随着数控加工向高速高精度方向的发展，数控机床的伺服控制要求逐步提升[1]。双轴直线电机平台作为数控机床中最基本的轮廓加工设备之一，采用了两台相互垂直的永磁直线电机(permanent magnet linear synchronous motor, PMLSM)作为驱动装置，每个电机控制一个独立的轴。由于双轴直线电机平台具有高刚性、高定位精度、高推力和响应速度快等优势，因此在高速高精密加工、医疗设备等领域得到广泛应用[2]。

为改善双轴直线电机平台的轮廓跟踪性能，常规方法包括采用鲁棒控制、滑模控制和模糊控制等以提高永磁直线同步电机的单轴位置跟踪精度，然而，这些方法对轮廓精度的提升效果有限[3]。在此背景下，交叉耦合控制(cross-coupled control, CCC)被引入，其目标在于减小双轴运动系统中的轮廓误差。该方法实时计算出双轴间的轮廓误差，并利用交叉耦合控制器计算出各单轴需要的位置误差补偿量。通过将两个轴的位置误差值反馈到各自的控制器，实现它们的相互协调和误差相互补偿。这种协同补偿的过程有助于快速降低轮廓跟随误差，从而提高性能。LI等[4]提出了实时变增益CCC方法以解决两轴间参数不匹配的问题，从而提高轮廓控制精度，但该方法仅适用于线性轨迹。盛贤君、李争等[5-6]通过应用最优化控制和Lyapunov稳定性原理，分别对多轴交叉耦合控制器进行设计，保证了被控系统的稳定性和鲁棒性。然而，这两种控制方法未考虑到不确定性外部扰动对系统的不利影响。曹志强等[7]提出的CCC架构与传统CCC不同之处在于该新架构不将补偿量加入控制回路中，而是将补偿量用于修正原始命令，再利用修正后的命令位置作为位置指令，以降低轮廓误差，但该方法存在控制滞后的问题。许鸣吉等[8]引入了一种迭代学习控制(iterative learning control, ILC)与CCC相结合的控制策略，旨在提高双轴直线电机平台的轮廓跟踪性能，然而，该方法未考虑轮廓误差累积的影响。

ILC是一种在连续执行任务的多次迭代中逐渐改进性能的控制方法。它通过利用连续任务执行中的误差信息来调整控制器，但是由于系统动态特性的变化或外部扰动的存在，ILC可能导致轮廓误差在每次迭代中逐渐累积，进而对双轴直线电机平台的轮廓精度产生影响。为了消除双轴直线电机平台交叉耦合迭代学习控制中的误差积累，本文提出了一种改进经验模态分解(modified empirical mode decomposition, MEMD)算法的控制策略，MEMD算法可以对轮廓误差信号进行分解，消除发散的误差分量，并重新整合剩余的误差分量，从而减小双轴系统的轮廓误差。最后，仿真结果表明了所提方法的有效性。

1、双轴直线电机平台的数学模型及轮廓误差

1.1 双轴直线电机平台的数学模型

双轴直线电机平台是通过两台永磁直线电机垂直堆叠方式来实现两维度的定位与循迹跟踪功能的精密平台。PMLSM的机械运动方程为[9]:

式中：M为动子质量，Bv为粘滞摩擦系数，v为动子线速度，Fl为外部扰动。基于Id=0的矢量控制方法，电磁推力Fe为：

式中：τ为极距，ψf为永磁体磁链，Kf为推力系数，Iq为q轴电流。

结合式(1)和式(2),可得双轴永磁直线电机平台的数学模型为：

式中：Z为PMLSM的动子实际位置，下角标x、y分别为X、Y轴各分量。

1.2 自由轨迹轮廓误差

本文利用图1所示的自由轨迹轮廓误差模型对轮廓误差进行估计。

图1中，点P1(P1x,P1y)和R1(R1x,R1y)分别表示期望轨迹位置和实际轨迹位置，点P2(P2x,P2y)表示期望轨迹上距离点R1最近的点，角度ϕ表示由点P1和P2形成的直线与X轴的夹角，ε表示轮廓误差，

图1 自由轨迹轮廓误差模型

跟踪误差e由ex和ey两个分量表示，分别表示在X轴和Y轴上的误差；a表示跟踪误差在点R1沿切线方向上的投影，这个投影可以近似为点P1和点P2之间的距离。

定义矢量P1与R1:

则点P1和点R1的单位切线向量可表示为：

由此可得投影长度a为：

在恒进给率的情况下，点P2至点P1所需的时间Δt可表示为：

为点P1的平均进给率。

由此可得点P2的坐标位置为：

式中：vP1、vR1分别为点P1和点R1的进给率，Δt为从点P2运行至点P1的时间。

由于点P2与R1位置相近，且具有相同的趋势位置点P1,因此可近似假设：

vR1≈vP2(9)

结合式(8)与式(9),则P2的坐标可表示为：

因此，可得夹角ϕ为：

自由轨迹轮廓误差为：

2、双轴直线电机平台交叉耦合迭代学习控制

2.1 永磁直线同步电机PDFF位置控制

为实现单轴PMLSM的高精度定位需求，本文利用PDFF控制设计位置控制器。

PDFF控制[10]通过调节其前馈增益KFF,可以使系统快速响应的同时具备较强的抗干扰能力，其控制框图如图2所示。图中，P为期望输入，R为实际输出，KIP、KFP为PDFF控制器参数，G为PMLSM的速度闭环，KP、KI为速度环PI控制器参数。

图2 PDFF位置控制框图

2.2 交叉耦合迭代学习控制

本文采用的交叉耦合迭代学习控制如图3所示。Px、Py分别为X、Y轴的期望输出，Rxj、Ryj分别为X、Y轴第j次迭代的实际输出，L为学习律函数，εj为第j次迭代的轮廓误差，uj、uj+1分别为第j次、第j+1次交叉耦合迭代学习控制输入，wxj、wyj分别为第j次迭代X、Y轴速度回路的控制输入，Gvx、Gvy分别为X、Y轴速度环的闭环传递函数。X、Y轴交叉耦合增益Cx、Cy定义为[11]:

图3XY两轴直线电机平台交叉耦合迭代学习控制框图

本文采用如下自适应PD型学习律：

式中：P、D为学习增益系数，f(·)为与轮廓误差相关的函数，表达式为：

此学习律根据轮廓误差εj(t)的变化自适应调整函数值的大小，同时可通过调节α的值控制迭代过程的收敛速度。当轮廓误差小于等于β时，由于uj+1(t)-uj(t)=0,迭代终止。

3、基于改进经验模态分解算法的迭代学习控制

为了消除交叉耦合迭代学习中的误差积累效应[12],本文提出了一种改进经验模态分解(modified empirical mode decomposition, MEMD)算法的控制策略。

3.1 MEMD算法

EMD算法是一种用于信号分解的数据分析方法，旨在将非线性或非平稳信号分解为一组具有不同频率和振幅的本征模态函数(intrinsic mode function, IMF)。然而在EMD分解过程中可能会产生端点效应以及模态混叠问题，严重影响信号分解的准确性[13]。针对该问题，本文提出基于交互直线延拓与互补集合经验模态分解的新型改进算法。

3.1.1 基于交互直线延拓的端点效应改进算法

端点效应会导致信号的上下包络线向两端发散，且该效应可延伸至下次分解的过程中，使分解效果不断变差[14]。为了抑制端点效应，利用交互直线延拓法对EMD的端点效应进行处理，其延拓方法示意图如图4所示。

图4 交互直线延拓法示意图

交互直线延拓算法利用线性方程求解延拓极值点坐标，需在原信号两侧各延拓两个极值点。以信号左端为例，交互直线延拓法步骤为：

步骤1:提取距离信号左端点最近的5个极值点坐标(t1,h1)、(t2,h2)、(t3,h3)、(T1,H1)、(T2,H2);

步骤2:根据相邻极值点构建交互直线l

根据式(16),计算交互直线l

步骤3:利用点斜式求取l

的直线方程，同时利用两点式求取lp的直线方程：

联立式(18)和式(19),求解可得第一个延拓极值点(T0,H0)。

步骤4:求取ld的直线方程，并根据延拓极值点(T0,H0),求取l

的直线方程：

同理，结合式(20)与式(21),即可确定第二个延拓极值点的坐标位置。

3.1.2 基于互补集合经验模态分解的模态混叠改进算法

模态混叠问题可能会造成错假的时频分布，导致信号分解结果失真[15]。针对此问题，本文采用互补集合经验模态分解算法，其过程为：

步骤1:在原始信号x(t)中加入符号相反与幅值为μ的一组噪声信号n+i(t)和n-i(t):

步骤2:分别对x+i(t)和x-i(t)进行EMD分解，得到两组IMF分量及残余分量：

式中，Z为信号分解后的IMF总数，c+i,z(t)、c-i,z(t)为各组IMF分量，r+i(t)、r-i(t)为残余分量。

步骤3:重复上述步骤η次，得到2η组IMF分量；

步骤4:最后将2η组IMF分量进行多次集成平均处理，得到最终的IMF分量。

3.2 基于MEMD算法的交叉耦合迭代学习控制

本文提出的基于MEMD算法的交叉耦合迭代学习控制如图5所示，其运行过程为：

步骤1:采用自适应迭代学习控制器运行，在每次迭代过程中记录轮廓误差εj(t)的变化；

步骤2:对记录的轮廓误差进行MEMD算法分解，将其分解成多个IMF分量，筛选出发散的IMF分量cj(t);

步骤3:剔除发散的IMF分量，得到重构的轮廓误差ε*j(t);

步骤4:利用重构的轮廓误差计算交叉耦合迭代学习控制输入，以实现更高效的学习性能和精确的轮廓跟踪控制。

图5 基于MEMD算法的交叉耦合迭代学习控制框图

4、仿真与分析

本文仿真采用的双轴PMLSM平台参数为：动子质量Mx=3.4 kg、My=2.8 kg; 粘滞摩擦系数Bvx=244.319 2 N·s/m、Bvy=82.017 6 N·s/m; 电磁推力系数Kfx=24 N/A、Kfy=35 N/A。各轴控制器参数为：KFFx=9.1、KIPx=3.7、KFPx=11.5、KPx=6.5、KIx=92.5;KFFy=7.8、KIPy=2.7、KFPy=11.1、KPy=0.35、KIy=63.3。交叉耦合迭代学习控制器参数为：P=10.5、D=0.3、α=55、β=2×10-6。给定星形期望轨迹，如图6所示。

设置最大迭代次数10次，集成平均次数100次，白噪声幅值0.2SD(SD为原始信号标准差),初始控制输入u0(t)=0,恒定进给率100 mm/s。为了验证本文方法的优越性，分别采用ILC和MEMD+ILC两种方法来对比分析双轴直线电机平台的轨迹跟踪性能。

基于ILC方法的各次迭代的轮廓误差的均方根如表1所示。由表1可知，轮廓误差的均方根从未迭代的13.24 μm到第10次迭代的4.17 μm, 减少了68.5%。然而，在第4次、第7次和第8次迭代时，轮廓误差的均方根出现明显的增加。图7为采用ILC方法经过10次迭代后的轮廓误差曲线图。由图7可知，最大轨迹轮廓误差约为5.6 μm。

表1 基于ILC方法的轮廓误差的均方根

图6 星形期望轨迹

图7 基于ILC方法的轮廓误差

利用MEMD算法，将迭代过程中的轮廓误差进行分解，得到的IMF分量如图8所示。

图8 MEMD算法分解的IMF分量

从图8a～图8c中可以观察到，IMF1的幅值在第4次迭代时递增，IMF2的幅值同样在第4次迭代时递增，IMF3的幅值在第7次和第8次迭代时不断增加。因此，为确保ILC的收敛性并提高系统迭代学习的收敛速度，应该剔除以上影响迭代收敛的IMF分量。

ILC和MEMD+ILC方法的轮廓误差均方根比较曲线(见图9),可以观察到经过MEMD算法处理后，随着迭代次数的增加，轮廓误差均方根从原来的不收敛变为单调递减。在第10次迭代时，轮廓误差均方根降低至2.69 μm(见表2)。与仅使用ILC方法相比，轮廓误差均方根减少了47.97%。因此，MEMD+ILC方法有效提升了迭代效果。

表2 基于MEMD+ILC方法的轮廓误差的均方根

基于MEMD+ILC方法的轮廓误差曲线如图10所示。从图10可知，基于MEMD+ILC方法的最大轨迹轮廓误差约为4.6 μm。与图7相比较，最大轮廓误差减少了17.86%,表明系统的轮廓精度得到有效提升。

图9 轮廓误差的均方根曲线对比图

图1 0 基于MEMD+ILC方法的轮廓误差

5、结论

本文提出了一种基于MEMD算法的双轴直线电机平台交叉耦合迭代学习控制方法，旨在解决轮廓误差积累效应导致的收敛速度低和轮廓跟踪性能差的问题。该方法利用MEMD算法将各次迭代的轮廓误差进行分解，剔除对系统收敛产生影响的误差分量，并重新整合余下的误差分量，再进行迭代学习运算，以提高迭代学习控制(ILC)的收敛速度和轮廓精度。仿真结果表明，相较于传统的ILC方法，基于MEMD+ILC方法的轨迹轮廓误差减少了17.86%,双轴直线电机平台的轮廓精度得到有效提升。

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基金资助:国家自然科学基金项目(61903169);

文章来源:刘思诺,蔡昌友,武志涛.基于MEMD的双轴直线电机平台迭代学习控制[J].组合机床与自动化加工技术,2024,(09):123-127.