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基于概率运动基元的移动机器人轨迹学习与避障算法研究

2024-09-27 69 上传者：管理员

摘要：示教学习在移动机器人的路径规划中展现出潜力，但将其直接应用于三维空间时，常面临效率低下、障碍物碰撞等挑战。提出了一种基于概率运动基元建模的移动机器人三维路径规划方法。通过简化速度信息，对示教路径点的时域坐标建模，实现了高效在线规划，并借助条件高斯计算提升路径准确性。设计了避障算法，利用障碍物信息赋予路径偏置值，结合一阶系统吸引点模型，确保路径平滑避障。实验验证表明，该模型在三维空间中规划效果良好，时间成本低，且避障算法有效，为移动机器人在复杂环境中的自主导航提供了新思路。

关键词：
三维仿真
条件高斯计算
概率运动基元
泛化路径避障
路径规划
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近年来，示教学习在移动机器人路径规划领域得到了广泛应用[1],使移动机器人能够通过学习示教路径中的运动特征[2],自动生成规划轨迹。自1999年沙阿尔首次提出机器人示教学习概念以来[3],该领域便吸引了众多研究者的关注，并取得了显著进展。示教学习通常采用运动基元模型进行建模，其中运动基元作为运动控制与学习领域的基本单元，能够构建并执行复杂运动。例如：奥克[4]提出的动态运动基元模型，通过结合二阶弹簧阻尼模型与附加项，确保了生成轨迹能够精确通过目标点；黄艳龙等[5]提出的核化运动基元，不依赖于先验概率，而是利用示教轨迹中的KL散度构建模型；帕拉绍斯等[6]进一步提出了基于高斯分布作为基函数的概率运动基元(Probabilistic Motion Primitive, ProMP),与动态运动基元的控制系统模型不同，它侧重于表达路径轨迹的分布概率。

ProMP在学习运动轨迹后，能够通过一次矩阵乘法迅速生成规划轨迹，这一特性极为适合移动机器人的在线规划需求。然而，当尝试将其应用扩展到高维空间时，会面临矩阵运算维数急剧增加，计算效率显著降低的挑战。此外，传统的ProMP在生成泛化轨迹时，往往未充分考虑空间中的障碍物信息，这可能导致生成的轨迹与障碍物发生碰撞。本文聚焦于三维空间中的示教轨迹，采用一种改进型的ProMP模型进行建模。通过运用条件高斯计算，确保生成的轨迹能够准确无误地到达新的目标点。同时，针对泛化路径在三维空间中的避障问题，本文利用环境信息对路径进行自适应修正，从而确保新生成的轨迹既平滑又无碰撞，以满足移动机器人在复杂环境中安全导航的严格要求[7]。

1、概率运动基元

1.1 概率运动基元模型

概率运动基元(ProMP)通常使用列向量qt和

t来分别表示时域下一维的位置和速度，可以用

来描述位置和速度的集合，即机器人在一维空间下的运动状态。高斯函数(也被称为高斯分布或正态分布)通常用来描述运动轨迹的不确定性或误差。在运动估计和轨迹跟踪领域，高斯函数被广泛用于建模和描述运动物体的位置和速度的不确定性。在ProMP模型中，若干个高斯函数被用作基函数，它们的线性组合被用来拟合机器人的运动轨迹。其对应的表达式如式(1)所示[8]。

式中：

是ProMP模型的基函数，通常在不要求准确反映路径中微分关系时，令Φt=I2o⨂ϕ,⨂为矩阵的Kronecker乘积；ω为对于各个基函数的权值，加入随机高斯噪声εy,噪声的协方差矩阵为∑y,可以使模拟数据更接近于真实世界的数据。

若定义一条示教轨迹τ,则此时在ω下的条件概率按式(2)计算。

假设ω是满足参数为θ的高斯分布，则得到式(3)和式(4)。

对式(4)进行积分求解，得到式(5)。

p(yt;θ)=N(yt|Φtμω,ΦTt∑ωΦt+∑y) (5)

通过多条示教轨迹学习，可以得到运动基元模型中的参数θ={μω,∑ω}。通过最大似然估计法，可以求得不同轨迹下ω的概率分布，具体按式(6)计算。

式中：M为示教轨迹的条数。

把计算得到的μω作为ω值代入式(1),即可得到多条示教轨迹在不同时间点的平均数学期望和方差。

1.2 条件高斯计算

在学习到了示教轨迹中的θ参数信息后，就可以用条件高斯计算改变θ参数，使路径可以在设定时刻，以设定的速度经过设定点。假设欲使泛化轨迹在指定的时刻t*,以指定的速度

经过指定位置q*t,此时的期望点参数可以描述为,协方差矩阵为∑*t。若此时期望事件为A事件，根据条件高斯与贝叶斯估计算法，则更新后的轨迹参数θ*={μ*ω,∑*ω}可用式(7)计算获得[9]。

完成参数更新后，将最新的μ*ω作为ω值代入式(1),得到泛化轨迹。此泛化轨迹可以在指定的时刻t*和指定的方差范围∑*t内过期望点。

2、高维空间下的改进型ProMP

移动机器人的运动通常发生在三维空间中，因此需要将一维的ProMP模型拓展至高维空间。在一维空间的情况下，若选取N个高斯函数的进行线性组合，则此组合公式中基函数的维数为2T×2N,其中T为路径的时间，N为高斯函数的个数。若将它拓展至三维空间，仍选取N个高斯函数，则基函数通常可以表示为Φt=I6o⨂ϕ,其中基函数的维度为6T×6N,这会大大降低运算速度，进而难以将原生的ProMP用于三维空间的在线路径规划。

在移动机器人的路径规划中，由于初期阶段主要聚焦于运动的位置信息，在采用三维空间的概率基元模型时，可以考虑仅保留位置信息而舍弃速度信息，以此显著减少运算量，提高规划效率。

若用路径St=[xt,yt,zt]T来描述三维空间中时域下位置的集合，则可以有：

此时只对三维空间位置的路径轨迹进行建模，无需准确地反映微分关系，因而可以令Φt=I3o⨂ϕ,其中ϕ仍由N个高斯分布的向量组成。此时的基函数维度为3T×3N,显著减少了运算量，并且可用式(6)计算获取模型参数。此时协方差∑ω为3N×3N维度的矩阵。

若要求在指定时刻能够准确经过设定点，则仍然可以使用式(7)来更新轨迹参数。需要注意的是，此时式(7)中的∑*t为3×3协方差矩阵，在此方差内，轨迹在三维空间经过指定点。

3、泛化轨迹避障算法研究

在实际使用中，移动机器人在复杂环境中常常会遇到各种障碍物的阻挡[10]。即便可以采用多条无碰撞的避障轨迹作为示教路径进行训练，也并不能完全确保由此生成的泛化轨迹同样是无碰撞的。为此，本文充分利用环境中的障碍物信息，提出了一种融合ProMP的避障策略，旨在提升ProMP模型的鲁棒性和实用性。

如图1所示，中心矩形代表实际障碍物，而其周围环绕的矩形框则是为障碍物外扩两个单位的“安全缓冲区”或“危险区域”。为确保更高的安全裕量，系统有必要在规划过程中读取环境中的障碍物信息，并据此调整泛化后的轨迹，确保移动路径能够避开这些障碍物及其周围的危险区域，从而避免发生碰撞。

图1 障碍物与路径图

当ProMP生成的轨迹穿越障碍危险区域时，可以考虑在穿越区域施加一个横向偏移，以模拟人为避障轨迹中的“转弯”动作。为确保调整后的避障轨迹保持良好的连续性和平滑性，该横向偏移值应从零开始并保持连续变化。同时，为了优化避障性能，还应根据轨迹与障碍物之间的实际距离调整偏移值。为此，本文借鉴了控制理论中的一阶系统单位阶跃响应的时域输出特性。具体公式如式(9)所示。

yt=1-e-t/T(9)

假设图1中轨迹是自上而下运行的，那么设定在A点处的横向偏移值为0(即无偏移),而在B点处的横向偏移值达到最大。为了确定这一偏移量的具体数值，取整个轨迹离障碍物之间的最小距离smin,并设定时间常数T为0.33,通过调整阶跃输入的大小smin/0.632,可以得到式(10)所示的横向偏移值(bs)的计算公式。

根据一阶系统的阶跃响应特性，可以观察到，在从A点到B点的移动过程中，当系统到达AB段的三分之一位置时，偏移值会达到一个特定水平，即轨迹与障碍物之间的最小距离。随后，偏移值将呈现缓慢增加的趋势，直至系统到达B点，此时偏移值约为轨迹与障碍物之间的最小距离的1.5倍。为了修正轨迹，避免与障碍物过近，轨迹将按照图2所示的曲线AD进行调整。

图2 障碍物与修正路径图

在此情况下，若直接将D点与后续轨迹相连，可能会导致轨迹显得不够平滑。为了改善这一情况，可以引入一个吸引点模型，如图2所示的C点。将D点和C点的横坐标或纵坐标视为离散系统的时域，并在此基础上引入一个离散系统的增量式比例-积分(PD)控制器。此时，坐标的变化可以被视为控制系统中的积分环节。

对于D到C段，为确保路径的平滑性，可以对纵坐标进行单位采样时间内的均分处理。随后，在单位采样时间内的每个一维点位置追踪上，运用用增量式PD控制器进行输出控制。具体如式(11)所示。

此时输出的路径点的横坐标会逐渐逼近吸引点C,最终路径的修正结果如图3所示。从中可以看到，经修正的路径模拟了趋利避害的行为逻辑，整体路径可以平滑地绕过障碍物。

图3 障碍物与修正路径图

4、移动机器人路径泛化与避障仿真

为了评估移动机器人在三维空间中的路径泛化效率、时间成本及面对障碍物时的自主避障能力，笔者设计了两组仿真实验，以验证改进型ProMP的性能。

4.1 三维空间ProMP泛化实验

设定三维空间地图大小为20×20×2,移动机器人有3条示教路径，其示教起点为(6.0,7.5,0.0),示教终点为(5.0,-1.0,-1.4)。实验用计算机的操作系统为Windows10专业版64位，CPU配置为Inter(R) Xeon(R) E5-2666 v3。在此环境下，运行Matlab R2015b软件。实验中将3条示教路径中每条路径采样100个点，分别使用原生的ProMP和本文改进的ProMP,设置基函数中用100个高斯函数拟合，泛化路径终点为(5.0,-1.0,-1.8),使用原生ProMP和改进型ProMP,得到从起点到终点的泛化路径。

实验结果显示，移动机器人在采用两种动态基元模型进行路径规划时，其泛化路径均能精确地通过预定的目标点。同时，这些新的泛化路径与原始的3条示教路径保持较高的相似度。由表1可知，采用改进型ProMP模型所需时间显著少于使用原生ProMP模型。

表1 三维空间ProMP泛化实验用时

4.2 三维空间ProMP避障实验

在上述实验中，当利用ProMP生成移动机器人的泛化路径时，可能存在路径穿越障碍物的风险。为此，在上述泛化实验的基础上，进一步进行避障功能的测试。利用上述所阐明的泛化轨迹避障算法，在三维实验环境中生成新的修正路径。实验结果表明，采用三维空间ProMP避障算法生成的路径，能够成功避开三维空间中的障碍物，达到了利用障碍物信息对泛化路径进行有效修正的效果。

5、结语

本文针对基于概率运动基元(ProMP)的三维空间路径规划中时间成本较高及易与障碍物碰撞的问题，主要进行了以下设计改进：一是通过部分信息舍弃策略，对示教路径点的时域坐标进行建模，从而有效减少了运算时间，便于在线规划；二是引入了针对泛化后路径的避障算法，该算法充分利用了空间中的障碍物信息，显著提升了泛化路径的适应性。三维仿真实验的结果表明，使用改进后的ProMP进行建模与泛化生成的路径，不仅成功学习了示教路径的特征，能够较为精确地经过各个路径点，而且相较于原生的ProMP,其时间成本更低。同时，避障算法的加入，实现了对泛化路径的有效修正，确保了路径的安全性。

参考文献:

[2]陈煜,刘曙.基于多传感器融合的复杂地形建图[J].仪表技术,2022(6):58-61.

[7]郑轶民.基于MMAS的垃圾车路径规划系统研究[J].仪表技术,2018(8):33-35.

[9]孙峰.基于双编码器设计的机器人关节定位精度分析[J].仪表技术,2020(3):33-35.

文章来源:罗济雨,孙丙宇.基于概率运动基元的移动机器人轨迹学习与避障算法研究[J].仪表技术,2024,(05):53-56.