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与三个数论函数有关的一类复合方程可解性的研究

2020-06-28 207 上传者：管理员

摘要：利用初等和解析的方法与技巧,研究了一类包含了伪Smarandache函数Z(n)、简数根函数与p次幂原数函数Sp(n)的复合数论函数方程的可解性,分别得到了每个方程的全部解,并推广了一个关于计算p次幂原数函数Sp(n)值在n>p时,更加简易的计算公式以及证明该公式所用的方法.

关键词：
p次幂原数函数SP(n)
伪Smarandache函数Z(n)
复合型
数论
简数根函数
计算公式
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对于任意的正整数n,伪Smarandache函数Z(n)定义[1,2]为可以使∑i=1mi被n整除的最小的正整数m,即Z(n)=min{m:m∈N+,n|m(m+1)2}.简数的定义[3,4]是指对任意的一个n位正整数α,若将α视作一个长度为n的数串,对数串中的所有元素进行分组,假设随机分为k(k≥2)组,即形成k个数串,令其长度分别为n1,n2,n3,…,nk,由定义显然有n1+n2+n3+…+nk=n,现令该数串分别代表位数为n1,n2,n3,…,nk的k个数,将这k个数求和得的一个新的位数为m(m≤n)的数,记作β.此时β叫作正整数α的m阶简数,记作β=simm(α),而将拆分再求和的过程称为简数过程.特别地,当m=1时,α的m阶简数β叫作正整数α的最简数(或简数根),记作β=sim(α),并将sim(n)(n∈N+)称为简数根函数.p次幂原数函数Sp(n)[5,6,7,8,9]是指对于任意的整数n,定义p的原数函数为最小的正整数m,使得pn|m!,即Sp(n)=min{m:pn|m!}(其中p为素数).文献[10,11,12]分别探究了函数Z(nx)=φ(ny)、Z(n)=φ2(n)和Z(n)=φe(SL(n))的可解性.本文将研究包含了伪Smarandache函数Z(n)、简数根函数与p次幂原数函数Sp(n)的复合数论函数方程Z(n)=Sp(sim(n))(其中p=2,3,5)的可解性,并分别给出每个方程的全部解.

1、引理

引理1[3,4]:由简数定理知,,且0<r<9.

引理2[5,6,7,8,9]:对于任意的整数n,设p是素数,定义p的原数函数为最小的正整数为m,使得pn|m!,即Sp(n)=min{m:pn|m!}.

引理3[5,6,7,8,9]:设n是正整数,p是素数,再设α满足pn|n!,那么,α=∑i=1∞[npi].

引理4[10]:对于任意的正整数n,将伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m,同时满足∑i=1mi被n整除,即Z(n)=min{m:m∈N+,n|m(m+1)2}.

引理5[10]:对任意素数p≥3,Z(p)=p−1.

引理6[10]:对任意素数p≥3及k∈N+,Z(pk)=pk−1.当p=2时,有Z(2k)=2k+1−1.

2、主要结论及其证明

定理1:对于任意的正整数n,混合函数方程Z(n)=S2(sim(n))无解.

证明:混合函数方程

Z(n)=S2(sim(n))(1)

的解主要分以下两种情形讨论:

情形一:当n≡0(mod9)时,有S2(sim(n))=S2(9)=min{m:29|m!}=12(由引理1-引理3可得),即Z(n)=12.

现令n=9l(l=1,2,⋯),由引理4-引理6知,不存在这样的n可使得Z(n)=12,故此时(1)式无解.

情形二:当n≡r(mod9)时,有S2(sim(n))=S2(r)=min{m:2r|m!}(其中0<r<9)(由引理1-引理3可得).

当r=1,S2(1)=2,即Z(n)=2,此时n=3,代入(1)式验证不符合,故此时(1)式无解.

当r=2,S2(2)=4,即Z(n)=4,此时n=5,10,分别代入(1)式验证均不符合,故此时(1)式无解.

当r=3,S2(3)=4,即Z(n)=4,此时n=5,10,分别代入(1)式验证均不符合,故此时(1)式无解.

当r=4,S2(4)=6,即Z(n)=6,此时n=7,21,分别代入(1)式验证均不符合,故此时(1)式无解.

当r=5,S2(5)=8,即Z(n)=8,此时n=9,12,18,36,分别代入(1)式验证均不符合,故此时(1)式无解.

当r=6,S2(6)=8,即Z(n)=8,此时n=9,12,18,36,分别代入(1)式验证均不符合,故此时(1)式无解.

当r=7,S2(7)=8,即Z(n)=8,此时n=9,12,18,36,分别代入(1)式验证均不符合,故此时(1)式无解.

当r=8,S2(8)=10,即Z(n)=10,此时n=11,55,分别代入(1)式验证均不符合,故此时(1)式无解.

定理2:对于任意的正整数n,混合函数方程Z(n)=S3(sim(n))的解为n=24,60.

证明:混合函数方程

Z(n)=S3(sim(n))(2)

的解主要分以下两种情形讨论:

情形一:当n≡0(mod9)时,有S3(sim(n))=S3(9)=min{m:39|m!}=21(由引理1-引理3可得),即Z(n)=21.

现令n=9l(l=1,2,⋯),由引理4-引理6知,不存在这样的n可使得Z(n)=21,故此时(2)式无解.

情形二:当n≡r(mod9)时,有S3(sim(n))=S3(r)=min{m:3r|m!}(其中0<r<9)(由引理1-引理3可得).

当r=1,S3(1)=3,即Z(n)=3,此时n=2,6,分别代入(2)式验证均不符合,故此时(2)式无解.

当r=2,S3(2)=6,即Z(n)=6,此时n=7,21,分别代入(2)式验证均不符合,故此时(2)式无解.

当r=3,S3(3)=9,即Z(n)=9,此时n=45,sim(45)=9与前提条件矛盾,故此时(2)式无解.

当r=4,S3(4)=9,即Z(n)=9,此时n=45,sim(45)=9与前提条件矛盾,故此时(2)式无解.

当r=5,S3(5)=12,即Z(n)=12,此时n=13,26,39,78,分别代入(2)式验证均不符合,故此时(2)式无解.

当r=6,S3(6)=15,即Z(n)=15,此时n=24,40,60,120,分别代入(2)式验证,此时(2)式有解为n=24,60.

当r=7,S3(7)=18,即Z(n)=18,此时n=19,57,171,分别代入(2)式验证均不符合,故此时(2)式无解.

当r=8,S3(8)=18,即Z(n)=18,此时n=19,57,171,分别代入(2)式验证均不符合,故此时(2)式无解.

定理3:对于任意的正整数n,混合函数方程Z(n)=S5(sim(n))的解为n=11,120.

证明:混合函数方程

Z(n)=S5(sim(n))(3)

的解主要分以下两种情形讨论:

情形一:当n≡0(mod9)时,有S5(sim(n))=S5(9)=min{m:59|m!}=40(由引理1-引理3可得),即Z(n)=40.

现令n=9l(l=1,2,⋯),由引理4-引理6知,不存在这样的n可使得Z(n)=40,故此时(3)式无解.

情形二:当n≡r(mod9)时,有S5(sim(n))=S5(r)=min{m:5r|m!}(其中0<r<9)(由引理1-引理3可得).

当r=1,S5(1)=5,即Z(n)=5,此时n=15,代入(3)式验证不符合,故此时(3)式无解.

当r=2,S5(2)=10,即Z(n)=10,此时n=11,55,分别代入(3)式验证,此时(3)式有解n=11.当r=3,S5(3)=15,即Z(n)=15,此时n=24,40,60,120,分别代入(3)式验证,此时(3)式有解n=120.

当r=4,S5(4)=20,即Z(n)=20,此时n=42,70,210,分别代入(3)式验证均不符合,故此时(3)式无解.

当r=5,S5(5)=25,即Z(n)=25,此时n=65,325,分别代入(3)式验证均不符合,故此时(3)式无解.

当r=6,S5(6)=25,即Z(n)=25,此时n=65,325,分别代入(3)式验证均不符合,故此时(3)式无解.

当r=7,S5(7)=30,即Z(n)=30,此时n=31,93,155,465,分别代入(3)式验证均不符合,故此时(3)式无解.

当r=8,S5(8)=35,即Z(n)=35,此时n=63,90,315,630,而sim(63)=9、sim(90)=9、sim(315)=9、sim(630)=9,均与前提条件矛盾,故此时(3)式无解.

3、相关推论

推论1:对于任意的正整数n,当n>p(p为素数)时,

证明:用数学归纳法易得.

参考文献：

[2]张爱玲.关于伪Smarandache函数的一个方程及其正整数解[J].西北大学学报:自然科学版,2008,38(4):535-540.

[3]贾明超.简数定理证明及其应用[D].北京:中国地质大学,2011.

[4]褚宝增,贾明超.简数定理的提出与证明[J].科教导刊,2013,3(1):156-157.

[8]杜晓英.p次幂原数函数Sp(n)和它的均值性质[J].晋中学院学报,2011,28(3):14-15.

[9]王丽丽,朱伟义.有关p次幂原数函数的若干性质[J].商洛学院学报,2014,28(4):25-26,31.

[10]赵祈芬,高丽.包含伪Smarandache函数与欧拉函数的两个方程[J].贵州师范大学学报:自然科学版,2017,35(3):55-58.

[11]赵祈芬,高丽.数论函数方程Z(n)=φ2(n)的解[J].云南师范大学学报:自然科学版,2018,38(2):34-37.

[12]高丽,赵祈芬.一类包含伪Smarandache函数与欧拉函数的方程[J].河南科学,2017,35(2):180-183.

张明丽,高丽.与三个数论函数有关的一类复合方程的可解性[J].云南师范大学学报(自然科学版),2019,39(04):25-28.

基金:国家自然科学基金资助项目(11471007);陕西省科技厅科学技术研究发展计划资助项目(2013JQ1019);延安大学校级科研计划资助项目(YD2014-05);延安大学研究生教育创新计划资助项目(YCX201901)

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创刊时间：1971年

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