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利用GeoGebra软件分析椭圆规画图的原理
摘要：本文以“椭圆规”为载体，利用GeoGebra软件演示了椭圆规的画图过程，并运用数学知识对椭圆规画图的原理进行探究，丰富了教学手段，拓展了学生学习视角。
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一、椭圆规及数学建模
椭圆与圆很相似。就像把画圆的工具称作圆规一样，画椭圆的工具称作椭圆规。
椭圆规的构造：由有十字形滑槽的底板和旋杆组成(如图1)。在十字形滑槽上各装有一个活动滑标。滑标下面有一根旋杆。此旋杆与纵横两个滑标连成一体。移动滑标，其下面的旋杆能作360°旋动，画出符合椭圆方程的椭圆。
数学建模：以十字形的滑槽为x轴、y轴建立直角坐标系，x、y轴上的滑标分别设为点A、点B，旋杆上另有一点P(如图2)。当A、B滑动时，点P的轨迹一定是椭圆吗？
二、基于GeoGebra的探究
本探究采用GeoGebra的“工具方式”构造。
(一)构造说明
1.先构造一个圆c，任取c上一点Q，过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、A。当Q在圆c上运动时，直线AB(相当于椭圆规旋杆)可作360°的旋转。
2.借助位似工具确定直线AB上的点P。
3.借助滑动条工具引入参数t。当t取不同值时，点P为直线上相应点。
(二)构造步骤
步骤3：利用步骤2的方法，构造过点Q关于x轴的垂线，垂足为B。
(三)探究结论
当t取不同值时，点P的轨迹也不尽相同。
当t∈(-∞,0)∪(0,1/2)∪(1/2,1)∪(1,+∞)时，P的轨迹为椭圆(如图3、4、5);
当t=0或t=1时，P的轨迹为线段；
当t=1/2时，P的轨迹为圆。
三、椭圆规的数学原理
在图2中，设PA=a,PB=b，∠ABO=θ，点P的坐标为(x,y)。
1.点P在AB的延长线上时，则
即x2/a2+y2/b2=1。
又因为PA=a>PB=b，所以点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆。
2.点P在线段AB上时，
(1)点P在AB之间(不包括端点)，(1)式成立，即x2/a2+y2/b2=1。
当a>b时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆；
当a=b时，点P的轨迹为半径r=a的圆；
当a<b时，点P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆。
(2)点P与B点(或A点)重合，此时，点P的轨迹为x轴(或y轴)上的一条线段。
3.点P在BA的延长线上，(1)式成立，即x2/a2+y2/b2=1。
又因为PB=b>PA=a，所以点P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆。
综上所述，用椭圆规作图，根据滑标P的位置不同，可以得到椭圆、线段和圆。
四、结束语
在解析几何中，尤其是点的轨迹问题中，运用GeoGebra软件创设运动对象轨迹的情境来观察，可为猜想、探索和证明提供帮助，再进行数理化论证，就能使学生对所得的结论易于接受和掌握，丰富教学手段，拓展学生学习视角。
黄武,田润丽.基于GeoGebra的椭圆规数学原理探究[J].科学咨询(科技·管理),2019(12):140
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