,文献[1]讨论了矩阵方程

AX=B(1)

当r(A)=r(B)=r(A,B)时,存在这样的解X(∈Pn×s),其秩r(X)=s,即矩阵X是列满秩的.

一般的线性代数教材[2,3,4,5,6,7]仅给出矩阵方程(1)的解的存在性,文献[1]证明了这个存在的解还可以有更好的性质:列满秩.[1]的证明方法是基于线性方程组的解的理论.根据笔者的经验:线性方程组的解的理论与向量组的相互线性表示及矩阵的初等变换是有联系的,在条件r(A)=r(B)=r(A,B)下,是否存在另外一个不从方程组的解的理论出发的证明方法,同样可以证明方程(1)存在列满秩的解X?

基于这样的思考,本文从向量组的相互线性表示及矩阵的初等变换的角度,给出了方程(1)存在列满秩的解X的另一个证明方法.为了方便阅读,重述文献[1]中的定理1如下:

定理1对任意给定的矩阵A∈Pm×n,B∈Pm×s(s≤n),若r(A)=r(B)=r(A,B),则矩阵方程(1)有列满秩的解X(∈Pn×s),即矩阵X的秩r(X)=s.

本文的结构安排如下:第2节证明定理1,第3节将定理1推广成定理2,同时给出了定理2的用其它四个角度表述的形式.这四个角度分别是:矩阵等价的角度、齐次方程组同解的角度、向量组等价的角度及线性空间的角度.

2、定理1的证明

对于给定的矩阵A∈Pm×n,B∈Pm×s(s≤n),不妨设r(A)=r(B)=r(A,B)=r,则r≤s≤n.用分块矩阵记号重记矩阵A和B如下:

A=(α1α2⋯αn), B=(β1β2⋯βs),

此处α1,α2,…,αn∈Pm,β1,β2,…,βs∈Pm.分两种情形讨论:n=s及n>s.

先证n=s的情形.

此时,矩阵A的列向量组中所含向量的个数=矩阵B的列向量组中所含向量的个数,由于r(A)=r(B)=r(A,B)=r,故矩阵方程AX=B与BY=A同时有解(参考文献[2]的第76页,定理6),即存在矩阵X∈Pn×n,Y∈Pn×n,下列等式同时成立:

B=AX,(2)

A=BY.(3)

此时,对矩阵秩的值分两种情形:

r(A)=r(B)=r(A,B)=n及r(A)=r(B)=r(A,B)=r

(i)若r(A)=r(B)=r(A,B)=n,即矩阵A的列向量组α1,α2,…,αn与矩阵B的列向量组β1,β2,…,βn均线性无关.

将式(3)代入式(2)得B=BYX.移项整理后得

B(E−YX)=O.(4)

构造n元齐次方程组Bx=O,由于r(B)=n,故齐次方程组Bx=O只有零解,于是由式(4)得YX=E.即矩阵X可逆,也就是矩阵方程AX=B有列满秩的解X.另外,由于矩阵X的逆阵为Y,故矩阵方程BY=A也有行满秩的解Y.

(ii)若r(A)=r(B)=r(A,B)=r

设向量组A0:αi1,αi2,…,αir是矩阵A的列向量组的极大线性无关组,向量组B0:βj1,βj2,…,βjr是矩阵B的列向量组的极大线性无关组.由于向量组的极大线性无关组与向量组自身等价,以及等价关系的传递性,得到:向量组A0:αi1,αi2,…,αir与向量组B0:βj1,βj2,…,βjr等价.

记矩阵A0=(αi1αi2⋯αir)及B0=(βj1βj2⋯βjr),利用(i)的结论,一定存在可逆阵X0∈Pr×r,有下式成立:

A0X0=B0.(5)

用矩阵的初等列变换的语言重述式(5),即为

(αi1αi2⋯αir)∼c(βj1βj2⋯βjr).(6)

将式(6)中的矩阵各自添加n-r个m维的零向量,其列等价性保持不变,也就是下列关系成立:

(αi1αi2⋯αir,0⋯0)∼c(βj1βj2⋯βjr,0⋯0)(7)

由于矩阵A0的列向量组αi1,αi2,…,αir为矩阵A的列向量组的极大线性无关组,可以按下列方式重排矩阵A的列向量:①列向量组αi1,αi2,…,αir排在前r列;②不属于极大无关组中的列向量排在后n-r列,记这些列向量为αir+1⋯αin.显然,重排后的列向量组构成的矩阵与原矩阵A之间是列等价的关系,也就是

(αi1αi2⋯αir,αir+1⋯αin)∼c(α1α2⋯αr,αr+1⋯αn).(8)

又因为不属于极大线性无关组中的列向量αir+1,…,αin总可以由极大线性无关组线性表示,于是通过相应的初等列变换,可以将列向量αir+1,…,αin所在的位置均化为零向量,从而可以得到重排后的列向量组构成的矩阵与矩阵(αi1αi2⋯αir,0⋯0)是列等价的,即

(αi1αi2⋯αir,0⋯0)∼c(αi1αi2⋯αir,αir+1⋯αin).(9)

由式(8),(9)及列等价的传递性,得到如下结论:

(αi1αi2⋯αir,0⋯0)∼c(α1α2⋯αr,αr+1⋯αn).(10)

类似地,利用矩阵B的列向量组的极大线性无关组与自身的等价性,有结论:

(βj1βj2⋯βjr,0⋯0)∼c(β1β2⋯βr,βr+1⋯βn).(11)

综合式(7),(10)及(11),有

(α1α2⋯αr,αr+1⋯αn)∼c(β1β2⋯βr,βr+1⋯βn).

即矩阵A和B是列等价的矩阵(参考文献[2]的第58页).

于是,一定存在可逆阵X∈Pn×n,及可逆阵Y∈Pn×n(参考文献[2]的第61页,定理1)有下面两式成立:

AX=B,(12)

BY=A.(13)

也就是,矩阵方程AX=B有列满秩的解X,矩阵方程BY=A有行满秩的解Y.

再证n>s的情形.

此时,矩阵A的列向量组中所含向量的个数n>矩阵B的列向量组中所含向量的个数s.构造新矩阵B˜=(B,O),其中O为m行(n−s)列的零矩阵,即新矩阵B˜是由矩阵B加(n−s)个m维零向量构成,显然r(B˜)=r(B).于是,矩阵A的列向量组中所含向量的个数n=矩阵B˜的列向量组中所含向量的个数n.由r(A)=r(B)=r(A,B),得r(A)=r(B˜)=r(A,B˜)

AX˜=B˜,(14)

B˜Y˜=A.(15)

再记X˜=(X,X⌢)及

Y˜=(YY⌢)

,其中X∈Pn×s,X⌢∈Pn×(n-s),Y∈Ps×n,Y⌢∈P(n-s)×n,又注意到B˜=(B,O),则对(14)及(15)利用矩阵分块乘法得到如下结果:有列满秩矩阵X∈Pn×s,及行满秩矩阵Y∈Ps×n,使得下列两个公式成立

AX=B,(16)

BY=A.(17)

即方程(16)有列满秩解X∈Pn×s,方程(17)有行满秩解Y∈Ps×n.至此,定理1得证.

3、推广

从上述证明可以发现,由条件r(A)=r(B)=r(A,B),得到方程AX=B有列满秩解X,同时得到方程BY=A有行满秩解Y.故可以将定理1重新表述为如下形式:

定理1对任意给定的矩阵A∈Pm×n,B∈Pm×s(s≤n),若r(A)=r(B)=r(A,B),则矩阵方程AX=B有列满秩的解X(∈Pn×s),即矩阵X的秩r(X)=s;同时,矩阵方程BY=A有行满秩的解Y(∈Ps×n),即矩阵Y的秩r(Y)=s.

更进一步,若矩阵方程AX=B有解X,同时,矩阵方程BY=A有解Y,则一定有r(A)=r(B)=r(A,B).也就是,条件r(A)=r(B)=r(A,B)又是命题“矩阵方程AX=B有解X;同时,矩阵方程BY=A有解Y”的必要条件.将这个必要条件与定理1合在一起,有下面的定理:

定理2对任意给定的矩阵A∈Pm×n,B∈Pm×s(s≤n),矩阵方程AX=B有列满秩的解,且同时BY=A有行满秩解的充要条件是r(A)=r(B)=r(A,B).

另外,通过梳理线性代数中与条件r(A)=r(B)=r(A,B)相关的结论,得到如下结果:

定理3对任意给定的矩阵A∈Pm×n,B∈Pm×s(s≤n),如下论断等价:

(i)矩阵方程AX=B有列满秩的解X(∈Pn×s),同时矩阵方程BY=A有行满秩的解Y(∈Ps×n);

(ii)r(A)=r(B)=r(A,B);

(iii)矩阵A与矩阵B˜=(B,O)列等价,此处矩阵B˜=(B,O)中的零子矩阵的型号为m行(n-s)列(注:当n=s时,B˜=B;当n>s时,B˜=(B,O));

(iv)齐次方程组ATz=O与BTz=O同解;

(v)矩阵A的列向量组与矩阵B的列向量组等价,并且矩阵B的列向量组由矩阵A的列向量组线性表示的系数矩阵是列满秩的,矩阵A的列向量组由矩阵B的列向量组线性表示的系数矩阵是行满秩的;

(vi)矩阵A的列向量组所生成的线性空间=矩阵B的列向量组所生成的线性空间.

定理3的证明(i)、(ii)与(iii)的等价已经由定理1和定理2给出,现在只要分别证明(ii)与(iv)等价、(i)与(v)等价、(v)与(vi)等价.

①(ii)与(iv)等价.

首先证明由(ii)可推得(iv).

对于给定矩阵A∈Pm×n,B∈Pm×s(s≤n),若r(A)=r(B)=r(A,B),将其值记为r,则由秩的性质,可得

r(AT)=r(BT)=r(ATBT)=r.

构造齐次方程组

(ATBT)z=O

,由齐次方程组的解的理论,齐次方程组

(ATBT)z=O

的基础解系中含有m-r个解向量,又因齐次方程组

(ATBT)z=O

的解一定也是齐次方程组ATz=O的解,故

(ATBT)z=O

的基础解系中的m-r个解向量也是齐次方程组ATz=O的基础解系,所以齐次方程组

(ATBT)z=O

与ATz=O同解;

同理,齐次方程组

(ATBT)z=O

与BTz=O同解.于是,齐次方程组ATz=O与BTz=O同解.

其次证明由(iv)可推得(ii).

若齐次方程组ATz=O与BTz=O同解,构造齐次方程组

(ATBT)z=O

,则三个齐次方程组ATz=O,BTz=O与

(ATBT)z=O

同解,由齐次方程组的解的结构理论,这三个齐次方程组的解集的秩相等,即有

m−r(AT)=m−r(BT)=m−r(ATBT),

于是

r(AT)=r(BT)=r(ATBT),

进而有r(A)=r(B)=r(A,B).

综上,(ii)与(iv)等价获证.

②(i)与(v)等价:这个等价性是显然的,命题(v)实际上是命题(i)用向量组的线性表示的语言的复述.

③(v)与(vi)等价:参考文献[2,3]均给出了证明,这里不再重复.

最后,不加证明地给出定理3的对称推广.

定理3′对任意给定的矩阵A∈Pn×m,B∈Ps×m(s≤n),如下论断等价:

(i)矩阵方程XA=B有行满秩的解X(∈Ps×n),同时矩阵方程YB=A有列满秩的解Y(∈Pn×s);

(ii)r(A)=r(B)=r(AB);

(iii)矩阵A与矩阵

B˜=(BO)

行等价,此处矩阵

B˜=(BO)

中的零子矩阵的型号为(n-s)行m列(注:当n=s时,B˜=B;当n>s时,

B˜=(BO));

(iv)齐次方程组Az=O与Bz=O同解;

(v)矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价,并且矩阵B的行向量组由矩阵A的行向量组线性表示的系数矩阵是列满秩的,矩阵A的行向量组由矩阵B的行向量组线性表示的系数矩阵是行满秩的;

(vi)矩阵A的行向量组所生成的线性空间=矩阵B的行向量组所生成的线性空间.

4、结论

矩阵方程AX=B和BY=A广泛出现在数学和工程应用中,文中探讨了矩阵方程AX=B有列满秩的解,且同时BY=A有行满秩解的充要条件,这个研究推广和加强了现有的有关矩阵方程AX=B和BY=A的解的结论.

参考文献：

[1]黄正达.关于矩阵方程求解的一点注记[J].大学数学,2019,35(4):48-53.

[2]同济大学数学系.工科数学:线性代数[M].6版.北京:高等教育出版社,2014:58-76.

[3]黄廷祝,成孝予.线性代数与空间解析几何[M].5版.北京:高等教育出版社,2018:23.

[4]魏战线,李继成.高等数学基础:线性代数与空间解析几何[M].2版.北京:高等教育出版社,2010.

[5]唐烁,朱士信.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2018.

[6]陈建龙,周建华,张小向,等.线性代数[M].2版.北京:科学出版社,2018.

[7]同济大学数学科学学院.线性代数及其应用[M].3版.北京:高等教育出版社,2020.

陈素琴,王琤.关于矩阵方程求解的另一点注记[J].大学数学,2021,37(01):63-67.

基金:同济大学2019教学改革项目(1390104126)

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