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关于3-形式沿最大值方向的特征值分布以及相应的特征空间分解
摘要：仿射微分几何中的一类重要问题是分类具有平行3-形式的超曲面.超曲面的Simon3-形式是独立于仿射法化的几何量,是3-形式的无迹部分.运用相对微分几何的基本方程,选取局部强凸仿射超曲面的特殊幺正标架,研究了具有平行Simon3-形式的局部强凸相对球的3-形式沿最大值方向的特征值分布以及相应的特征空间分解.证明了:具有平行Simon3-形式的局部强凸相对球要么为二次超曲面,要么具有平行的3-形式.该结果推广了中心仿射法化情形下的相关工作.
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相对微分几何是关于仿射空间中超曲面的一种理论,包含等积几何和中心仿射几何为其特例.设x:MA是从n维连通定向流形M到n+1维仿射空间A的局部强凸浸入.设{Y,y}是x(M)的相对法化.3-形式C是最重要的几何不变量之一.Simon3-形式C˜定义为3-形式C的无迹部分:
C˜(V)V=C(U)V−nn+2[h(U,V)T+h(U,T)V+h(V,T)U]
其中U,V是M上的向量场,h是由相对法化诱导的黎曼度量,T是Tchebychev向量场.
Simon3-形式C˜与相对法化的选择无关.M的Simon3-形式为0当且仅当M为二次曲面.关于3-形式和Simon3-形式的基本性质及仿射微分几何的基本内容,可参考文献[1,2,3].
许多作者对具有平行3-形式(即满足∇hC=0)的等积仿射超曲面进行了深入研究[4,5,6].本文所指的平行均指对于h的Levi-Civita联络∇h平行.对应于诱导联络等其它联络的平行性,可参考文献[7,8,9].
最近,文献[10,11]分类了具有平行3-形式的局部强凸中心仿射超曲面.文献[12]给出了具有平行Simon3-形式的二维非退化中心仿射曲面的分类.文献[13]给出了具有平行Simon3-形式局部强凸中心仿射超曲面的分类.本文对于相对球,得到以下定理:
定理1设M是关于给定相对法化的局部强凸相对球,即仿射形状算子S=cid,其中c为常数.设∇h是诱导黎曼度量h的Levi-Civita联络.如果M的Simon3-形式是平行的∇hC˜=0,那么M具有平行的3-形式∇hC=0,或者M为二次曲面.
在中心仿射法化的情形下,任何超曲面都是相对球,因此定理1是文献[13]部分结果的推广.本文所使用的方法实际上源于文献[14].
本文约定以下指标的范围:
1≤i,j,k≤n 2≤α,β,γ≤n 2≤a,b,c≤r+1 r+2≤A,B≤n
设h是一个黎曼度量,∇和∇*是无挠仿射联络.如果三元组{∇,h,∇*}满足
dh(v1,v2)=h(∇v1,v2)+h(v1,∇∗v2) (1)
那么{∇,h,∇*}称作共轭联络.对于共轭联络{∇,h,∇*},可以定义
C=12(∇−∇∗)∈Ω1(M,End(TM))
由(1)式可知,(0,3)-型C∧=h˚C是完全对称的,称作{∇,h,∇*}的3-形式.利用黎曼度量h可将同态C与3-形式C∧等同.
以下关于3-形式的引理多次出现在子流形几何中[4,14],因为其具有一般性,所以我们将其总结成共轭联络的一个性质:
引理1[4,14]给定共轭联络{∇,h,∇*}及其诱导的3-形式C∧.对于任意p∈M,SpM表示TpM上关于度量h的单位球.定义函数f:SpM→R为
f(v)=C∧(v,v,v)=h(C(v)v,v) ∀v∈SpM
那么存在TpM的幺正标架场{e1,e2,…,en},使得:
(i)e1∈SpM是f在SpM上达到最大值的点;
(ii){e1,e2,…,en}是算子C(e1)的特征向量,即C(e1)ei=λiei,其中λ1=f(e1)=maxv∈SpMf(v),如果记C(e1)ei=Cj1iej,则
C1ij=Cij1=Cj1i=λiδij (2)
(iii)λ1≥2λα,对于任意的α∈{2,3,…,n},如果λ1=2λα,那么f(eα)=0.
对于给定的局部强凸仿射超曲面M,通过逐点利用引理1,可以定义局部幺正标架场{e1,…,en}.本文将使用这种特殊选择的标架场.
引理2设x(M)是具有给定相对法化的局部强凸相对球.如果x(M)的Simon3-形式C˜是平行的∇hC˜=0,那么
Ckij,l=μ(δklδij+δilδjk+δjlδki) (3)
其中
Ckij=h(C(ei)ej,ek) Ckij,l=h((∇helC)(ei)ej,ek)μ=1n+2∑i=1nTi,i Ti=h(T,ei) Ti,j=h(∇hejT,ei)
因此3-形式C在满足μ=0的M的子集上是平行的.进一步,对于α,β∈{2,…,n}和k∈{1,2,…,n},有
eα(μ)=0 (4)e1(μ)=(2λα−λ1)(λα2−λ1λα+c) (5)
且
(λα−λβ)(2λk−λ1)Ckαβ=0 (6)
证如果M是具有平行Simon3-形式∇hC˜=0的相对球,那么根据文献[15]的性质2.3,可知∇hT=λid.因此
Ckij,l=nn+2(Tk,lδij+Ti,lδjk+Tj,lδki)=nλn+2(δklδij+δilδjk+δjlδki)
由μ的定义,很显然(3)式成立.
取(3)式的协变导数,可得
Ckij,lp=ep(μ)(δklδij+δilδjk+δjlδki) (7)
在(7)式中交换l和p,并作差,得到
Ckij,lp−Ckij,pl=ep(μ)(δklδij+δilδjk+δjlδki)−el(μ)(δkpδij+δipδjk+δjpδki) (8)
但是Ricci恒等式蕴含着
Ckij,lp−Ckij,pl=CktjRtilp+CkitRtjlp−CtijRktlp (9)
其中Rjikl是仿射度量h的曲率张量Rh在适当标架场下的系数,即Rh(ek,el)ei=Rjiklej.那么从(8)和(9)式,我们有
ep(μ)(δklδij+δilδjk+δjlδki)−el(μ)(δkpδij+δipδjk+δjpδki)=CktjRtilp+CkitRtjlp−CtijRktlp (10)
x(M)具有可积性条件,见文献[15]中的(1.46)式,该等式在适当标架场下可表示为
Rjikl=−c(δkiδjl−δliδjk)+(CtkiCjtl−CtliCjtk) (11)
将(11)式代入(10)式,有
ep(μ)(δklδij+δilδjk+δjlδki)−el(μ)(δkpδij+δipδjk+δjpδki)=−c(Ckpjδli−Ckljδpi+Ckipδlj−Ckilδpj−Clijδkp+Cpijδkl)+Cktj(CsliCtsp−CspiCtsl)+Ckit(CsljCtsp−CspjCtsl)−Ctij(CsltCksp−CsptCksl) (12)
在(12)式中选择i=j=p=1,l=α≥2,且运用(2)式,有
e1(μ)δkα−3eα(μ)δk1=c(2λα−λ1)δkα+(2λ3α−3λ1λ2α+λ21λα)δkα (13)
在(13)式中令k=1,得到(4)式.在(13)式中令k=l=α≥2,可得(5)式.最后,在(12)式中令i=j=1,l=α≥2,p=β≥2,α≠β,根据(4)式,可知(6)式成立.
引理3在引理2的假设下,有下面的结论:
(i)对于任意α∈{2,…,n},如果λ2α-λ1λα+c≠0,则
h(C(U)V,W)=0 ∀U,V,W∈V(λα) (14)
其中V(λα)是C(e1)关于特征值λα的特征空间;
(ii)对于任意α,β∈{2,…,n},如果λα≠λβ且λ1-2λα≠0,则
h(C(U)V,W)=0 ∀U,V∈V(λα),∀W∈V(λβ) (15)
(iii)如果μ不是常数,则
h(C(U)V,W)=0 ∀U,V,W∈(V(λ1))⊥ (16)
证(i)在(12)式中选择p=k=1,i=j=l=α∈{2,…,n},可得
Cααα(λ2α−λ1λα+c)=0
对于某个α∈{2,…,n},如果λ2α-λ1λα+c≠0,则
f(eα)=h(C(eα)eα,eα)=Cααα=0
由此可知
h(C(U)U,U)=0 ∀U∈V(λα) (17)
对∀U,V∈V(λα),易知
h(C(U+V)(U+V),U+V)=h(C(U)U,U)+3h(C(U)U,V)+3h(C(U)V,V)+h(C(V)V,V) (18)
由(17)和(18)式,可得
h(C(U)U,V)+h(C(U)V,V)=0 (19)
在(19)式中将V变成-V,可知
h(C(U)U,−V)+h(C(U)(−V),−V)=−h(C(U)U,V)+h(C(U)V,V)=0 (20)
将(19)和(20)式作和,得到
h(C(U)V,V)=0 ∀U,V∈V(λα) (21)
利用(17),(21)式,且考虑h(C(U+V+W)(U+V+W),U+V+W)的展开式,其中∀U,V,W∈V(λα),我们最终可得(14)式.
(ii)对于任意α,β∈{2,…,n},如果λ1-2λα≠0且λα≠λβ,那么(6)式蕴含(17)式.
(iii)如果μ不是常数,根据(5)式有
(λ1−2λα)(λ2α−λ1λα+c)≠0 α∈{2,⋯,n}
那么(6)式蕴含
h(C(eα)eβ,eγ)=Cγαβ=0 (22)
其中α,β,γ∈{2,…,n},且λα≠λβ.结合(14),(15)以及(22)式,得知(16)式成立.
定理1的证明在(3)式中选择合适的指标,我们有
C111,k=Ck11,1=3μδ1k Ck11,α=Cα11,k=μδαkC1αα,k=Ckαα,1=μδ1k Cααα,k=Ckαα,α=3μδαk (23)
其中α∈{2,…,n},且k∈{1,2,…,n}.根据(23)式和引理1,可得
3μδ1k=C111,k=h(∇hek(C(e1)e1),e1)−2h(C(e1)e1,∇heke1)=h(∇hek(λ1e1),e1)−2h(λ1e1,∇heke1)=ek(λ1) (24)
类似地计算可得
μδkα=Cα11,k=(λ1−2λα)h(∇heke1,eα) (25)μδ1k=C1αα,k=ek(λα)−∑β=2nCβααh(eβ,∇heke1) (26)3μδαk=Ckαα,α=eαh(C(eα)eα,ek)−h(C(eα)eα,∇heαek)−2h(C(eα)ek,∇heαeα) (27)
情形1μ为常数.
如果μ为常数,那么由(5)式知,λα是下列关于y的方程的解:
(2y−λ1)(y2−λ1y+c)=0 (28)
方程(28)至多有3个实数解,且
y1=λ12 y2=12(λ1±λ21−4c−−−−−−√)
但引理1说明λ1≥2λα,α∈{2,…,n},从而
λ2=⋯=λr+1=λ12 λr+2=⋯=λn=12(λ1−λ21−4c−−−−−−√) (29)
已经假设dimV(λ2)=r,则引理3表明
Cbaa=h(C(ea)ea,eb)=0 a,b∈{2,⋯,r+1} (30)
对A∈{r+2,…,n},a∈{2,…,r+1},从(6)式可知
0=(λa−λA)(2λA−λ1)CAaA (31)
由于(λa-λA)(2λA-λ1)≠0,可得
CaAA=CAaA=0 (32)
对于A∈{r+2,…,n},因为2λA-λ1≠0,从而在(25)式中选择k=1,得到
h(eA,∇he1e1)=0 (33)
由(30),(32)和(33)式,我们得到
∑β=2nCβααh(eβ,∇he1e1)=0 α∈{2,⋯,n} (34)
因此,在μ为常数的情形下,由(24),(26)和(34)式得到
e1(λ1)=3μ e1(λα)=μ α∈{2,⋯,n} (35)
如果λ1=2λ2,那么(35)式表明
3μ=e1(λ1)=2e1(λ2)=2μ
且μ=0.
如果0=λ2n-λ1λn+c,那么(35)式表明
0=2λne1(λn)−e1(λ1)λn−λ1e1(λn)=−μ(λ1+λn) (36)
再次利用(35)式,取(36)式沿e1的导数,得到
0=−4μ2
从而μ=0.在这种情形下,由(3)式可知∇hC=0.
情形2μ不是常数且没有零点.
在此情形下,(5)式表明
(λα−2λα)(λ2α−λ1λα+c)≠0 α∈{2,⋯,n} (37)
作为(37)和(25)式的推论,我们有
h(∇heke1,eα)=μλ1−2λαδkα k∈{1,⋯,n},α∈{2,⋯,n}
因此
∇he1e1=0 ∇heαe1=μλ1−2λαeα α∈{2,⋯,n} (38)
由引理3,有
C(eα)eα=λαe1 α∈{2,⋯,n} (39)
在(27)式中选择k=α∈{2,…,n},利用(38)和(39)式,可得
3μ=eαh(C(eα)eα,eα)−3h(C(eα)eα,∇heαeα)=3λαμλ1−2λα (40)
则在点μ≠0处,有
λ1=3λα α∈{2,⋯,n} (41)
由引理1、引理3以及(41)式,得
Tk=1n∑i=1nCiik=n+23nλ1δ1k k∈{1,⋯,n} (42)
且
h(C(ei)ej,ek)=13λ1(δ1kδij+δ1iδjk+δ1jδki) i,j,k∈{1,⋯,n} (43)
由(42)和(43)式,我们有
h(C(ei)ej,ek)=nn+2(Tkδij+Tiδjk+Tjδki) i,j,k∈{1,⋯,n}
这等价于C˜=0.
参考文献：
[6]李兴校.对称等仿射球和极小对称Lagrange子流形的对应[J].中国科学(数学),2014,44(1):13-36.
李明,龚妍廿.具有平行Simon3-形式的局部强凸相对球[J].西南师范大学学报(自然科学版),2020,45(06):33-38.
基金:国家自然科学基金项目(11871126).
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