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二层规划中共形映射蚁群算法的可行性分析

2020-12-02 246 上传者：管理员

摘要：二层规划问题由于其结构非凸、非处处可微使得求解难度较大。共形映射是用几何来研究解析函数性质的方法，依据共形映射的保角性、保域性以及黎曼定理，结合解空间的独特划分方法的改良的蚁群算法，为求解二层规划提供一种新思路，并用实例验证算法的可行性。

关键词：
二层规划
共形映射
函数性质
复变函数
蚁群算法
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优化问题具有非常重要的实际应用价值，备受研究者们关注。二层规划[1,2]因其上、下层决策变量互相影响制约、结构非凸、非处处可微等几何特性使其求解难度较大。越来越多的人们把智能优化算法应用于二层规划寻优问题中，从而产生了很多新型算法[3,4,5,6,7,8,9,10]。

在诸多智能优化算法中，蚁群算法[11,12](AntColonyAlgorithm）因其具有自组织和正反馈等特点，在解决优化问题时备受研究者青睐。

共形映射[13]，是复变函数中利用几何来研究函数性质的重要理论内容。一个复变函数可以解释为从z平面到ω平面的一个变换，这种变换在导数不为零的点处具有一种保角的特性。依据共形映射的保角性、保域性以及黎曼定理说明将这种方法引入到二层规划的求解是可行的。

1、二层规划

考虑如下形式的二层规划问题

2、蚁群算法

2.1一元连续函数优化改良的蚁群算法

解空间的划分方式上体现了最短路径的思想，这也正是蚁群算法的改良之处。具体做法如下：设自变量有小数点后h位的精度要求，自变量x用h+2列表示，中间h列由十进制数0-9构成每列，2代表第一列和最后一列分别用0表示，中间的h列依次表示x的十分位、百分位、……，其中l-1与l列（l∈[2,h+2]）各个数字之间有连接通道。蚂蚁m走过的路径利用式（2）解码得到相应的自变量x(m)。

图1解码过程

每只蚂蚁第一步均为T(m,1)。（蚂蚁m第l步所在的位置用T(m,l)表示）。

例如h=5，如图1所示的这条路径为{55,4,2,6,4}，根据式（2）解码为x=0.54264。

算法流程：

(1)T(m,l-1)=a为蚂蚁m当前所在位置，根据下式选择下一结点。其中τlab表示残留信息素，它表示l-1列中的a与l列中的b之间完成一次循环之后信息素的残留量。用较小常数值τ0为信息素初始化所有的τlab。μ是使用这个公式重新生成的随机数。P0为随机概率通常取值为0.8。

(2）结点被选中的概率利用下式计算求得，之后要选择哪个结点由遗传算法中的转盘式法则确定。

p(a,b)表示从当前位置a转移到下一列位置b的概率[13]。

(3）蚂蚁经过路径上的残留信息素按下式调整，残留信息素越大后面的蚂蚁选择该路径的概率就越大。极优路径确定之后，为了不陷入局部最优困境，需要更新局部残留信息素，取定[0,1]区间上的一个常数ρ表示路径上残留信息素减弱的速度。

(4）结束上述步骤，让所有蚂蚁利用式（2）对其选择的路径解码，并把每只蚂蚁对应的函数值计算出来，经过比较确定函数值最小的那只，定义为最优蚂蚁。

(5）对这只最优蚂蚁所走途径上的信息素做如下更新：

其中i=T(m)min,l-1,j=T(m)min,l,l∈[]2,h+2，α是一个[0,1]上的常数，fbest为最优蚂蚁所对应的函数值。

上述步骤需重复进行，在指定的循环次数或得到的解无改进时终止算法。

2.2多元连续函数优化改良的蚁群算法

多个分量组成的自变量的优化问题，解空间的处理可按如下方法进行：按分量精度要求顺次排开分量间插入一个0层。解码时仅需对各个分量对应的层分别解码即可。

3、共形映射

3.1共形映射概念

(1）解析变换的特性——保域性[14]

定理4（保域定理）：设ω=f(z)在区域D内解析且不恒为常数，则D的象G=f(D)也是一个区域。

(2）解析变换的特性——保角性（导数的几何意义）

定理6：设ω=f(z)在区域D内解析，z0为D内的一点，且f'(z0)≠0，则映射ω=f(z)在z0具有以下两个性质：保角性，伸缩率不变性[14,15]。

(3）共形映射的定义

设函数ω=f(z)在具有保角性与伸缩率不变性的z0是一对一的，则称ω=f(z)在z0是共形的[17]。

3.2共形映射一般定理

（1）黎曼存在定理

定理9（黎曼存在与唯一性定理）：不管两个单连通区域D与G如何，也不管这两域中的两个点z0（在D中）与ω0（在G中）以及一个实数α0如何给定，总有一个把域D一一映射成域G的共形映射ω=f(z)存在，使得

并且这样的共形映射是唯一的。

证明略。

定理说明：把一个连通域D一一对应地、共形映射成另一个单连通域G的映射有无穷多个。只要满足黎曼定理的条件，即可保证映射函数ω=f(z)的唯一性[20]。

(2）边界对应定理[14]

黎曼定理局限于区域内部间的共形映射，未涉及边界，应用边界对应定理得以弥补。

定理10（边界对应定理）：设单连通区域D与G的边界分别为围线C与Γ；ω=f(z)将D共行映射成G，则f(z)可以扩张成F(z)，使在D内F(z)=f(z)，在-D=D+C上F(z)连续，并将C双方单值且双方连续地变成Γ。

根据上述定理可知，不管两个单连通域如何，域中的点及实数如何给定，两个单连通域之间一一对应的共形映射一定是存在且唯一。

4、组合算法设计

Step1：依据标准解确定解空间，利用归一法把问题归结到[0,1]区间。

Step2：利用二元改进蚁群算法程序，计算下层最优设计变量。

Step3：利用一元改进蚁群算法程序，将确定的下层最优设计变量反馈到上层。如此循环即可对二层规划问题进行全局寻优。

5、示例分析

考虑如下二层规划：

解：二层规划的约束区域横向拉伸4倍，纵向拉伸2倍即可变换为[0,1]的方形域，利用程序求得结果如图2所示，经变换之后得：

如果考虑端点

图2示例运行结果

6、小结

采用共形映射的方法处理约束域使得变换之后的函数形式简单，便于后期计算。由于共形映射的理论仅是建立在二维空间上，所以对于二层规划来说只能解决上、下层只有两个变量的情况。随着共形映射理论深入发展，相信可以更广泛应用于二层规划问题。

参考文献：

[1]王广民,万仲平,王先甲,二(双)层规划综述[J].数学进展,2007,36(5):513-526.

[2]翁竸.二层线性规划问题[J].湖北汽车工业学院学报,2008,22(3):49-51.

[3]陈冠宇,孙鹏,廖梦琛,等.基于全局更新规则蚁群优化的决策实体配置问题求解方法[J].计算机应用究,2019(10):1-9.

[4]王广民,万仲平,王先甲.二(双)层规划综述[J].数学进展,2007,36(5):514-523.

[5]赵礼阳,霍永亮.求二层线性规划的最优解的极点方法[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2015,32(11):89-92.

[6]余谦,文晓艳.求解二层线性规划问题的混合粒子群算法[J].系统工程,2008,26(1):86-90.

[7]范宏,陈斯,左路浩,等.基于二层规划的交直流混合输电网最优潮流计算[J].电力建设,2016,37(12):89-95.

[8]唐永红,李旻,姜振超,等.基于二层规划的电力系统无功优化混合算法研究[J].电网与清洁能源,2017,33(2):37-43.

[9]程林鹏,林丹.求解二层规划问题的萤火虫智能群优化算法[J].天津理工大学学报,2017,33(2):44-47.

[10]张涛,陈忠,吕一兵.求解二层线性规划问题的交互式人工蜂群算法[J].长江大学学报自然科学版:理工(上旬),2013(1):1-3.

[11]乔东平,裴杰,肖艳秋,等.蚁群算法及其应用综述[J].软件工程,2017,16(12):217-220.

[12]陈少杰,麻莉娜.蚁群算法基本原理及综述[J].科技创新与应用,2016(31):41.

[13]陈烨.用于连续函数优化的蚁群算法[J].四川大学学报,2004,36(6):118-120.

[14]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[15]曾山.光调制器中的共面波导电极结构分析[D].电子科技大学,2003.

[16]黄硕.单螺杆挤出机区域变换算法的研究[D].北京化工大学,2017.

[17]卢飞.带形区域上的边界Schwarz引理[D].四川师范大学,2017.

[18]李雅湘.关于John域与一致域性质的研究[D].湖南师范大学,2013.

[19]齐洪敏.含多集中质量弹性板基波频率解析及试验模态分析[D].北京交通大学,2008.

[20]王福谦.带有直缝隙的铁磁质板对均匀磁场的影响[J].电子质量,2011(6):67-69..

冯力静,安树彪.基于共形映射的蚁群算法在二层规划中可行性分析[J].轻工科技,2020,36(12):30-32.

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期刊名称：数学理论与应用

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期刊详情

主管单位：中南大学

主办单位：湖南省数学学会

出版地方：湖南

专业分类：科学

国际刊号：1006-8074

国内刊号：43-1334/O1

邮发代号：42-187

创刊时间：1981年

发行周期：季刊

期刊开本：16开

见刊时间：4-6个月

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