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试论序列映射与极限映射之间关于几乎周期性和逐点周期跟踪性的关系
摘要：在强一致收敛条件下研究了序列映射与极限映射之间关于几乎周期性和逐点周期跟踪性的关系,所得结果对强一致收敛下几乎周期点和逐点周期跟踪性理论的发展有一定的促进作用．
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一致收敛是拓扑动力系统中的重要概念．众所周知，只有少数序列函数的性质在一致收敛条件可以被遗传到极限函数，例如连续性、黎曼积分、不动点等；很多动力学性质在一致收敛的情况下并不能被遗传到极限函数，例如拓扑传递[1]、拓扑混合[2]、初值敏感性[3]等．为了研究序列函数和极限函数之间的动力学关系，文献[4]给出比一致收敛更强的条件，即强一致收敛，从此很多学者在强一致收敛条件下开始研究序列函数和极限函数之间的动力学性质，得到了丰硕的成果[5,6,7,8,9,10,11,12,13,14]．例如文献[5]证明了在强一致收敛下度量G-空间中，若序列函数是拓扑混合，则极限函数也是拓扑混合的；文献[6]给出序列函数是渐进周期的，在强一致收敛下，其极限函数也是渐进周期的；文献[7]证明了在强一致收敛下是W(f）的子集；文献[8]证明了在强一致收敛下是AP(f）的子集．
本文在文献[8]的基础上，继续研究几乎周期点，得到如下结果：（1）设序列映射{fn}强一致收敛于等度连续映射f且点列{xk}是每个映射fn的几乎周期点．若，则x是f的几乎周期点．（2）若序列映射{fn}强一致收敛于等度连续映射f，则limsupAP(fn）AP(f），从而改进和推广了文献[8]的结论．另外本文还研究了强一致收敛下跟踪性的动力学性质，得到：若序列映射{fn}强一致收敛于f且fn具有Fine逐点周期跟踪性，则f具有逐点周期跟踪性．这些结果对强一致收敛下几乎周期点和逐点周期跟踪性理论的发展有一定的促进作用．
1、基本概念
定义1设（X,d）是度量空间，对任意的n∈N+,fn:X→X连续，f:X→X连续．称序列映射{fn}在X上强一致收敛于f，如果
d(fnm(x),fm(x））<ε．
记作
定义2设（X,d）是度量空间，f:X→X连续，x∈X．若对任意包含x的开集U，存在正整数m>0，对任意的正整数k>0，⁆r∈（k,k+m]使fr(x）∈U，则称x是f的几乎周期点．f的几乎周期点集用AP(f）表示．
定义3设（X,d）是度量空间，f:X→X连续，点x∈X．若存在m>0使fm(x)=x，则称x为f的周期点．f的周期点集用P(f）表示．
定义4设（X,d）是度量空间，f:X→X连续．若对任意的ε>0，存在δ>0，当d(x,y）<δ时，∀m≥0，有
d(fm(x),fm(y））<ε，
则称f是等度连续．
定义5设（X,d）是度量空间，f:X→X连续，δ>0，{xi}i≥0是X中的序列．若对任意的i≥0，有d(f(xi),xi+1）<δ，且存在n>0使得xkn+j=xj,0≤k,0≤j<n，则称{xi}i≥0是X的δ-周期伪轨．
定义6设（X,d）是度量空间，f:X→X连续，ε>0,y∈X，{xi}i≥0是X中的序列．若对任意的i≥0，有d(fi(y),xi）<ε，则称yε-跟踪{xi}i≥0.
定义7设（X,d）是度量空间，f:X→X连续．若对任意的ε>0，存在δ>0，使得当{xi}i≥0是X中f的δ-周期伪轨时，存在y∈P(f），存在n∈N,yε-跟踪{xi}∞i=n，则称f具有逐点周期跟踪性．
定义8设（X,d）是度量空间，f:X→X连续．若对任意的ε>0，使得当{xi}i≥0是f的ε-周期伪轨{xi}i≥0，存在y∈P(f），存在n∈N,yε-跟踪{xi}∞i=n，则称f具有Fine逐点周期跟踪性．
2、主要结果
引理1[8]设（X,d）是度量空间，对任意的n∈N+,fn:X→X连续，f:X→X连续，序列映射{fn}强一致收敛于f,x∈X．若x是每个映射fn的几乎周期点，则x是f的几乎周期点．
定理1设（X,d）是度量空间，对任意的n∈N+,fn:X→X连续，f:X→X等度连续，序列映射{fn}强一致收敛于f．若点列{xk}是每个映射fn的几乎周期点且，则x是f的几乎周期点．
证明由f的等度连续性知，∀ε>0，0<δ<ε/3，当d(z1,z2）<δ时，∀l≥0，有
由知，对上面δ>0，存在正整数m>0使d(xm,x）<δ．由（1）式知，l≥0，有
由引理1可知，xm是f的几乎周期点，从而对，存在正整数N>0，对任意的整数q≥0，，使得
由（2)—(3）式知
因此x是f的几乎周期点．
定理2设（X,d）是度量空间，对任意的n∈N+,fn:X→X连续，f:X→X等度连续．若序列映射{fn}强一致收敛于f，则limsupAP(fn）⊂AP(f).
设z∈limsupAP(fn），则存在m>N1，使
取y∈AP(fm）∩B(z，δ）．由y∈AP(fm）知，对，存在正整数N2>0，对任意的整数q≥0，r∈（q,q+N2]，使得
由y∈B(z，δ）和（4）式，
由（5)—(7）式知
故z∈AP(f），则
注1下面举例说明即使满足定理2的条件，也推不出limsupAP(fn)=AP(f).
例设I=[0,1]，对n∈N+，定义fn:X→X,
定义f:X→X,
f(x)=x,x∈[0,1].
依此类推，若，其中0≤i≤n-1，则存在m=m(n,x）∈N+，当k≥m时，有
fnk(x)=0.
定理3设（X,d）是度量空间，对任意的n∈N+,fn:X→X连续，f:X→X连续，序列映射{fn}强一致收敛于f．若fn具有Fine逐点周期跟踪性，则f具有逐点周期跟踪性．
证明∀ε>0，取0<δ<ε/3．设{xi}i≥0是f的δ-周期伪轨，则∀i≥0，有
由知，对上面δ>0，存在正整数N1，当n>N1时，l≥0，y∈X，有
取m>N1并固定m，由（10）式知，当i≥0时，有
由（9）和（11）式，当i≥0时，有
由fm具有Fine逐点周期跟踪性知，，存在n∈N，当i≥n时，有
由（10）式知，当i≥n时，有
d(fmi(x),fi(x））<δ．
因此，当i≥n时，有
d(fi(x),xi)<d(fi(x),fmi(x))+d(fmi(x),xi）<ε．
下面证明x∈P(f）．由x∈P(fm）知，存在k>0使得fmk(x)=x．由（10）式知，
d(fmk(x),fk(x））<δ．
故
d(fk(x),x)<(fk(x),fmk(x))+(fmk(x),x）<ε．
由ε任意性，fk(x)=x，故x∈P(f），因此f具有逐点周期跟踪性．
3、总结
本文在强一致收敛下，研究了序列映射与极限映射关于逐点周期跟踪性的关系，得到若fn具有Fine逐点周期跟踪性，则f具有逐点周期跟踪性；另外还研究了序列映射与极限映射在几乎周期性方面的关系，笔者通过证明得到如下结果：
(1）点列{xk}是每个映射fn的几乎周期点且，则x是f的几乎周期点；
参考文献：
[2]曾凡平,严可颂,刘新和.强一致收敛与动力性质[J].广西大学学报(自然科学版),2008,33(3):305-309.
[3]王良平.强一致收敛下的初值敏感性与等度连续性[J].浙江大学学报(理学版),2012,39(3):270-272.
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[6]邓晓霞,金渝光.强一致收敛下的保持性和混沌性[J].西南师范大学学报(自然科学版),2014,39(2):31-34.
[7]王良平.一致收敛下极限系统回复性的研究[J].广西师范学院学报(自然科学版),2010,27(4):12-16.
[8]秦斌,严可颂,徐雪群.一致收敛下极限系统的传递性研究[J].广西师范学院学报(自然科学版),2009,26(3):10-14.
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[10]杨忠选,尹建东.映射列一致收敛与敏感依赖性[J].南昌大学学报(工科版),2013,35(4):385-391.
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冀占江,张更容.强一致收敛下几乎周期点和逐点周期跟踪性的动力学性质[J].东北师大学报(自然科学版),2020,52(02):30-34.
基金:国家自然科学基金资助项目(11461002);湖南省自然科学基金资助项目(2018JJ2074);广西自然科学基金资助项目(2018JJB170034);广西高校中青年教师科研基础能力提升项目(2019KY0681).
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