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数论中纽结理论的应用研究
摘要：基于纽结理论,利用Torus纽结T(m,n)(m,n须为互素)及Jones多项式和Alexander多项式在二阶导数下的性质,证明了(m2-1)(n2-1),(m-1)(n-1)(2mn-m-n-1)可分别被24与12整除。
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1、问题的提出
纽结理论看似与数论[1]毫不相干，但已有不少纽结方面的结果是用数论来表达的，例如文献[2]。本文将给出反向的情形，即利用纽结理论证明数论的2个结果：
定理1若m,n是互素的整数，则24整除(m2-1)(n2-1)。
定理2若m,n是互素的整数，则12整除(m-1)(n-1)(2mn-m-n-1)。
容易举例说明，若m,n不是互素，则定理就不成立。
2、定义与命题
定义1[3,4,5]假设K是一定向纽结，多项式∇K(t)∈ℤ[t]定义如下：
(1)若K与平凡纽结同痕，则∇K(z)=1;
(2)若3个纽结或链环仅在1个交叉处不同，而且不同处如图1所示，则
图1L+,L-,L0
一般来说，一个有n个分支的链环的Conway多项式可表示为[6]
类似地,可定义Alexander多项式ΔL(t)∈ℤ[t]与Conway多项式的关系为
尤其是当n=2时，a1(L)=lk(L)，或者说当L+是纽结时，
定义2[2,5,7]假设K是定向纽结，罗朗多项式VL(t)∈ℤ[t±1]定义如下：
(1）若K与平凡纽结同痕，则VK(t)=1;
(2）若3个纽结或链环仅在1个交叉处不同，而且不同处如图1所示，则
那么此多项式是一个纽结与链环不变量，称为Jones多项式。
命题1[2,5,8]设VL(t)是有c(L)个分支链环的琼斯多项式，则
(1）若c(L)=1，则V′L(1)=0，否则
(2）对于纽结L,
3、定理的证明
定理1的证明考虑Torus纽结T=T(m,n)(m,n互素)，其Jones多项式为[5,7]
定理1得证。
定理2的证明若T=T(m,n)(m,n互素)仍然表示Torus纽结，则其Alexander多项式为[4,5,7]
定理2得证。
参考文献：
[1]潘承洞,潘承彪.初等数论[M].北京:北京大学出版社,2003.
[8]陶志雄.Jones多项式的一个赋值性质[J].浙江大学学报(理学版),2014,41(5):509-511.
陶志雄.纽结理论在数论中的应用[J].浙江大学学报(理学版),2020,47(03):312-314.
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