摘要:骰子点数问题主要运用排列组合,容斥原理与多重计数,生成函数、母函数等方法研究点数和的计数与应用;赌注分配问题主要运用概率、期望、质点的随机游动法等。本文拟结合概率论、不定方程知识将一个街头5骰子游戏数学化为古典概率模型问题,借助Matlab求出骰子点数和的排列数解,揭示其骗人的本质与构造方法。
古典概率理论缘起于骰子所造就的一系列赌博问题,尤其是德·梅勒提出的点数和赌注分配问题[1]。这些问题引起帕斯卡、费尔马、惠更斯等数学家对赌博问题进行研究,总结了前人的方法,把具体赌博问题的分析提升到一般化的高度,把赌博的数理讨论推向了新的境地;逐步严格地建立起概率、数学期望等概念及运算法则,从而使这类研究从对随机性游戏的分析发展上升为一门新的数学科学。骰子点数问题主要运用排列组合,容斥原理与多重计数,生成函数、母函数[2-4]等方法研究点数和的计数与应用;赌注分配问题主要运用概率、期望、质点的随机游动法[5-6]等。本文拟结合概率论、不定方程知识将一个街头5骰子游戏数学化为古典概率模型问题,借助Matlab[7]求出骰子点数和的排列数解,揭示其骗人的本质与构造方法。
1、问题提出
有一个掷骰子的游戏,规则如下:先交2元,然后选定方向(顺或逆时针),掷五颗骰子,以五颗骰子的点数和为起点按选定的方向数完点数和,并兑奖,兑奖表见表1。例如:选定顺时针方向,掷五颗骰子,骰子的点数和为12点,那么从12开始往顺时针数12格,就是罚5元。观察游戏的26个数字布局与兑奖表,有25个获奖,只有1个罚钱,参与者赢钱的概率似乎很大。那么参与者赢、输钱的概率及期望收益究竟是多少呢?表1骰子游戏兑奖表
2、问题分析
将选定方向(逆或顺时针),再掷五颗骰子看成一个随机试验;由于每一次试验结果都对应于一个6维向量空间中的点,该试验的样本空间共有2×65=15552个样本点,且每一个样本点出现的机会都是115552,所以这是一个古典概率模型问题。将选定的顺、逆时针方向依次记为ωi=i(i=1,2),投掷五颗骰子出现的点数依次记为ωj,ωk,ωl,ωm,ωn(ωj,ωk,ωl,ωm,ωn∈{}1,2,…,6)。于是,试验的样本空间为:Ω={}(ωi,ωj,ωk,ωl,ωm,ωn)五颗骰子的点数和有5到30共26种情况,将26种情况从小到大依次记为j(j=5,6,…,30)。将获奖等级从50元、35元、10元、6元、5元及罚5元,依次记为第1、2、3、4、5、6等奖。事件Ai,j:表示选第i个方向,五颗骰子的点数和为j点(i=1,2;j=5,6,…,30)事件Bk:获得第k等奖(k=1,2,…,6)参与者要么奖50元、35元、10元、6元、5元及罚5元,不会出现奖15元、40元、30元的情况。奖50元只有2种情况即顺时针投出5点或逆时针投出30点,奖35元只有2种情况即顺时针投出30点或逆时针投出5点,奖10元只有2种情况即顺时针投出6点或19点,奖6元只有1种情况即逆时针投出11点,奖5元的有19种情况即顺时针投出8、9、13、15、20、22、23、24、26、28点或逆时针投出7、10、12、16、17、18、21、25、29点,罚5元的有26种情况即顺时针投出7、10、11、12、14、16、17、18、21、23、25、27、29点或逆时针投出6、8、9、13、14、15、19、20、22、24、26、27、28点。
3、问题解决
3.1 五颗骰子点数和的排列数设ωk为第k颗骰子的点数,则五颗骰子点数和为j的排列数就是下列不定方程解的个数。
3.2 赢、输钱概率及期望收益由各Ai,j的相互独立性及古典概率模型得
4、结论
获奖概率46.313%与罚钱概率53.687%比较接近,但获1~4等奖都是小概率事件,一次试验中几乎不会发生。在先交2元的条件下,玩一次有54%的机会输7元,有40%的机会赢3元。当参与这个游戏次数足够多的时候,每次游戏亏损的平均值接近于2.1元。该游戏的26个数字布局是经过精心设计的,保证了庄家的利益;而其他参与者不可能获利。奉劝大家街头赌博游戏莫参与。后续思考用初等数学的方法推导n颗骰子点数和为k(n≤k≤6n)的排列计数公式。
参考文献:
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基金项目:2019年度职业院校教育类教指委学前教育专业立项课题(2019XQJYKT65)
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期刊名称:长安大学学报(自然科学版)
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