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下三角非线性系统基于backstepping方法自适应控制律设计研究

2020-05-27 742 上传者：管理员

摘要：针对一类下三角非线性系统，基于backstepping方法提出一个自适应控制律的设计框架，且在控制律设计过程中结合Lyapunov稳定性理论进行稳定性分析，保证闭环系统的稳定性。以飞行弹头的控制器设计为例，进行自适应律设计，并通过数值仿真验证所提框架的有效性。

关键词：
下三角非线性系统
反步法
自动化
自适应控制
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1、概述

在实际的应用中，被控制的对象（如汽车、船舶和飞行器等）几乎均具有一定程度的不确定性，如控制模型的不明确、外部干扰的存在等。若使用常规的反馈控制器，不仅无法保证良好的控制品质，甚至可能会造成系统失稳。而自适应方法在处理不确定性问题时具有明显优势，因此自适应控制在实际生活中应用非常广泛。Backstepping方法（反步法）是自适应理论的重要分支之一，从上世纪90年代提出至今[1,2]，已发展成为自适应控制的主流，尤其在航天航空领域，因其在飞行器控制上的成功应用，所受关注更多。反步法的基本思想是将高阶次的系统分解为若干个不超过系统阶次的子系统，然后单独设计每个子系统的Lyapunov函数，在保证子系统收敛的基础上，设计该子系统的虚拟控制律。在下一个子系统控制律设计的过程中，将上一个子系统的虚拟控制律作为跟踪目标，类比于上一个子系统的设计过程，获得当前子系统的虚拟控制律。以此类推，最终可设计出整个系统的实际控制律，且在设计过程中便结合了Lyapunov理论对稳定性进行分析，保证整个闭环系统的稳定性。本文旨在针对一大类下三角形非线性系统，提出一个通过Backstepping方法设计自适应控制器且同时保证系统稳定性的设计框架，并通过具体实例的数值仿真验证所提框架的有效性。

本文的结构安排如下，第一节叙述backstepping方法的基本思想；第二节提出基于backstepping方法的自适应控制律设计框架，并进行稳定性分析；第三节是以飞行弹头系统模型为例，使用所提框架设计自适应控制律并进行数据仿真；第四节对全文做出总结。

2、基于backstepping的自适应控制律设计框架

2.1问题描述

考虑一个简单的下三角结构非线性系统，系统的动态方程为

公式1

其中，x、u和y分别是系统的状态量、输入量与输出量，fi(x1,x2，…，xi)(i<n）是系统的非线性部分，呈下三角结构。

控制目标：基于backstepping方法，设计控制律u，使得输出y=x1跟踪某一已知参考轨迹yr。

2.2反推自适应控制律设计框架及稳定性分析

设计步骤共有n步，第1步：定义跟踪误差

公式2-3

式（2-3）对时间t求导，并根据式（2-1）、式（2-2）和式（2-4）可得

公式4

构造Lyapunov函数

公式5

选择虚拟控制律

公式6

第i-1(2<i≤n）步：定义

公式7

式（2-6）对时间t求导，并根据式（2-1）可得

公式8

构造Lyapunov函数

公式9

设计虚拟控制律

公式10

根据式（2-7）、式（2-8）和式（2-9），可得

公式11

若zi→0，则z1→0，即y跟踪上已知参考轨迹yr。

第n步：定义

公式12

式（2-10）对时间t求导，并根据式（2-1）可得

公式13

设计控制律

公式14

构造Lyapunov函数

公式15

根据式（2-7）、式（2-8）和式（2-9），可得

公式16

由此可见，在上述过程中设计的虚拟控制律αi(i=1,2，…，n-1）和控制输入u的作用下，输出y可以跟踪上已知参考轨迹yr，且原非线性系统是渐进稳定的。

3、应用实例及仿真

3.1问题描述

考虑一个飞行弹头的系统姿态运动简化模型如下：

公式3-1

其中，v是弹头在该坐标系下的速度大小，α和β分别是弹头的攻角和侧滑角，ωz1和ωy1分别是弹头偏航角和俯仰角的角速度，δy和δz分别是弹头在纵向和侧向的偏移量。其余参数均可视为已知的系统参数。

为应用backstepping方法设计控制律，将式（3-1）写成紧凑标准形式

公式3-2

其中，

公式3-3

控制目标：通过反步法，设计控制律u使得输出y跟踪上已知的参考轨迹yr。

3.2设计过程

第一步：定义跟踪误差

公式3-4

式（3-4）对时间求导，并根据式（3-2）可得

公式3-5

其中，τ为所设计的虚拟控制律，令式（3-4）在不计f1(x1)(x2-τ）时是稳定的，当α和β值较小时，f1-1(x1）为：

公式3-6

设计

公式3-7

其中l1>0为设计参数。

将式（3-7）代入式（3-5）中，可得

公式3-8

第二步：令

公式3-9

式（3-9）对时间求导，并根据式（3-2）可得

公式3-10

由式（3-3）可知B-1存在，故控制律可取

公式3-11

其中

公式3-12

公式3-13

3.3数值仿真

为验证所提方案的有效性，本小节进行仿真验证。系统参数以及仿真初始条件选择如下：

公式14

仿真结果见图1至图4。由图1、图2和图4可看出输出y在短时间内即跟踪上参考轨迹yr，仅由于初始状态的影响致使在初始时刻存在一定跟踪误差z，但很快跟踪误差便趋近于零，跟踪效果良好。由图3可看出，当参考轨迹为正弦信号时，初始时刻输出量也并没有大幅度变化，始终比较平缓，说明控制效果良好。

4、结论

本论文主要针对一类下三角形非线性系统，提出了一个基于backstepping方法设计自适应控制律的设计框架，且在设计过程中结合Lyapunov稳定性理论对系统的稳定性进行分析，保证闭环系统内所有信号均为有界。并以飞行弹头的简化系统模型为例，应用该框架设计自适应控制律并进行数值仿真，验证了所提框架的有效性。

图1实际输出α（实线）与参考轨迹αr（虚线）

图2实际输出β（实线）与参考轨迹βr（虚线）

图3控制输入δy（实线）与控制输入δz（虚线）

图4跟踪误差zβ（实线）与跟踪误差zα（虚线）

参考文献：

[3]林鹏,周凤岐,周军.基于变质心控制方式的再入弹头控制模式研究[J].航天控制,2007(02):18-22.

张驰宇,蒋晓龙,马向春.基于反步法的下三角非线性系统自适应控制律设计框架[J].科技创新与应用,2020(16):25-27.