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传染病动力学在黑龙江省新冠疫情防控中的应用

2024-12-03 105 上传者：管理员

摘要：利用微分方程建立了新冠状传染病动力学模型，证明了传染病动力学模型的平衡点的存在性和稳定性。基于黑龙江省卫健委公布的疫情数据，对模型参数做最小二乘估计并将所估参数代入模型，进行了拟合比较。预测了黑龙江省第三次疫情的发展趋势，根据所得理论，提出了有效防控新冠疫情复发的策略。

关键词：
COVID-19
传染病动力学模型
新冠疫情
新冠肺炎
疫苗免疫
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2019年12月至今，新冠肺炎对人民群众的生命财产造成了严重危害。据统计，新冠肺炎对中国餐饮业、文旅业以及工业造成了数千亿损失。一些专家学者从细胞、分子等微观结构了解并分析新冠肺炎传染机理，从生物数学角度出发去探索新冠肺炎的传播规律，以此来研制相关药物和疫苗、制定相应的防控措施，来防控新冠疫情的复发并为其提供重要的理论指导和预测[1–10]。

Wu等人[1]利用SEIR模型预测了武汉等国内地区新冠疫情的峰值情况。Yang等人[2]在文献[1]的基础上预测了人口的流动对新冠疫情的影响。2020年1月23日武汉封城后，陕西师范大学的唐三一教授带领团队利用复杂网络研究并预测了武汉等周边地区在疫情防控下，复工的最佳时间及复工对疫情复发的影响[3]。马知恩等人[4]介绍了经典SIR模型和SEIR模型等传染病模型的应用。唐三一等人[5]根据陕西省卫生健康委员会公布的详实数据信息得到从发病到首诊、入院、确诊中的持续时间，每日潜伏者、感染者、治疗者的具体人数和感染者状态转移的空间分布。李倩等人[6]研究了由确诊病例驱动跟踪隔离的时滞传染病数学模型，通过拟合湖北省的COVID-19疫情的累计报告病例数和累计死亡病例数，得到了模型未知参数的估计值以及基本再生数，并详细地进行了数值研究，揭示了报告滞后对疫情的重要影响。de la Sen和Ibeas[7]利用SIR流行病模型研究了COVID-19动力系统的正性和有界性等动力学性质。Song等人[8–10]估计并预测了印度、亚洲南部以及哈尔滨等地新冠疫情爆发的规模。

到目前为止，国内研究者从动力学角度对黑龙江省的疫情复发防控研究还很少，因此根据黑龙江省实际情况，建立黑龙江省的新冠疫情传播模型，通过对现有数据进行分析，并给出合理的预防措施，为防控黑龙江省新冠疫情复发提供指导和预测。

1、具有免疫作用的省内新冠传染病模型

2021年，全球进入疫苗接种抗新冠疫情时代[11]。因此，本文在文献[7]模型的基础上，引入疫苗接种项，具体改进模型如下

其中S(t)、I(t)、R(t)分别表示易感者、感染者和移出者的数量，µ和ρ∈[0,1]分别为自然死亡率和疾病相关死亡率，v (≥µ)为易感者的出生率，γ表示治愈率，a表示疫苗接种率，β(N)表示传播系数，是一个连续可微的非负函数，β′(N)≤0,[Nβ(N)]′≥0，这里N为种群中人口的总数，N=S+I+R。显然

为模型(1)的正不变集。

1.1 平衡点的存在性

参考文献[12]研究平衡点存在的方法，可得到如下结论。

定理1模型(1)在集合Ω内总存在唯一的无病平衡点

当基本再生数R>1，模型(1)存在唯一的地方病平衡点P∗=(S∗,I∗,R∗)，其中

N∗是方程

在(0,N0)上的唯一解。

证明模型(1)的平衡点满足如下方程

下面分I=0和这两种情况讨论。

当I=0时，由方程(4)可得到无病平衡点P0(S0,0,R0)，其中S0=v/(µ+a),R0=av/((µ+a)µ)。

当时，由方程(4)中的第二个式子，可得S=(γ+µ)/β(N∗) S∗。由方程(4)中的第三个式子可得

将方程(4)中所有等式相加，可得

由S∗的表达式可见，若存在正数N∗，使得β(N∗)>0，则S∗>0,I∗>0,R∗>0。现将S=N-I-R代入β(N)S=γ+µ中，可得

再令

对F(N)求导，可得

一方面，由于β(N)≥0,β′(N)≤0,[N β(N)]′≥0可知，F′(N)≥0，即F (N)为N的非减函数，可得

另一方面，由于N0=v/µ,S0=v/(µ+a)和式(5)可知，当时，有

因此，由介值定理可知，在(0,N0)存在唯一解N∗，使得F(N∗)=0，即当时，模型(1)存在唯一的地方病平衡点P∗，定理得证。

1.2 平衡点的稳定性

定理2当时，模型(1)的无病平衡点P0全局渐近稳定；当时，模型(1)的地方病平衡点P∗局部渐近稳定，其中如式(2)所示。

证明对模型(1)作变量代换N=S+I+R，可得

模型(1)与方程(6)等价，方程(6)的平衡解为

其中

N∗为式(3)的解。

平衡点处的雅克比矩阵为

显然，-(µ+a)和-µ是矩阵的两个负特征根，也是雅克比矩阵的特征根。如果，则有。从而可知的3个特征根均为负特征根，故为局部渐近稳定的。

在正不变集内，当时，可知为方程(6)唯一的平衡点，且局部渐近稳定，现建立如下李雅普诺夫函数

两边沿着方程(6)对时间求导，可得

当β(N)=β,ρ=0,时，则有

且在集合d V (S,I,N)/dt=0中除平衡点外没有方程(6)的其他轨线，故由LaSalle不变原理得到无病平衡点全局渐近稳定。由方程(6)的无病平衡点与模型(1)的无病平衡点P0(S0,0,R0)的稳定性等价，当基本再生数时，

可知模型(1)的无病平衡点P0(S0,0,R0)全局渐近稳定。

方程(6)在平衡点处的雅克比矩阵如下

把的第2行加到第1行，可得

的奇数阶顺序主子式

M11和M21为中对应元素的余子式。当

时，Q1<0,Q3<0。的偶数阶主子式为

所以是负定矩阵，的所有特征根都有负实部。

综上所述，当时，是局部渐近稳定的。由于模型(1)与方程(6)是等价的，故模型(1)的平衡点P∗是局部渐近稳定的，定理得证。

2、模型仿真分析

黑龙江省新冠疫情从2020年到2021年先后共爆发三次，2020年1月，爆发第一波疫情；2020年4月，由于绥芬河口岸的跨境输入引起第二波疫情；2021年初，第三波疫情从望奎县农村地区开始爆发，之后导致哈尔滨冷链病毒输入诱发疫情。

由新型冠状病毒引起的新冠肺炎，具有传染性极强的特点，加之疫情在春节期间发生，人员流动较大，使得国内感染人数快速增长。虽然黑龙江省离湖北省较远，政府依然及时采取了较强的防控措施。例如，在2020年1月25日黑龙江省启动突发公共卫生事件一级响应机制，落实“日报告、零报告”制度。黑龙江省卫健委官网从疫情之初就提供了详细的疫情数据信息，如感染者病例数、移出者病例数以及无症状感染者人数等，为研究黑龙江省新冠疫情提供了可靠的数据。本部分主要基于已建立模型的数值模拟，研究疫苗接种、逐步解封后放宽出行限制等因素对黑龙江省第三次疫情的影响，并与第一次疫情相比较，得出黑龙江省新冠疫情的传播机理和常态化防控策略。

2.1 黑龙江省疫情数据

从黑龙江省卫健委的官网获得原始数据，如新增确诊、累计确诊、累计死亡等病例数以及治愈病例数等信息。详细数据如图1、表1和表2所示(电子版可见色彩)。

图1 黑龙江省第一次和第三次疫情每日数据

从图1看到，每日新增确诊病例数波动上升，第一次疫情(2020年1月31日至2020年2月22日)于2020年2月6日达到峰值，第三次疫情(2021年1月10日到2021年2月5日)于2021年1月20日达到峰值，随后波动下降，每日新增治愈出院病例数逐渐上升。第一次疫情的治愈出院病例总数在2020年2月11日超过每日新增病例数，第三次疫情的治愈出院病例总数在2021年1月27日超过每日新增病例数。

2.2 新冠传染病模型参数估计和拟合

基于黑龙江卫健委发布的第一次疫情(2020年1月31日至2020年2月22日)数据，并假设v=1,a=0.02，利用表1和表2的数据对参数进行估计，以往模型中常取恢复天数的倒数作为恢复系数，但是目前无法获取疫情确切的恢复天数，故在n天的样本中将当天的移出人数减去第二天的移出人数再除以当天的确诊者人数，以此循环n-1次求平均得到参数估计结果为γ=0.86，并根据数据占比估计出µ=0.006 74,ρ=0.039 796。给定未知参数S0的循环范围[1 000,30 000]。利用Matlab求解SSE的最小值，得到参数β的最小二乘估计值β=0.212 5，拟合结果如图2和如图3所示。

另外，基于黑龙江卫健委发布的第三次疫情(2021年1月10日到2021年2月5日)原始数据，本研究主要是基于2021年1月10日的数据累计得到，不再是基于2020年疫情数据的累计。对感染率β进行最小二乘估计，得到未知参数β的最小二乘估计值β=0.261 4，拟合结果如图4和图5所示。

表1 黑龙江省第一波新冠疫情官方数据

表2 黑龙江省第三波新冠疫情官方数据

图2 对第一波疫情数据中感染人数拟合图

图3 对第一波疫情数据中移出人数拟合图

图5 最小二乘法对移出人数拟合图

图4 对第三波疫情数据中感染人数拟合图

通过对比两次疫情数据的拟合图可知，本模型对感染新冠人数拟合较优，而对移出者较差，这是由于在疫情爆发期间，出院患者较少，在治疗期间存在康复期。由于黑龙江省第三波疫情数据较少，故又对黑龙江省第一波疫情的数据进行了拟合，可知基于两次疫情数据得到的参数估计值接近，进一步验证了所估计参数值的有效性。

根据定理1得到的基本再生数公式为，其中v=1,γ=0.86,µ=0.006 74,β=0.261 4，可得到基本再生数随接种率的变化规律，如图6所示。从图6中可以看到，基本再生数随着接种率a的增大而减小。当接种率不变时，感染率β越大，基本再生数也越大，表明将在平均染病周期内感染更多的人。经计算，黑龙江省第三次疫情的基本再生数。根据定理1可知，模型(1)存在一个地方病平衡点(S∗,I∗,R∗)=(3,1,11)，仿真结果见图7，其中图7(b)为170步到200步的仿真放大图。当其他参数改变为γ=0.86,v=1,µ=0.006 74,a=0.4,ρ=0.039 796时，根据定理1和定理2的基本再生数公式计算可得。又根据定理1可知，模型(1)有唯一稳定的无病平衡点(S0,I0,R0)=(2,0,146)，仿真结果见图8，其中图8(b)为70步到100步的仿真放大图。

图6 基本再生数图

图7 地方病平衡解波形图

图8 无病平衡解波形图

由以上仿真结果可知，建立的新冠传染病模型能基本描述新冠的发病过程，刻画新冠的传播趋势。由于影响新冠疫情传播的因素众多，本模型选取的参数具有局限性，故参数估计值的准确度和可信度较低。从黑龙江第三波疫情发展的预测情况来看，预测结果与实际情况大体一致，得到基本再生数大于1，出现局部渐近稳定的地方病平衡点，即新冠病毒会在种群中长期存在。目前省内还是会出现一些零星的省外输入病例，疫情并没有完全结束。为了优化疫情防控，可以在减小省外输入率、增大接种率上着手。从图8可以看出，当增大接种率时，种群中出现了无病平衡点，疫情得到有效控制。另外，还可以提高治愈率，提高医疗水平来增大治愈率，从而控制新冠的传播。

参考文献:

[3]王霞,唐三一,陈勇,等.新型冠状病毒肺炎疫情下武汉及周边地区何时复工?数据驱动的网络模型分析[J].中国科学:数学,2020, 50(7):969-978.

[4]马知恩,周义仓,王稳地,等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社,2004.

[5]唐三一,唐彪,BRAGAZZI N L,等.新型冠状病毒肺炎疫情数据挖掘与离散随机传播动力学模型分析[J].中国科学:数学,2020, 50(8):1071-1086.

[6]李倩,肖燕妮,吴建宏,等. COVID-19疫情时滞模型构建与确诊病例驱动的追踪隔离措施分析[J].应用数学学报,2020, 43(2):238-250.

[11]陈恩富.疫苗时代新型冠状病毒肺炎疫情防控策略[J].预防医学,2021, 33(3):221-225.

基金资助:黑龙江省自然科学基金(LH2022A022; LH2020A015); 哈尔滨理工大学大学生创新项目(202110214271)~~;

文章来源:王晶囡,夏晓峰,张鸿鹏.传染病动力学在黑龙江省新冠疫情防控中的应用[J].工程数学学报,2024,41(06):1087-1097.