初等数论教学中Lingo软件的应用探究

2020-06-28 178 上传者：管理员

摘要：“初等数论”是一门传统的数学基础理论课程，主要研究整数的性质，但也涉及不少计算的内容。在该课程中考虑如何借助计算机进行辅助计算将有利于提高学生的计算和应用能力。Lingo软件在初等数论的辅助计算上有一些不错的表现，因此,把该软件的使用融入教学将大有裨益。

关键词：
Lingo软件
初等数论
基础理论课程
数论
计算
辅助计算
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1、引言

“初等数论”是大学数学专业的一门重要课程。它主要研究整数及其性质，其中不少内容涉及计算，例如与带余数除法相关的计算问题，不定方程求解问题等，虽然有相应的理论方法，但当数据比较大时，笔算很困难。因此借助计算机快速运算是很有必要的。笔者偶然间发现可以用规划软件Lingo来计算一些初等数论问题（这方面鲜有文献提及），使用起来虽没有Matlab（一款在教学和科研中广泛应用的软件）那么功能强大，但却也有自己的优势。首先，Lingo软件相比Matlab来说存储空间很小，Lingo11.0版本仅有40M左右，而Matlab即便较低版本都要10G以上。如果在事先已装好Matlab的专用机房授课还好，但“初等数论”常被认为是一门基础理论课程，一般是不安排在专业机房上课的，而普通多媒体教室的电脑大都没有事先安装Matlab这样专业性的软件，临时安装非常麻烦。而安装Lingo简便快速。其次，用Lingo求解初等数论问题，语句简单明了，易学易懂。

下文列举笔者在“初等数论”授课过程中利用Lingo求解的几个例子。其中涉及Lingo语法的相关内容可参考文献[1],涉及初等数论方面的知识可参考文献[2,3]。

Lingo在带余数除法中的应用：

下面这个定理常被称为带余数除法，它是“初等数论”的一个基本结论，应用广泛，例如可用于求最大公因数和最小公倍数以及求二元一次不定方程的整数解。

定理1.设b是一个非零整数，则任意一个整数a可唯一表示为a=bq+r,其中0≤r<|b|。

上述定理中，q称为a除以b的商（或不完全商），r称为a除以b的余数。

例题1.求123456789除以2019的商和余数。

解：在lingo中输入以下内容：

a=123456789;b=2019;

min=r;a=b*q+r;

@gin(q);@gin(r);!表示q和r是整数;

点运行后可迅速得运行结果:

r=996,q=61147

定理2.设b是一个非零整数，则任意一个整数a可表示为

a=bq+r,其中-|b/2|≤r≤|b/2|。

定理2从某种意义上讲是改进的带余数除法，例如使用它的辗转相除法与使用定理1的辗转相除法相比在相除次数上会降低，从而提升了计算速度。

例题2.已知9182736450=-2019q+r,其中-|2019/2|≤r≤|2019/2|，求整数q和r。

解：在lingo中输入以下内容：

@gin(q);@gin(r);!表示q和r是整数;

@free(q);@free(r);!表示q和r可以取得负数;

运行结果:r=-609,q=-4548161。

注1：因Lingo默认变量是非负的，在上述代码中的@free函数用于取消此默认限制。

用Lingo求解多元一次不定方程：

定理3.整系数二元一次不定方程ax+by=n有整数解的充要条件是(a,b)整除n,其中(a,b)表示a和b的最大公因数。[3]

定理4.若整系数二元一次不定方程ax+by=n有整数解(x0,y0)，则它的一切整数解(x,y)可表示成(x,y)=(x0+b0t,y0-a0t),这里t为任意整数，a0=a/(a,b),b0=b/(a,b)。

例题3.求解2019x+6y=1234567890这个不定方程的一切整数解。

解：因(2019,6)=3,而3|1234567890，所以不定方程有整数解。

在lingo中输入以下内容：

@gin(x);@gin(y);!表示x,y是整数;

@free(x);@free(y);!取消非负限制;

运行结果:x=611474,y=314。

这样利用Lingo快速得到不定方程的一个整数解（611474,314），又2019/3=673,6/3=2，所以该不定方程所有整数解是(x,y)=(611474+2t,314-673t),t为任意整数。

例题4.求解19x+4y-7z=1234567890这个不定方程的一个正整数解。

解：在lingo中输入以下内容：

@gin(x);@gin(y);@gin(z);

运行结果:x=650,y=4,z=3。

用Lingo求解三元二次不定方程

例题5.求解不定方程x2+y2=z2的一个满足x,y,z≥10的正整数解。

解：在lingo中输入以下内容：

@gin(x);@gin(y);@gin(z);

运行结果:x=16,y=12,z=20。

例题6.求解不定方程5*x2-3y2=z2的一个正整数解。

解：在Lingo中输入以下内容：

@gin(x);@gin(y);@gin(z);

运行结果:x=161,y=1,z=360。

定理5.每个正整数都可表示成四个非负整数的平方之和。[2,178页定理2]

注2：把四改为三，定理5不成立。

例题7.把整数12345表示成四个非负整数的平方之和。

解：在lingo中输入以下内容：

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);

运行结果:x1=110,x2=2,x3=15,x4=4。

2、结语

在计算机如此普及的今天，借助计算机求解各类数学问题已经是一个常态，也已取得不少成果。例如，在数论里面虽早已证明100以内除了9n±4型外的自然数都可写成三个整数的立方和，但寻找具体表达式却并不容易，直至2019年9月初才计算出：42=(-80538738812075974)3+804357581458175153+126021232973356313。这个结果宣告了寻找100以内自然数的三整数立方和表达式的工作圆满结束，至此114变为没被写成三整数立方和的最小自然数。据悉，上述结果是由数学家AndrewBooker和AndrewSutherland通过伯克利大学的“公益引擎”平台，利用50多万台电脑的闲暇算力，经过100多万小时计算出来的。这是一次用计算机辅助计算求解数论问题的胜利。所以，在“初等数论”的教学中，除了讲授经典的理论知识外，适当地增加软件辅助计算的内容，对提升学生的计算和应用水平大有裨益，也是顺应时代发展的必然要求。

参考文献：

[1]谢金星,薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件[M].北京:清华大学出版社,2005.

[2]于秀源,瞿维建.初等数论[M].济南:山东教育出版社,2004.

[3]闵嗣鹤,严士健.初等数论第三版[M].北京:高等教育出版社,2006.

吴拿达.Lingo软件在“初等数论”教学中的应用[J].科教文汇(上旬刊),2020(02):49-50.