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HPM视角下对初等数论课例教学设计的研究
2020-06-28
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上传者：管理员
摘要：在数学课程教学中，基于HPM视角下的应用数学史教学可提高课程教育水平与教学效果.为此，结合初等数论课程的教学实践，给出了几个基于HPM视角下的实践课例设计的案例以及二元一次不定方程课堂教学设计与组织实施的案例，以期对初等数论课程的教学和改革有所促进.
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数论是研究整数性质的一个数学分支，是一门十分重要的数学基础课.它不仅仅是中、高等师范院校数学专业、小学教育（理科）专业和大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等许多相关专业所必学的课程.[1]初等数论在国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中占有重要的地位，这对提高中、大学生的数学素质有着很大的帮助.初等数论看起来似乎很简单，但想要真正把这一课程教好、学好并非是一件易事.
HistoryandPedagogyofMathematics缩写为HPM，它是一个专门研究数学史与数学教育之间关系的组织[2]，是数学教育研究的重要组成部分[3].基于HPM视野下的数学课程教学就是在数学课程教学过程中，应用数学史的教育价值提高数学教育的水平与教学效果.初等数论集东西方数学文化之大成[4]，其中蕴含着很多的数学史料，为提高初等数论课程教学效果提供了大量的素材.笔者根据多年的初等数论课程教学实践，在课程教学中构建了如右图1的教学模式.
图1实践教学模式图
1、HPM视角下的实践课例设计
1.1介绍数学家的奇闻轶事，逐步培养学生正确的科研态度与科研精神
案例1教师在讲授素数知识教学前，可将张益唐教授成为数学家的故事进行介绍，以帮助学生逐步养成端正的研究态度与精神.
华人数学家张益唐教授，1955年出生于上海，1978年考入北京大学数学系接受4年系统严格的数学训练，4年后在著名数论专家潘承彪教授指导下攻读硕士学位，1992年获得普渡大学获博士学位.因其毕业论文引用一错误的结论而没有被发表，故毕业后其无法在数学界立足，只能依靠打零工维系生计.在毕业后最初的六七年时间里，他当过会计、帮厨，送过外卖.1999年后，在朋友的帮助下在一所大学谋得一份临时讲师工作，并在几年后才转为正式讲师.在其教课的同时，心中仍装着数论中的著名难题———孪生素数猜想.2012年7月张益唐教授突然想出了一个研究孪生素数猜想的思路，找到了研究问题的突破口.2013年4月17日，张益唐教授向数学顶级杂志《Annals of Mathematics》投递了题为《Bounded Gaps Between Primes》（素数间的有界距离）的文章，证明存在无穷多个素数对都相差7000万.[5]在投稿后短短的1个月时间，该文即被接收并发表.之后，在短短2年时间里，张益唐的名字在国际数学界“横空出世”，这位之前几乎没有发表过专业论文的人，竟然成为破解数学领域著名的“孪生素数猜想”的关键人物.2018年8月10日，山东大学潘承洞数学研究所在山东大学威海校区揭牌成立，张益唐教授被聘为第1任所长.
张益唐教授从事科学研究的高远理想和他饱满的科研热情告诉我们：科学研究必须要有超越前人的勇气；当遇到挫折时，需要坚韧、坚持.张益唐教授的经历正如其2018年8月底在东南大学数学学院对师生的深情寄语：持之以恒，必有收获.
1.2穿插数学故事介绍，促进学生对新知的认识和深刻理解
案例2最小公倍数虽然是学生在中学阶段就已经接触过的内容，但对于该内容在实际生活有什么样应用学生可能不太清楚，为此可以在讲授内容的过程中穿插数学史料介绍，帮助学生重新认识与理解该知识及应用.
在我国古代重要的数学名著《孙子算经》中，为了计算正整数的最小公倍数而设计有“三女归家”问题：今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归.问三女何日相会？
分析从刚相会到最近的再一次相会的天数，是三个女儿间隔回家天数的最小公倍数.
1.3穿插数学难题研究进展情况介绍，增强学生的求知欲望
案例3在勾股数内容的教学过程中，可穿插以下相关史料.
在我国古代数学著作《周髀算经》中记载着“句广三，股修四，径隅五”，后来这个事实简单地说成“勾三，股四，弦五”.这就是我国著名的勾股定理.其对应着方程x2+y2=z2.勾股数就是直角三角形三边的一组正整数（x,y,z）.对于方程x2+y2=z2的正整数解，我国古典数学理论的奠基人之一、魏晋期间伟大的数学家刘徽在《九章算术注》记载着正整数解（x,y,z）=（5,12,13),(8,15,17),(20,21,29）.不过最早给出勾股定理证明的是古希腊数学家毕达哥拉斯，西方把勾股定理称为毕达哥拉斯三元组.17世纪初，欧洲流传着古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书，费马利用业余时间对《算术》书中的有关不定方程进行了深入研究.在1637年前后，费马在关于毕达哥拉斯三元组的页边上，写下了他认定的一个结论：“不可能将一个高于2次的幂写成两个同次幂的和”[6]；并俏皮的写下一个附注：“对此命题有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下.”即费马认为证明了结论：当n≥3时，不定方程xn+yn=zn没有正整数解.人们寻遍费马的手稿，并未发现费马所说的“美妙的证明”.这就产生了费马大定理.费马大定理表述极为简洁，但证明它却极为艰辛，对它的研究历经了358年，最终在1995年由英国数学家怀尔斯给出了证明.
2、二元一次不定方程课堂教学设计与组织实施
2.1课程导入
师：不定方程是数论中的一个最古老且重要的分支，也是数学中最活跃的研究领域之一，其研究内容与成果很丰富.早在公元3世纪，古希腊亚历山大后期的数学家、代数学鼻祖丢番图就开始了有关不定方程的研究，因而不定方程也被称之为丢番图方程.丢番图在他的著作《算术》中提出了很多有关不定方程的问题.
大约成书于公元5～6世纪的我国古代数学家张丘建所著的《张丘建算经》中记载着这样一个有趣的百鸡问题：今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？[7]在《张丘建算经》中并未对百鸡问题给出解法.我国古算书的著名校勘者甄鸾等人在对《张丘建算经》进行注释时也都没给出百鸡问题的解法.我国宋代算学家谢察微对百鸡问题记述过一种不太正确的解法.1815年骆腾风使用秦九韶所提出的大衍求一术解决了百鸡问题.1874年，近代数学家丁取忠对于百鸡问题给出了一个简易的算术解法.清代学者推广了百鸡问题，撰写了数学著作《百鸡术衍》，自此百鸡问题和百鸡术才被广为人知.与百鸡问题相类似的问题也有所流传，如百僧吃百馒、百钱买百禽等.对于这样一些研究广泛、而又贴近生活的实际问题该如何解答呢？
生：根据解方程的思想，由鸡的总数可设鸡翁x只，鸡母y只，鸡雏100-x-y只，则由钱的总数列出方程
师：将方程化简，可得到方程7x+4y=100.对于这样一个方程，其中包含着两个未知数，要解决百鸡问题，就需要给出该方程的非负整数解.而对于这样的方程该如何进行求解，这就是这一课例需要讲解的内容———二元一次不定方程.
2.2新知讲解
师：所谓二元一次不定方程的一般形式是ax+by=c，其中a,b,c∈z，且ab≠0.对于二元一次不定方程ax+by=c求解的问题，我们可以联想到《高等代数》中哪一部分内容？
生：线性方程组的求解.
师：在线性方程组求解问题上，可根据线性方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩来判别方程组解的个数.就方程ax+by=c本身而言，其可看成2个未知数1个方程的线性方程组，显然它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同，从而方程ax+by=c有无穷多个解.对于方程ax+by=c，或者可根据函数的思想将它变为对应的一次函数，其图像是一条直线，直线上有无穷多个点.那么是不是每一个点都是整数点（这个点的横、纵坐标都是整数）？而对于二元一次不定方程，一般情况下讨论的大都是整数解，那么二元一次不定方程ax+by=c是否一定有整数解？
生：不一定吧？
师：为什么呢？如果它有整数解，那它需要满足什么样的条件呢？
生：gcd(a,b）|c.
师：二元一次不定方程ax+by=c有整数解的充分必要条件为gcd(a,b）|c.[8]证明在此略.
师：对于百鸡问题中所得到的二元一次不定方程7x+4y=100，显然满足有整数解的充分必要条件，就二元一次不定方程7x+4y=100而言，我们能不能给出它的一个整数解？
生：由观察法，（x,y）=（0,25）就是它的一组整数解.
生：（x,y）=（8,11）也是它的一组整数解.
师：除了上面这两组整数解外，还有没有其他的整数解？如果有的话，我们能不能像线性方程组那样，给出它全部的整数解，或者它的全部整数解的通解？
定理[8]若二元一次不定方程ax+by=c有一整数解x=x0,y=y0，则它的全部整数解可表示为
公式1
其中gcd(a,b）=d,a=a1d,b=b1d,t为整数.证明在此略.
师：在这一定理的解公式中，哪些量是已知的，哪些量是未知的？
生：x0,y0是未知的.
师：对，x0,y0是未知的，是要求的量，我们把它称之为特解.而a1b1根据gcd(a,b）=d,a=a1d,b=b1d可直接得到，也就相当于已知的量，也就是说求二元一次不定方程ax+by=c的所有整数解，只需求出它的特解.而对于特解又该如何来求呢？
师：对于二元一次不定方程ax+by=c，当满足gcd(a,b）|c时，方程ax+by=c可转化为a1x+b1y=c1，其中gcd(a,b）=d,a=a1d,b=b1d,c=c1d.此时gcd(a1,b1）=1，我们可先求出a1x+b1y=1的一组整数解（x,y）=（x′，y′），则（x,y）=（c1x′，c1y′）就是原方程的一组特解.现在的问题是如何求方程a1x+b1y=1的一组整数解（x,y）=（x′，y′）？
生：这与裴蜀定理（设a,b是不全为零的整数，则s,t∈z存在，使得as+bt=gcd(a,b））当中的s,t∈z的求法一样，可利用转转相除法或者整数矩阵的初等变换法来进行求解.
师：思路很明确.下面大家总结一下求二元一次不定方程ax+by=c整数解的一般步骤.
生：（1）判断二元一次不定方程ax+by=c是否存在整数解；（2）若有整数解，求出特解x=x0,y=y0;(3）套用所有整数解公式.
2.3例题讲解
例1求不定方程731x+907y=1207的全部整数解.解（略）.
例2求百鸡问题.解（略）.
3、结语
一门数学课程教学的重点不是教师教了什么，而是学生学到了什么[9].本文结合初等数论课程的教学实践，给出了基于HPM视角下的有关素数、最小公倍数、勾股数的实践课例设计的案例以及二元一次不定方程课堂教学设计与组织实施的案例.在初等数论课程中，涉及到数学史方面的内容很多，而这需要课程教学者认真的去收集、挖掘与整理相关资料.初等数论知识理论性强，基于HPM视角下课程教学，可使一个枯燥与抽象的课程变的生动有趣，既可以使学生对课程产生浓厚的兴趣从而自主的学习，也可以提升学生的数学文化素养.
参考文献：
[1]潘承洞,潘承彪.初等数论[M].北京:北京大学出版社,2003.
[2]冯振举,曲安京.HPM视野下的数学新课程内容构成[M].课程·教材·教法,2007,27(9):38-42.
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[5]张晓贵.张益唐的成功数学创造能告诉我们什么?[J].自然辩证法研究,2014,30(6):103-106.
[6]张朝相,艾小川,黄开林,等.费马大定理的初等证明方法[J].华侨大学学报(自然科学版),2016,37(6):786-790.
[7]黄隆华,陈志辉.算法设计与分析课程的“百钱买百鸡问题”趣用[J].计算机教育,2016,(3):143-145.
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张四保.基于HPM视角下的初等数论课例教学设计[J].喀什大学学报,2019,40(03):84-86.
基金:新疆维吾尔自治区普通高等学校教学改革研究项目资助(2017JG073)
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