1、引言

数学史上,相似三角形很早就被人们所认识.大约公元前1600年,古巴比伦人就已经知道“两个相似直角三角形对应边成比例”这一性质,并利用该定理求解几何问题.公元前6世纪,古希腊的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时就运用了相似三角形的性质[1];我国汉代数学名著《九章算术》“勾股”章中含有一系列勾股测量问题,均需以相似三角形性质来解决.虽然数学史上关于相似三角形应用的文献浩如烟海,但是中学教师所掌握的可直接用于课堂的材料却极为缺乏.现行教科书在相似三角形的性质和判定定理之后大多涉及定理的应用,人教版、华师大版教科书设计了泰勒斯测量金字塔的例题;北师大版教科书设计了一个活动课题(旗杆或路灯高度的测量),并附加了一则关于刘徽与《海岛算经》的历史小故事;浙教版和沪教版教科书都用树高测量问题来体现相似三角形的应用,但并未运用数学史料.

在已有的关于“相似三角形应用”的教学设计中,个别HPM视角下的设计主要运用了古代中国和希腊的数学史素材,并未涉及近代西方数学史文献[2].大多数教学设计虽然都很重视实际应用,但除了泰勒斯测量金字塔等个别例子,很少涉及数学史[3,4,5,6,7].

为此,我们选取了16世纪欧洲具有代表性的三本关于测量的文献——巴托里(C.Bartoli,1503-1572)的《测量方法》[8]、贝里(S.Belli,-1580)的《测量之书》[9]和费奈乌斯(O.Finaeus,1494-1555)的《数学入门》[10]进行考察,试图回答以下问题:16世纪数学家是如何利用有关测量工具进行测量的?测量方法有哪些类型?我们从中能得到什么教学启示?

2、16世纪的测量工具

2.1表

表(拉丁文名baculus,英文名staff)是西方最古老的一种测量工具.如图1和图2,表由一根已知长度的直杆做成,利用日光投影这一自然现象,构造两个相似直角三角形,进而确定所测物体的高度.

图1《测量方法》中的表

图2《测量之书》中的表

2.2平面镜

平面镜(拉丁文名speculum,英文名mirror)本身并非专门的测量仪器,后来逐渐成为借作此用的简单工具[11],如图3所示.人们使用平面镜,是利用了光的反射这一物理特性,通过构造一对相似直角三角形来完成测量的.

图3《数学入门》中的平面镜测高法

图4《测量之术》中的矩尺[12]

2.3矩尺

和平面镜一样,矩尺(拉丁文名norma或gnomon,英文名carpenter’ssquare)也是一种简单测量工具.如图4,矩尺由相互垂直的一长尺、一短尺构成,呈“L”形,尺上带有刻度.有的矩尺上还系有权线,使用时权线自然下垂.有的矩尺没有权线,测量时可以与表搭配使用.

2.4十字杆

十字杆(英文名cross-staff)亦称几何杆(英文名geometriccross)、雅各布杆(Jacob’sstaff,拉丁文名baculusJacobi)或测量杆(拉丁文名baculusmensorius)[11].图5所示的十字杆是由一根长约4尺的直杆AB以及一根与之垂直的滑动横杆CD组成,直杆上标有刻度,其单位长度等于滑动横杆的长度.十字杆既可以测量建筑物的高度,也可以用来测量两物之间的距离.

图5《数学入门》中的十字杆

2.5四分仪

四分仪(英文名quadrant,拉丁文名quadrans)形制多样,是一种十分古老的测量仪器,可以上溯到托勒密(Ptolemy,公元2世纪)的《天文学大成》[12].四分仪上有两种装置,窥衡(sightingrule)和权线(plumbline),测量时这两种装置可独立使用或搭配使用[13].

在窥衡尺的两端附近各立一个完全相同的通光耳,每个通光耳上都钻有两个圆形的通光孔,一大一小,制作时必须保证这两个通光孔的圆心都位于窥衡尺的中心线上.实际测量时,先用两个通光耳上大的通光孔进行粗略观察,然后再用两个小的通光孔进行精确测定.权线末端栓有小锤权,令小锤权自然下垂,受重力作用可以使权线保持竖直.

测量时可以选择仪身不动,转动窥衡测望目标并读取相应数据;也可选择转动仪身,用四分仪的直边对准目标物进行测望,然后权线自然下垂而读取相应数据.因此,根据使用方式,四分仪也分为“定仪”“游仪”两种[13],如图6所示.

图6《数学入门》(1532)中的两种四分仪(左为定仪、右为游仪)

2.6鼓面

鼓面(英文名drumhead)是一种测量角度的简单工具,通过测量角度也进一步可以用来测距、测高.如测量到城堡的距离、测量塔的高度等.美国数学史家史密斯(D.E.Smith,1860-1944)在其《数学史》中提到了这种测量工具.文艺复兴时期接连不断的战争推动了测量技术的发展,鼓面就是在这种背景下诞生的[11].

图7《测量方法》中的鼓面测量方法

图8《测量之书》中的鼓面测高法

3、测量方法

由于测量环境的不同,所需的测量次数也不一样.在我们所考察的三本书中,出现了一次测量、二次测量和四次测量的情形.

3.1一次测量

这种测量是最简单的,当测量环境比较理想时,测量员可以借助平面镜、矩尺、四分仪等构造一组相似三角形来测量所需的高度、深度、距离.下面一一举例.

情境1平面镜测高

如图9,测量员要用平面镜来测量建筑物AB的高度.将平面镜平置于地平面上,其中心位于点C.测量员立于与建筑物底部点B、点C同在一水平线上的点D处,调整点D的位置,使得从点E目视平面镜,恰好能看到建筑物顶部点A在平面镜中心C处所成的像.测出人目至足底的距离ED、人到平面镜的距离CD、建筑物底部到平面镜的距离BC.根据光的反射原理,∠ECD=∠ACB,故△ECD∽△ACB,于是得建筑物的高度AB=ED⋅BCCD.

图9《数学入门》中的平面镜测高

情境2四分仪测远

如图10,测量员要用四分仪测量点B和点E之间的距离,利用窥衡,从点A测望点E,读取DF的数据,利用Rt△ADF∽Rt△BEA,可得BE=AB⋅ADDF.类似地,也可以用四分仪来测山坡的长度(图11).

图10《数学入门》中的四分仪测远

图11用四分仪测山坡的长度

另一种测远的方法如图12所示.测量员用含窥衡和权线的四分仪来测点E和F之间的距离.左手持四分仪,眼睛通过窥衡测望点F,此时权线自然下垂,与BC交于点G,记录BG的长度以及人目距地面高度AE.因∠GAB=∠AFE,故△ABG∽△FEA,于是得ABEF=BGAE,从而得所求距离为EF=AB⋅AEBG.

图12《数学入门》中的四分仪测距

情境3四分仪测高

利用四分仪,根据直角三角形的相似性以及测量地与建筑物的距离,可以测出建筑物的高度,如图13所示.

图13《数学入门》中的四分仪测高

另外,利用四分仪和铅垂线,也可以根据斜三角形的相似性以及山坡的长度来测量山顶上的建筑的高度,如图14所示.

图14《数学入门》中的四分仪测高

情境4由影测高

利用四分仪,根据直角三角形的相似性以及建筑物的影长,也可以测出建筑物的高度,如图15所示.

图15《数学入门》中的以影测高法

当太阳分别在点M,K,H处时,建筑物FG的影长分别是GN,GL,GI,利用△ADE∽△FGN可得ADDE=FGGN,因此建筑物的高度FG=AD⋅GNDE.同理也能得到FG=A1D1⋅GLD1E1或A2B2⋅GIB2E2.

情境5四分仪测深

如图16,测量员用四分仪测量一方井的深度,即图中BG或EF的长度.将四分仪置于方井上的边沿,通过窥衡测望井底点F,窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H,记录BH的长度.由△ABH∽△AGF得ABAG=BHGF,其中GF=BE可以直接测得,AB,BH可从四分仪中读出,故可求得AG,减去AB,即得井深BG.

图16《数学入门》中的四分仪测井深

情境6矩尺测远

如图17,测量员想测量点A和点B之间的距离,所用测量工具为矩尺和表.先将表AC立于点A,与地面垂直,然后将矩尺置于表上,直角顶点与表顶C重合.通过测望,使矩尺一边CD指向点B,此时,矩尺的另一边CE对准地面上的点F,记录AF的长度.因△FAC∽△CAB,故AFAC=ACAB,从而得AB=AC2AF.

图17《数学入门》中的矩尺测距

用矩尺测望比只用眼睛测望准确度高,并且表长AC是已知的,只需记录AF的长度,这种测量方法方便快捷、测量数据少.如果用权线代替表也是可行的,这时表长AC就等于权线竖直下垂时所对地面上的点到矩尺直角顶点的距离,这个数据是需要另外记录的.

3.2二次测量

现实情境中,测量环境可能并没有那么理想.实际上,测量员经常会遇到一些障碍物,如河流、灌木丛、沼泽地等,测量地与建筑物之间的距离无法直接测得.此时一次测量无法满足测量要求,于是人们想到了进行二次测量,先获得测量地与建筑物之间的距离,再进一步通过计算,得到建筑物的实际高度.

情境7四分仪测高

如图18,测量员用四分仪测量远处河对岸的塔楼高度,但是由于河水阻断,无法测得人和塔楼之间的距离.测量员伏身于点G处,测望塔楼顶部一点F,记下DH的刻度值,然后,向后挪动四分仪到点I处,伏身测望塔楼顶部同一点F,记录D′K的刻度值,并记录向后挪动的距离IG.由三角形的相似性,易得ID′IE=D′KEF,GDGE=DHEF,因ID′=GD,由上面两个等式可求得建筑物的高度为EF=DH×D′KDH−D′K⋅IGGD.

图18《数学入门》中的四分仪测高

情境8鼓面测高

如图19,与情境5一样,测量员需要测量远处建筑物的高度,所用测量工具是鼓面,与四分仪相比,鼓面的特点是不仅能测量高度,还可以测量角度.该情境下,建筑物的前方是一块坡地,测量员只能在坡地上测望.此时建筑物底部一点B与测量位置在同一水平面,建筑物的底部一点C在测量位置水平面以下.因此,测量员需先测量地面到建筑物顶部的距离AB,再加上地面到建筑物底部的距离BC,其和为建筑物的高度AC.

图19《测量之书》中的鼓面测高

图19《测量之书》中的鼓面测高下载原图

具体操作如下:先将鼓面置于点D处,伏身测望建筑物顶部一点A,记录此时的仰角∠AEB,然后将鼓面向靠近建筑物的方向挪动至H处,继续伏身测望点A,在鼓面上标记视线AF上的任意一点G,过G作水平线EF的垂线,垂足为点R.在直线EF上取一点E′,使得∠GE′R=∠AEB,此时AE//GE′.测量员需要记录两次测量鼓面移动的距离DH,以及GR,E′F和BC的长度.因△GFE′∽△AFE,△FGR∽△FAB,故得E′FDH=FGFA,FGFA=GRAB,于是有E′FDH=GRAB,从而得AB=DH⋅GRE′F,加BC,即得建筑物高度.

情境9十字杆测距

如图20,测量员想测量河对岸两点之间的距离FG,使用的工具是十字杆.先立于点H处,将十字杆的横杆DC滑动到一个刻度(点E)上,使得人眼在观察目标FG时其视线正好被横杆遮住.然后测量员立于点L处,将横杆向后滑动一个单位长度(至点E′),此时横杆D′C′恰好也能遮住目标FG.于是,根据十字杆的构造原理,可得FG等于两次测量位置之间的距离LH.当然这项工作也可以由两位测量员同时完成,只要标记两个测量员进行测望时所处的位置,然后测量两个位置之间的距离即可.

图20《数学入门》中的十字杆测距

根据十字杆的构造可知,在测量过程中,横杆DC滑动一个刻度的距离刚好等于其本身的长度,即A′E′-AE=DC=D′C′,接下来只要说明LH等于FG即可.根据相似三角形性质可知,A′E′C′D′=LGFG,AECD=HGFG.接着,由第一个等式可得A′E′CD=LGFG=LHFG+HGFG,由此得A′E′CD=LHFG+AECD.进一步移项、化简,可知LHFG=1,即LH=FG.

3.3四次测量

由上文可知,当建筑物坐落于远处平地时,需要进行二次测量.那么,当建筑坐落于远处高地时,则应该进行四次测量,其原理与二次测量相同,是二次测量情境的复杂版本.

情境10四分仪测高

如图21,测量员用四分仪测量远处山上的一个建筑物的高度,受周围地理环境的限制,无法测得人到建筑物的水平距离.第一次测量时,测量员立于点I处测望建筑物底部一点G,此时权线竖直垂下正好过点C;第二次测量时,测量员立于点L处,测望建筑物底部同一点G,此时,权线自然下垂,且与四分仪的一边BC交于点E,记录BE的长度.接着,第三、四次测量,测量员分别立于点N和P处测望建筑物顶上一点F,分别记录权线所在的位置.前两次测量是为了求得建筑物底部到平地的垂直距离,即GH的长度,后两次测量是为求得建筑物顶部到地面的垂直距离,即FH的长度.将两次所求相减,即得到建筑物高度FG.

图21《数学入门》中的四次测量

如图21,矩形ABCD和A1B1C1D1代表四分仪,AC与A1E1为权线所在的位置,因△ABE∽△KHG,△A1B1E1∽△MHG,故GHKH=BEAB,GHMH=B1E1A1B1,从而得到建筑物底部与地面的垂直距离GH=BE⋅B1E1BE−B1E1⋅MKAB.同理,经过第三、四次测量也能得到FH的值,则FG=FH-GH.

4、教学启示

16世纪各种测量术都与相似三角形密切相关,人们根据实际需要,构造一组(情境1-6)、两组(情境7-9)、四组(情境10)相似三角形,根据相似三角形对应边成比例这一性质,可以在建筑、勘探、水利、军事等方面有效解决测量问题.在HPM视角下的“相似三角形应用”教学中,16世纪的测量工具与测量术是理想的教学素材.

(1)教师可以创设测量问题的情境,让学生分组讨论,尝试还原古人的测量方法.一方面,学生可以在这一过程中感受到学习相似三角形知识的必要性;另一方面,学生有机会与古人对话,体验成功的愉悦,树立学习的自信心.

(2)不同地域、不同的文明在同一数学课题上都有其各自的成就与贡献.教师可以利用技术,制作HPM微视频,介绍东西方测量的历史,让学生感悟数学文化的多元性.

(3)一次、二次、四次测量的难度依次递增.首先,教师可以设置一次测量的情境,让学生体会“知远求高、知高求远”的含义;在此基础上,设置一定的障碍,如遇河流、险滩使得“远”不可测,进而需要通过二次测量先求“远”、再测“高”;最后,在二次测量基础上,测量坐落于山上的建筑物,则需要两次先求“远”、再测“高”,即需四次测量.总之,编制习题时,可以根据知识的自然发生过程,注意题目的趣味性,选择合理的难易梯度.

(4)古人在测量的道路上一定不是一帆风顺的,他们克服了种种困难、挫折,发明了诸多精巧的测量工具,使得“极远”“极深”“不知距”变得“可测”.了解这一点,学生既能体会数学的价值,也能明白数学学习需要不畏困难、坚韧不拔等品质,从而达成德育之效.

参考文献：

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[6]于建营.基于核心素养的递进式教学实践研究——以“相似三角形的应用”教学为例[J].中学数学教学参考,2019(8).

[7]姜小红.相似三角形及应用[J].中学数学教学参考,2019(1-2).

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